1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Установить, при каких условиях в случае а) отраженная волна отсутствует («полное поглощение») и при каких условиях амплитуда отраженной волны в два раза меньше амплитуды падающей волны. 72. К концу х=О полуограниченного провода линии без искажений была приложена постоянная здс Е в течение достаточно длительного промежутка времени, так что в проводе установилось стационарное распределение напряжения и силы тока. Затем в момент времени 1=0 конец провода был заземлен через сосредоточенное сопротивление )7«. Найти напряжение и ток в проводе при 1 - О.
73. Конец полуограниченной струны 0(х(+со, начиная с момента 1=0, движется по закону и(0, 1) =р(1). Найти отклонение и(х, 1) точек струны при 0(1(+со, если начальные скорости и отклонения равны нулю. 74. К концу полуограниченного стержня приложена продольная сила Е(Г) с момента 1=0. Найти продольные колебания стержня при 1) О, если начальные скорости и начальные отклонения его точек равны нулю. 75. Полуограниченный горизонтальный трубопровод постоянного поперечного сечения заполнен при 1(0 покоящейся жидкостью. Начиная с момента 1=0, к его концу подключается нагнетательный насос с выравнивающим воздушным колпаком*).
Найти давление и скорость жидкости в трубопроводе при 1)0. 76. Найти продольные колебания полуограниченного стержня при нулевых начальных условиях, если в момент времени 1»=йТ, й=О, 1, 2...„П, ..., стержню сообщаются продольные импульсы 1»=1=сопз( и к концу стержня прикреплена сосредоточенная масса М.
77. К концу полуограниченного провода 0(х(+со линии без искажений приложена здс Е(1) = Ез з(п «11; 0(1(+со. момент 1 0 напряжение и ток в проводе были равны нулю. айти напряжение и ток в проводе при 1)0, выделяя устано- 1 Си. задачи Ь и 6. зо УСЛОВИЯ ЗАДАЧ вившийся процесс распространении колебаний с частотой ы, и определить время, начиная с которого в точке х провода, 0(х( (+ со, амплитуда переходных колебаний будет составлять не более чем 10и/,' амплитуды установившихся колебаний.
3. Задачи для бесконечной прямой, составленной из двух однородных пол упрямых. Сосредоточенные факторы 78. Неограниченный упругий стержень получен соединенкем в точке х=О двух полусграниченных однородных стержней. При х -0 плотность массы, модуль упругости стержня и скорость распространения малых продольных возмущений равны р„Е„а„ а при х 0 они равны р„Е.„а,. Пусть из области «(О по стержню бежит волна и,(х, /)=)(1 — -'- ), 1(0. Найти отражен- а,/' ную и преломленную волны. Исследовать решение при Е,— О и при Еи-+.+со. 79. В точке х 0 неограниченной однородной струны прикреплена сосредоточенная масса М, поддерживаемая пружиной жесткости й с пренебрежимо малой собственной массой (рис.
11). Найти отклонение струны и(х, 1) при 1) О, если струна возбуждается в момент 1=0 поперечным импульсом 1 = Ми„сообщаемым массе М и направлен- Ь ным по оси пружины. 80. Масса М предыдущей задачи при колебаниях испытывает сопротивление трения, про. порциональное скорости. Рис.
11. Найти отраженную и пре- ломленную волны, ваяв за начальное условие бегущую из области х(0 волну и, (х, /) =* = / (х — а/). 81. Плоский источник малых возмущений движется равномерно с дозвуковой скоростью вдоль цилиндрической неограниченной трубки с газом. Считая, что возмущение давления в том месте, где находится в момент / - 0 источник, является известной функцией времени, найти колебания газа слева и справа от источника, если в начальный момент времени газ был в невозмушенном состоянии, а источник находился в точке х= О. 82.
Решить задачу о колебаниях неограниченной струны под действием сосредоточенной поперечной силы г (1) для 1 ) О, еслв точка приложения силы скользит вдоль струны с постоянной скоростью и, из положения «=0, причем ии (а и начальныс условия нулевые. П. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 4. Задачи для конечного отрезка з| 88. Концы струны х 0 и х 1 закреплены жестко; начальное отклонение задано равенством а(х„О) АБ1п — "" при 0«х =.1, начальные скорости равны нулю. Найти отклонения и(х, 1) при 1)0.
84. Решить задачу о продольных колебаниях стержня, один конец которого (х = 0) закреплен жестко, а другой (х= 1) свободен, если стержень был подвергнут начальному растяжению и(х, 0) =Ах, О~х~1, и начальные скорости и~(х, 0)=0, 0(х"-.1. 85. Решить задачу 84. если конец х=1 стержня закреплен упруго. 86. Один конец стержня (х=О) закреплен жестко, а другой (х=1) свободен. В начальный момент Бремени свободному концу сообщается продольный ударный импульс 1. Найти колебания стержня. 87. Один копен горизонтального стержня закреплен жестко, а другой свободен. В начальный момент времени 1=0 в свободный конец стержня ударяет груз 1,1=й48 со скоростью о„направленной по оси стержня, причем в момент 1=0 торец груза плотно соприкасается с торцом стержня.
Найти продольные колебания стержня при 1~0 в течение акта соударения. 88. Решить предыдущую задачу для стержня, у которого оба конца свободны. 89. Решить зада~у 87, предполагая, что стержень имеет форму усеченного конуса. 90. Решить задачу 88 для стержня, имеющего форму усеченного конуса. 91. Найти продольные колебания стержня при нулевых начальных условияк, если один его конец закреплен или свободен, а другой двигается по данному закону; рассмотреть случаи, когда а) правый конец закреплен, б) левый конец закреплен, в) правый конец свободен. 92.
Найти колебания возмущения давления в конце х= 0 трубопровода при 1= О, если в конце х=1 оно остается равным нулю, а расход жидкости в конце х=О является известной функцией времени. Сопротивление трубопровода пренебрежимо мало, а возмущения давления и скорость жидкости при 1= 0 равны нулю.
УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 93. Решить задачу об абсолютно упругом продольном ударе двух одинаковых стержней, движущихся в одном направлении по одион прямон со скоростями и, и п,; о,)па~О (рис. 12). Найти распределение скоростей и напряжений в стержнях в течение акта соударения.
1 Рнс, 1ув 94. К концу я=О провода линни без искажений е), начиная с момента 1=0, приложена постоянная эдс Е; коиецх=1заземлен. Начальное напряжение и начальный ток в проводе равны нулю. Найти электрические колебания в проводе при 1)0 и установить, начиная с какого момента времени ток в проводе будет отличаться от предельного (при 1-г-+ со) заведомо не более чем на 10%.
95. Решить предыдущую задачу при условии, когда конец х= 1 изолирован. 96. Один конец (и=1) провода с пренебрежимо малым сопротивлением и утечкой заземления через а) сосредоточенное сопротивление Ие, б) сосредоточенную емкость С„ в) сосредоточенную самоиндукцию Е„а к другому концу (я=О) с момента 1=0 подключается эдс Е=сопз(. Найти напряжение п(х, 1) на конце х=1 при 1) 0 для всех случаев.
9 3. Метод разделения переменных В настоящем параграфе рассматриваются задачи о колебаниях конечного отрезка струны при различных граничных условиях, а также аналогичные задачи о колебаниях из других областей физики и техникие*). 1. Свободные колебания в среде без сопротивления '**) 97. Найти колебания струны с жестко закрепленными концами к=О и я=1, возбужденной начальным отклонением, изображенным на рис. 13, и вычислить энергию отдельных гармоник, Начальные скорости равны нулю. и) СМ.
сноску н задаче 58, ее) Выборка материала по собственным вначениям н нормам собственных функций ив глав 11, 111, 1Ч, Ч, Ч1 псмепгена в 4 2 гл. ЧП. "*) В атом и следуиацих двух пунктах среды предполагаются однородными, и. РРАвнения ГипеРБОлическОГО типа О, 0(х~хе — 6, О„, соз ( — ). х„— 6(х(хе+6, О, хе+6(х(й ит = (х. О) = Найти колебания струны, если начальное отклонение равно нулю. Вычислить энергию отдельных гармоник. !03.
Найти продольные колебания стержня, один конец которого (х=О) занреплен жестко, а другой (х= 1) свободен, при начальных условиях и(х, О) =йх, и,(х, О =О при О~х~). 104. Стержень с жестко закрепленным концом х= О находится в состоянии равновесия под действием продольной силы г' =сопз1, *) См.
(7), стр 138 — 14!. ва) То же. *"") По поводу возбуждения струны мягким выпуклым молоточком см. задачу 1б2. Я Б. и. аздак а др. 08. Струна О=".х =1 с жестко закрепленными концами ло момента 1=0 находилась в состоянии равновесия под действием поперечной силы ге=сопз1, приложенной к точке хр струны пер- пендикуляоно к невозмущенному положению струны.
В начальный момент времени 1=0 действие силы га мгновенно прекращаезся. Найти колебания струны при 1) О. з 99. Концы струны закреплены жестко, а начальное отклонение имеет форму квадратичной параболы, симметричной относительна перпендикуляра к середине струны. Найти колебания струны, если начальные скорости равны нулю. чг 100. Струна *) с жестко закрепленными концами возбужда- ется ударом жесткого плоского молоточка, сообщающего ей сле- дующее начальное распределение скоростей: О, О~х(х — 6, ит(х, О)=тр(х)= О„, х — 6 =х(х„+6, О, хе+6«=-х(1, Найти колебания струны. если начальное отклонение равно нулю.
Вычислить энергию отдельных гармоник. 101. Струна *а) с жестко закрепленными концами возбуждается даром острого молоточка, передающего ей импульс ! в точке х,. айти колебания струны, если начальное отклонение равно нулю. Вычислить энергию отдельных гармоник. 102. Струна с жестко закрепленными концами возбуждается ударом жесткого выпуклого молоточка ***), сообщающего ей начальное распределение скоростей эсловня зхЛлч приложенной к концу х=- к В момент ! = 0 действие силы й'„, мгновенно прекращается. Найти колебания стержня, если начальные скорости равны нулю.
106. Найти продольные колебания упругого стержня со свободными концами, если начальные скорости и начальные смещения в продольном направлении произвольны. Учесть возможность равномерного прямолинейного движения стержня. !06. Найти колебания упругого стержня со свободными концами, получившего в начальный момент времени продольный импульс ! в один из концов.
107. Решить предыдущую задачу для случая, когда конец„ которому не сообщается импульс, закреплен жестко. 106. Один конец стержня закреплен упруго, а другой свободен. Найти продольные колебания стержня при произвольных начальных условиях. 109. Один конец стержня (х = !) закреплен упруго, а к другому (х =О) приложена продольная сила й; = — сопз(, под действием которой стержень находится в состоянии равновесия. Найти колебания стержня после того, как в начальный момент времени сила г' мгновенно исчезает, если начальные скорости равны нулю. 110. Один конец стержня (х=!) закреплен упруго, а другой (х О) получает в начальный момент времени продольный ударный импульс !.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
