1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Найти функцию, гармоническую внутри кругового сектора 0(р(а, 0(ф(и, если ии и р д ф и (<р и — О и (ц и ии !9. Найти решение уравнения Лапласа в полуплоскости у)0„ принимающее при у=О граничные значения и=фг при х:.0; и=фи при х~О, и сравнить его с решением задачи !8. 20. Определить функцию и, гармоническую а) внутри сферы радиуса г=а, б) вне сферы г=а и принимающую на сфере значение и,. 21. Определить стационарное распределение температуры внутри сферического слоя а ( г ( Ь, если сфера г = а поддержи- вается при температуре и„сфера г=Ь вЂ” при температуре и,. 22.
Пользуясь решением задачи 21, найти емкость сфериче- ского конденсатора, заполненного диэлектриком с диэлектрической постоянной е=сопз1 и ограниченного сферами г=а и г=Ь. пк гехзнения эллиптического типе 23. Найти емкость сферического конденсатора, заполненного неоднородным диэлектриком с диэлектрической постоянной е, при а -г<с, е= е, прис<г<Ь. 24. Решить аздачу, аналогичную предыдущей задаче, для цилиндрического конденсат ора. 25, Найти потенциал электростатического поля сферы радиуса а, заряженной до потенциала и„и помещенной в неограниченную среду со следующим распределением диэлектрической постоянной: ег при а<г<с, е= е, при г)с.
Рассмотреть частные случаи: а) с=ос, б) аз=со, з) ег=е,=е. 26. Найти электростатическое поле бесконечного проводящего цилиндра радиуса р=а, заряженного до потенциала и и окру- женного диэлектрической обкладкой, ограниченной цилиндриче- ской поверхностью радиуса р = Ь, иа которой поддерживается нулевой погенциал. 27.
Найти функцию и, гармоническую внутри слоя, ограничен- ного плоскостями г=О и г=й, если и! ~=и„и ~, ь — — и,. 28. Найти емкость плоского конденсатора, рассчитанную на единицу плошади обкладок, если между обкладками конденсатора находитси диэлектрик с диэлектрической постоянной з. Рассмотреть два случая: а) е=сопз! при 0<г<й, ег при 0<г йп б) е= е~ при Ь, < г < Ь. 29. Определить функцию и=и(х, у), гармоническую внутри прямоугольника 0 < х < а, 0 < у < Ь н удовлетворяющую условиям и(х, 0) и„и(х, Ь)=и„— ~ =О. ди дх ~.о к а 2. Краевые задачи для уравнения Пуассона 30.
Найти решение уравнения Пуассона Ьи=! внутри круга радиуса р а, если и<р — — О, 31. Решить уравнение аи А внутри круга радиуса р=*а при ди! граничном условии,— <э В, выбрав постоянную В так, чтобы задача имела решение. условия зьдлч 32. Требуется определить решение уравнения Ли = г) внутри кольца и « р с., Ь при следующих граничных условиях: а) и~д ь —— и„ б) и)р =и,, в) — ~ =В, Оп е слить и р-ь=и,; =С; р-ь ди — =С. дл р-ь 3 3. Функция источника Функция влияния точечного источянка (функция Грина) является весьма мощным средством решении краевых задач для уравнения Лапласа н Пуассона.
Настоящий параграф содержит задачи на построение функции источника для ряда областей, допускающие применение метода зеркальных изображений (метода отражений); при этом исходной является функция источника в неограниченном пространстве, раве 1 е иая — --, где — — мощность источника (заряд). чп г' 4п Возможны различные физические интерпретации функции источника (электростатическая, термическая и т. д.). При формулировке задач мы обычно пользуемся электростатической интерпретацией функции источника, предполагая границы областей идеально проводящими и заземленными. Задачи на построение функции источника методом разделения переменных даны в 3 4. 1. Функция источника для областей с плоскими границами 35. Найти потенциал поля точечного электрического заряда, помещенного над идеально проводящей заземленной плоскостью в=О, и вычислить плотность поверхностных нндуцированиых рд остоянные, при которых задачи имеют решения.
33. Найти решения: а) уравнения Ли=1, б) уравнения йи=-Аг+В внутри сферы г а, если па сфере выполняется граничное условие и~, „=О. 34. Найти внутри сферического слон а <; г~3 решения уравнений а)Ьи = 1, б) Ли =А+в и г при граничных условиях и 1, = О.
и ~ ь = О. пс юывикпия эллиптического пшл зарядов. Написать решение первой краевой задачи для уравнения Х!апласа в полупрострапстве г=-О. 33. Найти потенциал точечного заряда внутри слоя, ограниченного двумя идеально проводящими плоскостями г=О и г=1. которые поддерживаются при потенциале, равном нулю. Исследовать сходимссгь ряда, построенного методом отражений, и показать возможность двукратного почлеиного дифференцирования этого ряда. 37. Рассмотреть задачу о точечном истсчнике тока в проводящем слое О < г ~1, изолированном вдоль плоскостей г = О и г= 1.
Найти компоненты электрического поля и убедиться в том, что непссредстсеннсе применение метода отражений для нахождения потенциала дает расходящийся ряд. 38. Рассмотреть задачу 37, считая, что одна стенка изолирована, а на второй — потенциал поли равен нулю. Исследовать сходимосгь рядов для потенциала. 39. Построить фуикшпо неточна ка для уравнении Ьи = О в полупростравстве г О при граничном условии третьего рода ди — + Ьи=О при г=О.
дг 4О. Найти потенциал точечного заряда внутри «полуслов» 0== г =.1, г=О, ограниченного плоскостями г=О, г=1 и х= — О, считая, что стенки идеально проводящие и имеют нулсгой потен- циал. 4!. Внутри двуграниого угла величиной сс = — (и — натуральл нос число), ограниченного идеально прсводящими стенками с нуле- вым пгиепциалом, точечный электрический заряд. Найти электои- ческое поле, порождаемое этим зарядом.
42. Двугргнный угол зада и 4! пересекают две идеально про- водящие плоскости г=-О г=.1, перпендикулярные к ребру дву- граппого угла. Внутри области, ограни'.энной двугранным углом и эпми плоскостями, помещен точечный заряд. Потенциал всех плоскостей равен нулю. Определить потенгшал голя этого заряда. Рассмотреть част- ныс случаи: а) а=я (ср. с задачей 36), б) 1-»-со (ср. с задачей 35). 43. Внутри двугранного угла задачи 4! помещен источник тепла мощностью Я. Найти стационарное распределение температуры внугри этого угла, если его сченки теплопзолированы. 44. Решить с помощью функции источника первую краевую л задачу внутри двуграиного угла величиной «» †, где и — натул' условия задхч ральное число, если на его сторонах заданы граничные условия и~„О, и~ з .$~.
45. Решить помощью функции источника первую краевую задачу для уравнения Лапласа в полуплоскости 5~0, если [ 0 при к~О, [ У прн х)0. 46. Найти потенциал электростатического поля, создаваемого точечным зарядом внутри бесконечной цилиндрической полости, считая, что граница области идеально проводящая и имеет нулевой потенциал, а перпендикулярное сечение полости имеет форму прямоугольника со сторонами а и 6.
47. Решить задачу 46, предполагая, что перпендикулярное сечение имеет форму равнобедренного прямоугольного треугольника. 48. Решить задачу 46 для полубесконечной цилиндрической полости г) О. 49. Найти выражение для потенциала точечного заряда внутри прямоугольного параллелепипеда с идеально проводящими стенками, которые поддерживаются при нулевом потенциале. 2. Функция источи ик а для областей со сферическими (круговыми~ и плоскими гранипами 60.
Найти потенциал электростатического поля, создаваемого точечным зарядом е внутри заземленной сферы. 61. Пользуясь решением задачи 60, найти плотность поверхностных зарядов, индуцированных на сфере, и написать решение первой внутренней краевой задачи для уравнения Лапласа внутри сферы; получить отсюда формулу Пуассона, дающую решение первой краевой задачи для уравнения Лапласа (см. [7), гл. !Ч, стр. 327;.
52. Найти потенциал электростатического поля, создаваемого точечным заридом, находящимся вне заземленной сферы. 55. Пользуясь решением задачи 62, вычислить плотность поверхностных зарядов на сфере и написать решение первой внешней краевой задачи для сферы. 54. а) Внутри бесконечной цилиндрической полости кругового сечения электростатическое поле создается заряженной нитью, параллельной оси цилиндра.
Найти потенциал этого поля. б) Решить ту же задачу, если заряженная нить находится вне цилиндра. в) Решения задач а, и б) использовать для построения реше» ния задачи Дирихле внутри и вне круга. 1\С УРАВНЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА 55. Найти функцию источника для йи =0 внутри заземленного -полушара, а также четвертой части шара. 56. Построить функци1о источника для задачи Дирихле1 а) внутри полукруга, б) внутри четвертой части круга, в) внутри сектора с углом раствора о= — " . 57. Найти потенциал поля, создаваемого точечным зарядом г внутри сферического слоя, ограниченного двумя концентрическими проводящими заземленными сферами с радиусами а и Ь.
Исследовать сходимость построенного ряда, а также рядов, получающихся при двукратном почленном дифференцировании исходного ряда. Рассмотреть предельные случаи а — 0 и Ь-+ со н сравнить с решениями задач 50 и 52. 58. Построить внутри кольца а(р -Ь функцию источника для задачи Днрихле. Рассмотреть предельные случаи а-э оо и Ь - ОО и сравнить с решением задачи 54. 59.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
