1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Поставить краевую задачу о диффузии упомянутого вещества в составном цилиндре, рассмотрев случаи, когда а) цилиндры соединены непосредственно, б) цилиндры соединены через полунепроницаемую перегородку. 14. Поставить краевую задачу о нагревании тонкого стержня, по которому скользит с постоянной скоростью плотно прнгегакнная электропечь постоянной мощности, если внешняя поверхность пени, не прилегающая к стержню, теплоизолирована, а теплоемкость печи пренебрежимо мала. 15. Расплавленный металл заполняет вертикальный цилиндрический сосуд, стенки и дно которого теплонепронипаемы. С момента 1=0 свободная поверхность металла поддерживается при температуре а,=сонэ(, которая ниже температуры плавления, Поставить краевую задачу об остывании н затвердевании металла, если его начальная температура равна и„=сонэ(. 16.
Поставить краевую задачу о движении ~юд действием силы тяжести тонкой вертикальной бесконечной плоской пластины в слое вязкой жидкости между двумя неподвижными параллельными ей пластинами. Действием поля силы тяжести на жидкость пренебречь. 17. Поставить краевую задачу об остыванни равномерно нагретого стержня, имеющего форму усеченного конуса, пренебрегая искривлением изотермических поверхностей, если концы стержня теплоизолированы, а на боковой поверхности происходит теплообмен со средой.
температура которой равна нулю. 3. Подобие краевых задач ч) 18. Сформулировать задачу теплопроводности, аналогичную задаче !О о движении вязкой жидкости. Установить необходимые и достаточные условия для того, чтобы первая задача была подобна второй с заданными коэффициентами подобия й„., А,, й„. ~) О занятии пчдобия «рзезык задач см, гл. РЬ й С стр, 21 н !тц и! УРАВНенИя пАРАБОЛИЧескйГО типА 19. Глрормулировать задачу теплопроводности 2 (задачу !)), аналогичную задаче 0 (задаче (11)) о диффузии неустойчивого газа. Установить необходимые и достаточные условия подобия задачи (1) задаче (11) с заданными коэффициентами подобия.
20. Сформулировать задачу об определении электрического напряжения в проводе, аналогичную следующей задаче об определении температуры в стержне: «Найти температуру стержня, если на одном его конце и на боковой поверхности происходит теплообмен со средой, температура которой равна нулю, а температура другого конца меняется по заданному закону; начальная температура стержня равна нулкм (задача (П)). Установить необходимые и достаточные условия подобия задачи (1) задаче (11) с затаннымя коэффициентами подобия.
21. Сформулировать задачу теплопроводности (задачу (1)), аналогичную задаче о распространении плоского магнитного поля в проводящем слое 0(х -1" (задаче (1!)) при нулевых начальных условиях, предполагая, что всюду левее слоя мпювенно установилось постоянное однородное магнитное поле, параллельное слою, причем плоскость х=1" является идеально проводящей. $2. Метод разделения переменных В первом пункте ") настоящего параграфа собраны задачи длп Однородных изотропных сред; они приводят к линейному дифференциалы)ому уравнению с постоянными коэффициентами. Во втором пункте рассматриваются задачи для неоднородных сред, а также мекоторь!е задачи с сосредоточенными факторами "*). 1.
Однородные изотропные среды. У равнения с постоянными коэффициентами а) Задачи теплопрсводнссти с пссп!Олиными граничными условиями и свободными членами 22. а) Найти распределение температуры в стержне 0(х:==1 с теплоизолированной боковой поверхностью, если температура его концов поддерживается равной нулю, а начальная температура равна произвольной функции ) (х). б) Рассмотреть, в частности, случай, когда г'(х)щя(4=сонэ(, и дать оценку погрешности, допускаемой при замене суммы ряда.
представляющего решение в точке х=Ю2, его частичной суммой, ') Стержни, провода, цилиндры. встречающиеся а асом пункте, считаютси имеющими постоянаое поперечное сечение. е«) См. пераую сноску на стр. 32. УСЛОВИЯ ЗАДАЧ и установить, с какого момента времени отношение суммы всех его членов, начиная со второго, к первому члену будет заведомо меньше наперед заданного е )О. Замечание. При этом мы будем говорить, что в рассматриваемой точке наступил регулярный режим *) с относительной точностью е, 23. Начальная температура стержня 0 =.х~1 с теплоизолироВаинай боковой поверхностью равна 1/е = соп51, а на концах его поддерживается постоянная температура и(О, 1)=1/,=сапа(, и(1, 1)=(/„=соп51, 0<1 с+со. (2) Найти температуру и(х, 1) стержня при 1->0; найти также стационарную температуру д(х) = !)ш и(х, 1).
1 +о» 24. Начальная температура стержня 0(х(1 является произвольной функцией 1(х). Температуры концов постоянны: и(0, 1) =(/, =сапа(, и(1, 1)=(/я=сапа(, 0(1<+со. На боковой поверхности происходит теплоабмен по занону Ньютона со средой, температура которой равна ие=сап51. Найти температуру стержня. Рассмотреть, в частности, случай, когда (/, = (/я = О, /() =о.
25. Найтп температуру стержня О~х~( с теплонзолированной боковой поверхностью и теплоизолированными концами, если его начальная температура является произвольной функцией х. Перейти затем к случаю, когда на боковой поверхности происходит конвективный теплообмен (по закону Ньютона) са средой, температура которой равна нулю. 26.
Найти температуру стержня, на боковой поверхности кота- рого происходит конвективный теплоабмен со средой нулевой температуры, если на концы стержня подаются извне постоянные тепловые потоки, а начальная температура является произвольной функцией. 27. Найти температуру стержня О~х(1 с теплоизолированной боковой поверхностью, если один его конец (х = 0) поддерживается при заданной фиксированной температуре, а на другой конец (х = 1) подается извне заданный постоянный тепловой поток, причем начальная температура произвольна. Рассмотреть, в частности, случай„ когда начальная температура равна нулю, а конец х=1 теплоизолироваи, и оценить погрешность, допускаемую при замене суммы ряда, представ.чяюшего решение в точке х = 1, его частичной суммой.
*) подробнее о регулярном режиме см. (Зц. П1. УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛИЧВГКОГО ТИПА Найти момент времени, с которого на конце х= 1 заведомо насту-- пит регулярный режим *) с относительной точностью В. 28. Найти температуру стержня 0 ~ х~= 1 с теплоизолированной боковой поверхностью и теплоизолированным концом х= О, если начальная температура стержня равна нулю н через конец х=1 в стержень подается постоянный тепловой поток. Бать оценку погрешности, допускаемой при замене сулниы ряда, представляющего.
решение в точке х= 0, его частичной суммой. 29. Найти температуру стержня 0 =х«=.1с теплоизолированной боковой поверхностью, один конец кгпорого (х=О) теплоизолирован, а на другом копне (х=1) происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна 1/з =сопз1. Начальная температура стержня равна нулю. Оценить погрешность, допускаемую при замене суммы ряда, представляющего решение в точке х=О, его частичной суммой; найти момент времени, с которого на.
конце х=О заведомо будет иметь место регулярный режим **). с относительной точностью В. 30. а) Найти температуру стержня 0(хв-1с теплоизолированной боковой поверхностью, если на каждом из его концов происходит конвективный теплообмен с внешней средой, имеющей постоянную температуру, а начальная температура произвольна. б) Рассмотреть, в частности, случай, когда температура внешней среды на обоих концах одинакова, а начальная температура стержня.
равна нулю, и установить связь с решением задачи 29. 31. Решить задачу 30а), предполагая, что на боковой поверх-. ности стержня происходит конвективный теплообмен со средой, температура которой равна нулю. 32. Найти распределение температуры в тонком однородном кольце единичного радиуса, на поверхности которого происходит конвективный теплообмен с окружающей средой, имеющей постоянную температуру; начальная температура кольца произвольна е""). Рассмотреть, в частности, случай, когда в начальный момент времени кольцо было равномерно нагретым.
б) Задачи теплопраеодности е переменными граничными дслоеиями и себбоднвгми членами, зависящими от х и 1 ЗЗ. Найти распределение температуры в стержне 0 - х с'1с теплоизолированной боковой поверхностью, если на его конце х= О поддерживается температура, равная нулю, а на конце х=1 ") О регулярном режиме см.
условие задачи 22 и соответствующее примечание. Здесь должно рассматриваться отношение суммы всех членов, зази. сянгих экспоненннально от времени, начиная со второГО, К пЕрвоиу чдену, аавнсяшему зкспоиенниально от времени", эти члены предполагаются занумерованными в порядке возрастания собственных значения. т*) См. задачу 22 н сноску к задаче 27. еет) См. задачу 3.
головня злдлч температура меняется по закону и(1, ()=А~, А=сова(, 0~1(+со. Начальная температура стержня равна нулю. 34. Найти температуру стержня О=х.-) с теплонзолирован- ной боковой поверхностью, если по стержню непрерывно распре- делены тепловые источники, плотность которых равна Ф(1) з)п —, 1' начальная температура стержня является произвольной функцией ~(х), а температура концов поддерживается равной нулю. 35. а) Найти температуру стержня 0(х(1 с теплонзолиро- ванной боковой поверхностью, если его начальная температура является произвольной функцией )(х), температура концов поддер- живается равной нулю, по стержню непрерывно распределены источники тепла.
плотность которых равна г (х, 1). б) Рассмотреть, в частности, предельный случай, когда в стержне действует лишь один сосредоточенный источник постоянной мощ- ности Я, находящийся в точке х„, 0(х,«(, а начальная темпе- ратура стержня равна нулю. Зб. По стержню 0(х~(, на боковой поверхности которого происходит конвективный теплообмен со средой (температура .среды равна нулю), движется печь с постоянной скоростью од. Поток тепла от печи к стержню равен д(Г) =Ае-м, где й — коэф- фшшент теплообмена, входящий в уравнение теплопроводности для стержня и,=а'脄— йи.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
