1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 12
Текст из файла (страница 12)
В начальный момент времени в точке х=5 ссержня выделилось мгновенно (1 единиц тепла. Найти температуру стержня. (Построение функции источника для уравнения ис а'и „на прямой — оо(х(+со.) 67, Решить предыдущую задачу для стержня, на поверхности которого происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю. (Построение функции источника для уравнения и,=а'脄— йи на прямой — оо(х(+оо.) 68. Используя функцию источника, полученную в решении задачи 66, решить краевую задачу и,=а'и„„+1(х, 1), — со -х(+со„0<1<+со, и(х, 0)=ср(х), — со:.х<-)-со. 69.
Используя функцию источника, полученную в решении задачи 67, решить краевую задачу и,=а'и„„-)Ги+1(х, 1), — оо <х<+оо, 0(1(+со, и(х, О) =ср(х), — оо(х(+со. 70. При условиях задачи 66 найти тот момент времени, в который температура в Точке к достигает максимума, и найти зто максимальное значение Температуры (задача о распространении теплового импульса).
71. На поверхности стержня — со(х(+со происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю; начальная температура стержня равна нулю; в точке х=0 непрерывно действует тепловой источник постоянной мощности (1. Найти температуру и(х, 1) стержня, Найти также стационарную температуру л(х)= Вт и(х, 1). С +ОЭ Какова была бы стационарная температура, если бы поверхность стержня была бы теплоизолированар 72.
С помощью формулы, полученной в решении задачи 68, решить задачу ис-а'и.;, — сю<х(+со, 0<1<+со, 0 при — оо<х( — 1 и(х, О)= (1 —— сопз(чь0 при — 1(х(1, 0 при 1<х<+оо. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 73. С помощью формулы, полученной в решении задачи 68, решить задачу и,=ахи„„, — со(х(+со, 0«-1(-(-оо, 0 при — со(х(О, и(х, О)= Ае при 0(х(+со, А=сопя(, а=сопя()0.
74. Решить краевую задачу и~=а'и „вЂ” йи, — со(х(+со, 0 "1(+со 0 при — со(к( — 1, и(к, О)= Е/,=сопз( при — 1(х(1„ 0 при — 1(х(+со (ср. с задачей 72). 76. Решить краевую задачу 14 о нагревании стержня подвиж.ной печкой при нулевом начальном условии. б) 1)олипрямал 76. Построить функцию источника для уравнения и, =а'и „ на :полупрямой 0(х(+ос, на конце которой задано граничное условие первого рода. Перейти затем к случаю уравнения и, = = а'и „.— аи. 77. Решить предыдущую задачу, если иа кЬнце полупрямой 0 - х (+со задано граничное условие второго рода.
78. Решить задачу 76, если на конце полупрямой 0(х(+ос задано граничное условие третьего рода. 79. Пользуясь функцией источника, решить краевую задачу и~ = а'и„+ ) (х, 1), 0 ( к, 1 (+ со, и(0, 1) =<В(1), 0(1(+со, и(х, 0) =ф(х', 0 х(+со. 80. Пользуясь функцией исп чника, решить краевую задачу и,=а"и „+1(х, 1), 0(х, 1(+со, и„(О, 1)=ср(16 0(1(+со, и(х, 0)=ф'к). 0(х(+со. 81. Пользуясь функцией источника, решить краевую задачу и!= а'и„, + 1 (к„1), 0 ( х, 1 (+ оо, . (О, 1) — йи(0, 1)= — )ка'1), 0(1(+ и(х, 0)=ф(х), 0(х(+со, в! пе уРАВнения пАРАБОлическОГО типА 82. Доказать справедливость следуюшего утверждения.
Для того чтобы решение краевой задачи и, а'л „, О с, х, ( ~ + оо, У А„— '" =О, х=О, О--(~+со, дхА А а и(х, О)=Цх), Ос;х(+оо, можно было представить в виде +'Р (х — $И и(х, г)=,,', ~ Га " ж, достаточно функцию Г(х) продолжить на отрицательную полуось х гак, чтобы функция тр (х) = ~Ч ' Афи (х) Аеа была нечетной. ВЗ. Доказать справедливость следующего утверждения. Для гого чтобы решение краевой задачи и,=а'и„„+~(х, (), Ос'х, Г(+оо, ,х' А» —" =О, 0~1(+оо„х=О, и(х, 0)=0 дхА можно было представить в виде +о~ Г ~» ГИ и (х, () = — ( Г(Г, ~ — =' е "а' и — т~ Г(т, г 1 ~й, т) — , , 2ау Б .
~~ У'~:Т достаточно продолжить ~(х, Г) на отрицательную полуось х так, чтобы функция дх)(х, 0 А=О была нечетной по х. 64. Решить краевую задачу и,=ахи„„, 0 =х, Г(+со, и~О, Г,=О, 0(((+Со, и(х, 0)=6„0<х.с+оо. услОВия злдлч В какой момент времени ! температура в точке достигнет значе- ния а(са, 0 'а<1г 86. Решить краевую задачу и!=а'и„„, 0<х, ! -+Ос, и„(0, !)=О, 0<1<+Ос, 1 (1„О<х<1, ( ) Ф() 87. Решить краевую задачу ссс=а'и„„, 0<х, !<+СО, и„(0, !) — Ьи 'О, !) = О О < ! <+ Ос и(х, 0)=(l =соне(, 0<х<+ж.
(1) (7) (3) Получить асимптотическое представление для температуры конца стержня при больших значениих времени и е с Вл '2 " ' ~ ллслс Дать выражение для оценки погрешности при пользовании формулой (4) и найти, с какого момента времени вычисление и(О, !) по формуле и, (8) ал р"лс дает погрешность, заведомо ие превышающую по абсолютной ве- личине наперед заданного е ) О.
88, Решить краевую задачу ис — — аз脄— Ь'елл й)0„0.<х, !<+Оэ, и (О, 1) = (/а = сопз(, 0 <! <+СО, и(х, О) =О, 0<х<+ Начертить графики распределения температуры в моменты временк ! =- —, ! = — —,, 1= —, на отрезке 0<х<4, а также графически ! 1 ! ! ! изменения температуры в точках х=--, х=-~-, х=1 иа отрезке ! времени 0 е-1( —.
Найти также скорость движения фронта температуры а(/„сде 0 < а < 1, а = сопз(. 85. Решить краевую задачу и,=а'и„„, 0<х, !<+со, и(О, с)=и„"' О<!<, и(х, 0)=0, 0<х<+ОО. ПЬ УРАВНЕНИЯ ПАРАбОЛИЧЕСКОГО ТИПА 89. Решить краевую задачу и,= а'и, Ос'х, 1(+ОО, — и„(0, г)=д, О~Г +СО, и(х, 0)=О, 0(х«.+СО. 90. Решить краевую задачу и,=а'и,„— й(и — К,), У,=сопз(, 0(х, )(+со, и(О, г)=и, О~г~+ОО, О,=сопз(, и(х, 0)=Ум О =х(+Оо, У„=сопз(. 91, Начальный ток и начальное напряжение в полуограничен- ном однородном проводе 0 =х~+ОО равны нулю.
Самоиндук- цня единицы длины провода пренебрежимо мала. Начиная с мо- мента Г=О, к концу провода приложена постоянная электродви- жущая сила Е . Найти напряжение в проводе. у 92, Решить краевую задачу и~ —— ази„„, 0(х, ( +СО, и„(0, 1) — йи(О, ~)= — Айсозы(, 0 С)(+со, и (х, 0) = О, 0(х <+ОО. 93. Найти установившиеся температурные волны в полуограниченном стержне О~х +со с теплоизолированной боковой поверхностью, если температура конца стержня меняется по закону и (О, 1) = А соз тбй Найти скорость распространения температурной волны с данной частотой ы (дисперсия температурных волн!).
94. Начальный ток и начальное напряжение в однородном проводе 0~А(+со равны нулю. Начиная с момента т =О, н точке х=О приложена электродвижушая сила Е(т)= Е,сов вг. Найти напряжение в проводе, если самоиндукция и утечка еди- ницы длины провода нренебрежнмо малы. 95. Начальная температура полуограииченного стержня с теп- лоизолированной боковой поверхностью задана и (х, О) = ) (х), 0 ( х (+ со.
Какой тепловой поток должен подаваться в стержень через его конец, чтобы температура конца менялась по заданному закону и(0, ()=р(г), 0~1 С+со, р(0)=~(0)) Рассмотреть частный случай, когда ). (х) = — О. 96. Начальная температура полуограниченного стержня с теп- лоизолированной боковой поверхностью задана и(х, 0)=~(х), 0(А~+со, УСЛОВИЯ ЗАДАЧ а на конце х=О происходит конвективный теплообмен с внешнен средой. Как должна меняться температура внешней среды, чтобы температура конца стерлгня менялась по заданному закону и (О, 1) =р(1), р(О) =7(О), 0<1<+со? Рассмотреть частный случай, когда Г(х) = — О.
97. Решить задачу 95 при условии, что на боковой поверхности стержня происходит конвективный теплообмен со средой ну. левой температуры. 98. Решить задачу 96 при условии, что иа боковон поверхности стержня происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю. 99. Решить краевую задачу и,=ази„„+((х, 1), О<1<+со, о,(<х<+со, и(х, О)=О, 0<к<+ос, и(оо( 1) О 0<1<+со.
100. Решить краевую задачу и,=а*и„„, 0<1<+со, о„(<к<+ос, и(х, 0)=1(х), 0<х "+со, и (о„Х„г) = О, 0 < 1 <+ х>. 101. Решить краевую задачу ц = а'и„„, О < 1 <+ оо, ц ( < х <+ со, и (х, О) = О. 0 «х <+ со, и(о 8, 1) =р(1), 0<1<+со. 102. Решить краевую задачу и,=ази,„+~(х. 1), О<1<+ос, оог<.т<+со, и (к, 0) = г (х), О < х <+ с о, „(о1, 1)=р(1), 0<1<+оз.
и) Конечный отрезок Задачи !03 — 105 на построение функций источника, предлагаемые в этом пункте, требуется решить двумя способами: методом отражений и методом разделения переменных; один из них дает хорошее представление для функции источника при малых значениях времени 1, а другой — при больших. 103. Построить функцию влияния мгновенного точечного источника для конечного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью, если его концы поддерживаются при температуре, равной нулю. Оценить остатки' рядов, представляющих решение. ЦЬ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 104.
Построить функцию влияния мгновенного точечного источника тепла для конечного стержня с теплоизолированной боковой поверхностью. если его концы также теплоизолированы. Оценить остатки рядов, представляющих решение. 1ОБ. Построить функцию влияния мгновенного точечного источника тепла для конечного стержня Б теплонзолированной боковой поверхностью, если один его конец (х=О) теплонзолироваи, а другой (х=Е) поддерживается при нулевой температуре. Оценить остатки рядов, представляющих решение. 106. а) Найти Ер', начиная с которого для остатка ряда (2) решения задачи !03 выполняется неравенство ~ВАу(х, $, Е) ~(Е (1) при О«=х, $(Е, 0(Е(ЕА. б) Найти йУ, начиная с которого для остатка ряда (12) решения задачи 103 выполняется неравенство (1) при 0(х, й(Е, 0 =Е(ЕА.
107. Решить предыдущую задачу для рядов,'1) н (6) ответа к задаче 104. 108. Решить задачи 103, !04, 105 в случае, когда на боковой поверхности стержня происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю. !09.
С помощью функции источника, найденной в решении задачи 103, решить краевую задачу и,=а'и„+Е(х, Е), 0(хк Е, 0(Е(+со, и(0, Е)=<р Е), и'Е, Е)=0, О(Е(+Со, и(х, 0)=Е(х), 0(х(Е. !1О. С помощью функции источника, найденной в решении задачи 104, решить краевую задачу и,=а'и„,.+Е(х, Е), 0(х(Е, 0 Е(+со, (1) и.(О, Е)= р(Е), и(Е, Е)=О, О -Е(+, (2) и(х, 0)=Е(х), 0(х(Е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
