1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Мы надеемся, однако, что эта книга будет полезна не только для учащихся, но также для инженеров и сотрудников научноисследовательских учреждений. Для удобства пользования книгой в конце ее помещен ряд справочных материалов. При литературных указаниях мы наиболее часто ссылаемся на книгу А. Н. Тихонова и А. А. Самарского «Уравнения математической физики» 171, поскольку обозначения и порядок расположения материала в данном задачнике наиболее соответствуют принятым в этой книге. предисловия В заключение авторы считают необходимым отметить, что хотя Б.
)ь). Будак и А. Н. Тихонов работали над одной группой глав„ а А. А. Самарский и А. Н. Тихонов над другой группой глав„ совместная выработка общей структуры задачника и совместное обсуждение написанных глав задачника делает каждого из них в равной мере ответственным за все его содержание. Б. М. Будах, А. А. Самарский, А . Н. Тихонов Москва Фавраль 1955 и ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЪЕМУ ИЗДАНИЮ Настоящее издание является исправленным. Выражаем благодарность всем товарищам, обнаружившим опечатки в предыдущих изданиях. Аваюры Москва )979 в, УСЛОВИЯ ЗАДАЧ ГЛАВА 1 КЛАССИФИКАЦИЯ И ПРИВЕДЕНИЕ К КАНОНИЧЕСКОМУ ВИДУ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА В этой главе предлагаются задачи на определение типа и приведение к каноническому виду уравнения для функции двух и более независимых переменных. В случае двух независимых переменных рассматриваются уравнения с постоянными и переменными коэффициентами; в случае трех и более независимых переменных — лишь уравнения с постоянными коэффициентами, так как при трех и более независимых переменных уравнение с переменными коэффициентами не может быть, вообще говоря, приведено к каноническому виду с помощью преобразования, общего для целой области, в которой уравнение принадлежит данному типу.
В э 1 приведены задачи для уравнения относительно функции двух, а в э 2 — трех и более независимых переменных. й 1. Уравнение для функции двух независимых переменных а„и„„+2а„и +а„и„+Ь,и.,+Ьэи„+си=Ях, у) 1. Уравнение о переменными коэффициентами 1. Найти области гиперболичности, зллнптичносги и параболичности уравнения !Е+х) и + 2хуи„— у'и„=О и исследовать их зависимость от Е, где Š— числовой параметр. В задачах №№ 2 — 20 привести уравнение к каноническому виду в каждой из областей, где его тип сохраняется. 2. и„„+хи„„О. 3.
и„„+уи„~=*О. ! 4. и„„+уи„+ эи„=О. 1О УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 5. уи„„+хи„„=О. 6. хи „+диУ„О. 7. и„+хуи„„=О. 8. и„„з!6пу+2и„е+ищ,— — О. 9. и„+2и„„+(1 — з!апд) и„,=О. 16. и„„.з!6пу+2и„„+иеез!5пх=О. 11. у'脄— х'и „=О. 12. х'脄— дэи„„=О. 13. ххи„+ухи„„=О. 14.
д'и„„+х'и„„=О. 15. де и„„+ 2хуи„у + хеи„„= О. 16. ххи„„+2хуи„„+ухи„„=О. 17. 4уеи„,— е' и — 4уеи„=О. !6. хяи„,+2хуи„— Зуе脄— 2хи + 4ди„+ !6х4и =О. 19. (1+х') их„+(1+у') и„,+хи„-(-ди„=О. 20. и „з!и'х — 2уи,.„э4п х+у~и„„=О. 2.
Уравнение о постоянными коэффициентами с помощью замены искомой функции и(х, у) =е' +ауо(х, у) и приведения к каноническому виду упростите следую!цие уравнения с постоянными коэффициентами 21. аи +4аи„„+аи„„+би„+си„+и=О. 22. 2аи„„+2аи„„+аие„+25и,+2си„+и=О. 23. аи„„+2аи„„+аи„„+би +си„+и=О. 9 2. Уравнение с постоянными коэффициентами для функци» и независимых переменных ,У, 'а!Аи,ех! +,'5, '5!и „,. + си = !". (хА, ..., х„), !. А —.-! Привести к каноническому виду уравнения 24 — 28.
24. и„„+2и„„+2и„„-»-4ие,+Би„+и +и„=О, 25. и„,— 4и +2и„+4и„„+и„О. 26. и +ив+и „+и„-2ии!+и,+и! — 2и„, =О, Т, УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫН ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА 1! 27. иуу+и„,— и!„— и„,+и!у+им О. и Р 28. а) ~и„Г„!+,Яи !,А=О. 1=! !<А б) ! ', и.!. = О. !<А 29. Освободиться от членов о младшими производными в уравнении Я~о!ИА!„!+ ~~ 6!НУ!+со=! ТАТ> хА1 ° ° ° ! хА), й!чьО! != 1 ° .. ° ! 6. А~! ! ! ГЛАВА П УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА К уравнениям гиперболического типа приводят задачи о колебаниях сплошных сред (струна, стержень*), мембрана, газ и др.) и задачи об электромагнитных колебаниях.
В настоящей главе рассматриваются постановка и решение краевых задач для уравнений гиперболического типа (см. сноску) в случае, когда изучаемые физические процессы могут быть охарактеризованы функциями двух независимых переменных: одной пространственной координаты и времени. Уравнениям гиперболического типа для функций с большим числом независимых переменных посвящена гл. У1. й 1. Физические задачи, приводящие к уравнениям гиперболического типа; постановка краевых задач В первой группе задач этого параграфа предполагается непре- рывность и однородность сред, а также непрерывность распре- деления сил.
Во второй группе задач допускается неоднородность сред и разрывы как характеристик сред, так и плотности распределения сил. Третья группа задач посвящена установлению подобия между различными колебательными процессами. Поставить краевую задачу, соответствующую физической задаче, это значит, прежде всего, выбрать функцию, характеризующую физический процессе* ), а затем *) Поперечные колебания упругого стержня приводят к параболическому уравнению четвертого порядка, в то время как продольные колебания — я ги. перболическому уравнению второго порядка. Однако краевые задачи для поперечных колебаний стержня весьма родственны краевым задачам для про.
вольных колебаний стержня и поэтому рассматрнвмотся в настоящей главе. Можно указать также ряд важных физичесхнх задач, приводящих х уран пениям гиперболичесного типа для функций, не зависящих от времени; напри. мер, при стационарном обтекании тела саерхзвуховым поюяом газа для потен. циала скоростей получается уравнение гиперболического типа, е*) Кан правило, эта функция будет нами указываться уже в условиях аадачи. 1З П. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 1) вывести дифференциальное уравнение для этой функции, 2) вывести для нее граничные условия, 3) сформулировать начальные условияз). 1. Свободные колебания в среде без со противления; уравнения с постоянными коэффициентами При изучении малых колебаний в однородных средах**) мы приходим к дифференциальным уравнениям с постоянными коэф.
фициентам и. 1. Продольные колебания стержня. Упругий прямолинейный стержень выведен из состояния покоя тем, что его поперечным сечениям в момент времени 1=0 сообщены малые продольные смещения и скорости. Предполагая, что поперечные сечения стержня все время остаотся плоскими, поставить краевую задачу для определения смещений поперечных сечений стержня при 1э О. Рассмотреть случаи. когда концы стержня а) закреплены жестко, а') двигаются в продольном направлении по заданному закону, б) свободны, в) закреплены упруго, т. е.
каждый из концов испытывает со стороны заделки продольную силу, пропорциональную смещению и направленную противоположно смещению. 2. Малые колебания струны***). Струна натянута с силой Тз и находится в прямолинейном положении равновесия; ее концы неподвижно закреплены. В момент)=О точкам струны сообщаются начальные отклонения и скорости. Поставить краевую задачу для определения малых отклонений точек струны при 7) О.
3. Крутильные колебания упругого цилиндра. Упругий однородный цилиндр выводится из состояния покоя тем, что в момент времени 1 =О его поперечные сечения получают малые повороты в своих плоскостях относительно оси цилиндра. Поставить краевую задачу для определения углов поворота поперечных сечений цилиндра при 1 )О; рассмотреть случаи *) Наличие начальных условий характерно для основных краевых задач гиперболического и параболического типа. По поводу понятий и определений, связанных с постановкой краевых задач для уравнений гиперболического типа см. 171, стр. З — 47, и стр.
120 — 121. **) Йапример, в однородных стержнях н струнах яосюяиного поперечного сечения. *"") Вывод уравнения малых поперечных и малых продольных колебаний струны подробно выполнен в [71, стр. 2З вЂ” 2В. В предлагаемой задаче требуется вывести уравнение колебаний струны при смещении ее точек в произвольных направленивх, УСЛОВИЯ ЗАДАЧ свободных, жестко закрепленных и упруго закрепленных концов.
4. Продольные колебания газа в трубке. Заключенный в цилиндрической трубке идеальный газ совершает малые продольные колебания; плоские поперечные сечения, состоящие из частиц газа, не деформируются, и все частицы газа двигаются параллельно оси цилиндра. Поставить краевые задачи для определения 1) плотности р, 2) давления р, 3) потенциала гь скоростей частиц газа, 4) скорости о и 5) смещения и частиц газа в случаях, когда концы трубки а) закрыты жесткими непроницаемыми перегородками, б) открыты, в) закрыты поршеньками с пренебрежимо малой массой, насаженными на пружинки с коэффициентом жесткости у н скользящими без трения внутри трубки. 5. Задача Жуковского о гидравлическом ударе.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
