1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 4
Текст из файла (страница 4)
27. Рассмотреть задачу 26 для случая поперечных колебаний составного неограниченного стержня. 28. Рассмотреть задачу, аналогичную задаче 26, для продольных колебаний газа в неограниченной цилиндрической трубке, если по одну сторону некоторого поперечного сечения находится газ с одними физическими характеристиками, а по другую †другими. 29. Поставить краевую задачу о волновом движении жидкости в канале**) с прямоугольным поперечным сечением, если размеры поперечного сечения в некотором месте канала резко изменяются, т. е.
канал «составлен» из двух полуограниченгых каналов с различными поперечными сечениями. 36. Рассмотреть задачу 26, предполагая, что торцы составляющих стержней соединены не непосредственно, а между ними находится жесткая прокладка пренебрежимо малой толщины массы М. 31. Два полуограниченных одногодных стержня с одинаковым прямоугольным поперечным сечением соединены торцами так, что составляют один неограниченный стержень постоянного поперечного сечения„причем торцы полуограниченных стержней соединены не непосредственно, а между ними находится жесткая прокладка пренебрежимо малой толщины с массой М. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях такого стержня.
32. Поставить краевую задачу о продольных колебаниях однородного упругого вертикального стержня, пренебрегая действием поля силы тяжести на частицы стержня, если верхний конец стержня закреплен жестко, а к нижнему прикреплен груз ~>, причем за положение равновесия принимается ненапряжепное состояние стержня (например, в начальный момент времени из-под груза убирается подставка и груз начинает растягивать стержень). *) Если один нз концов стержня столь удален от рассматркваемой области, что можно в рассматрвваемой области и в течение рассматриваемого промежутка времени пренебрегать возмущениями, распространяющимися от этого конца, тогда стержень можно считать полуограниченным (хэ ~ х <+со или — со < -сх их хе); если же оба кон[!а стержня находятся в таком положении, то стержень ьюжно считать неограниченным ( — со(х(+со).
Это можно сказать О струне, о трубне, наполненной газом, и т, д. "") См. задачу 7, УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 33. Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях в вертикальной плоскости упругого прямоугольного однородного стержня, расположенного в ненапряженном состоянии горизонтально, если один конец стержня жестко закреплен, а к другому прикреплен груз Гг', момент инерции которого относительно средней горизонтальной линии примыкаюшего торца пренебрежимо мал, причем за положение равновесия принимается ненапряженное состояние стержня. 34.
Поставить краевую задачу о продольных колебаниях упругого горизонтального стержня с грузом 9 на конце, если другой конец стержня жестко прикреплен к вертикальной оси, которая вращается с угловой скоростью, меняющейся с течением времени по заданному закону. Изгибные колебания считать исключенными с помощью специальных направляющих, между которыми скользит стержень во время продольных колебаний.
35. Рассмотреть задачу 34, предполагая, что ось врашения расположена горизонтально. 36. Поставить краевую задачу о кругильных колебаниях цилиндра длиной 21, составленного из двух цилиндров длиной если на концах составленного цилиндра и между торцами соеди' няемых цилиндров находятся жестЮlкийг кне шкивы (рис. б) с заданными осевыми моментами инерции.
37. Пусть неограниченная струи на совершает малые поперечные колебания под действием попереч'- Е ной силы, приложенной, начиная с момента Г=О, в некоторой за- данной точке струны. Рис, 5. Поставить краевую задачу для определения отклонений точек струны от их положения равновесия.
Рассмотреть также случай, когда точка приложения силы перемещается с течением времени вдоль струны по заданному закону. 38. Рассмотреть задачу 37 для поперечных колебаний стержня. 39. Конец полуограниченной цилиндрической трубки, заполненной идеальным газом, закрыт поршнем массы М, скользящим в трубке, причем сопротивление трения пропорционально скорости поршня с коэффициентом пропорциональности, равным й:". Пусть поршень насажен на пружинку с коэффициентом упругости й** и осью, направленной по оси трубки.
Поставить краевую задачу о продольных колебаниях газа в трубке. 49. В некоторой точке неограниченной струны прикреплен шарик массы М, а к нему прикреплена пружинка с коэффицн- и. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА витом упругости й и осью, перпендикулярной к равновесному положению струны (см. рис. 11).
Поставить краевую задачу о поперечных колебаниях струны. Рассмотреть также случай, когда шарик испытывает сопротивление, пропорциональное скорости с коэффициентом пропорциональности й*. 4!. Поставить краевую задачу об электрических колебаниях н проводе с пренебрежимо малыми сопротивлением и утечкой, если концы провода заземлены: один — через сосредоточенное сопротивление Йм а другой †чер сосредоточенную емкость Сэ 42. Рас:,:отреть задачу 41, предполагая, что одни конец провода заземлен через сосредоточенную самоиндукцню Е,"', к другому приложена электродвижущая сила ЕЯ через сосредоточенную самоиндукцию Ц='.
43. Поставить краевую задачу об электрических колебаниях в проводе, если концы провода заземлены через сосредоточенные сопротивления. 44, Поставить краевую задачу об электрических колебаниях в проводе. если каждый из его концов заземлеи через последовательно включенные сосредоточенное сопротивление и сосредоточенную самоиндукцию. Найти соотношения, которым должны удовлетворять величины сосредоточенных самоиндукций и сопротивлений лля того, чтобы для О(х,1) имели место однородные граничные условия третьего рода. 45.
Поставить краевую задачу об электрических колебаниях в неограниченном проводе, полученном соединением двух полу- ограниченных проводов через сосредоточенную емкость С,, Рассмотреть краевую задачу для определения силы тока в случае, когда утечки нет. 48, Рассмотреть задачу 45 для случая, когда полуограииченные провода соединяются не через сосредоточенную емкость, а через сосредоточенное сопротивление Й .
47. Поставить краевую задачу об электрических колебаниях в проводе, один конец которого заземлен через параллельно включенные сосредоточенное сопротивление Й, и сосредоточенную самоиндукцию ЕМ>, а другой †чер параллельно включенные сосредоточенную емкость Сэ и сосредоточенную самоиндукцию Ьт'т. 48. Поставить краевую задачу об электрических колебаниях в проводе, концы которого замкнуты через а) сосредоточенную самоиндукцию Е, б) сосредоточенное сопротивление )1„ в) сосредоточенную емкость С,. 22 наловив злдлч 5. Подобие краевых задач Пусть даны две краевые задачи ([) и (11), соответствующие физическим явлениям одинаковой или различной природы. Обозначю) через х',(', и'(х',(') пространственную координату, время и искомую функцию в одной задаче, а через х",(", и (х",(") — соответствующие велнчнны в другой задаче.
Если уравнение, начальные и граничные условия одной и другой задач имеют соответственно одинаковую форму, то задачи называются аналог ичн ы м и. Обозначим через В~ область изменения (х', (') в задаче (1), а через Вц — область изменения (х", (") в задаче (1!). Если существуют такие константы Аз,йг, Йя, «коэффициенты подобияэ, чэо и'(х',(') =м„и (т",(') при хы=й х", ('=Аг(, (1) причем (х'„(') пробегает Вю когда (х", (") пробегаег Вы„то задача (1) называется подобной задаче (11) с коэффициентами подобия Ая„йг, А„е).
Нетрудно гюказатть что если задача (1) подобна задаче (11), то можно так выбрать едьщицы измерения хо, (о, ио, хо, (о, ио в задачах (!) и (!!), что переход к безразмерным величинам л' г и' л" г" я" "о уо "о эо )о "о приводит к полному совпадению обеих краевых задач, а именно: область, пробегаеттая (й, т) в обеих задачах становится одинако- вой, коэффициенты в уравнениях и граничных условиях стано- вятся безразмерными и численно равнымиве), свободные члены и начальные значения становятся тождественно равными. Очевидно, справедливо и обратное утверждение: если существует преобразо- вание единиц измерения, переводящее задачи (1) и (11) в тожде- ственно совпадающие безразмерные задачи, то задачи (1) и (П) подобны, 49.
Сформулировать задачу об элыстрн )вских колебаниях в проводе, аналогичную задаче о продольных колебаниях одно- родного упругого стержня, один конец которого закреплен жестко, а другой свободен. Установить необходимые и достаточные условия для того, чтобы первая задача была подобна второй с заданными коэффициентами подобия. ') Преобразование(1) является аффвнным.(таким образом, решение задачи (1) получается нз решения задачи (11) с папашью аффинпаго преобразования.) )Ыожно рассматривать более широкий класс зффннныя отображений, включаю. ший. кроме растянсеннй н сжатий, еше и параллельные переносы, т.
е. изме нсння начал отсчетов величии х, 1, и. '*) Зти безразмерные коэффинвенты называются критериями подобия. П. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА бб. Сформулировать задачу об электрических колебаниях в проводе, аналогичную задаче о продольных колебаниях однородного упругого стержня, в следующих случаях а) один конец стержня закреплен жестко, а другой упруго; б) один конец стержня свободен, а другой испытывает сопротивление, пропорциональное скорости; в) один конец стержня закреплен упруго.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
