1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 22
Текст из файла (страница 22)
33. В неограниченном пространстве, заполненном идеальным покоящимся газом, находится сферическая оболочка радиуса г, с центром в фиксированной точке. Начиная с момента т=О, радиус сферической поверхности непрерывно меняется по заданному закону, причем радиальная скорость точек поверхности равна р(1). Найти движение в случае, когда )э(т)=Аз1пта|. 34.
Решить предыдущую задачу, если сфера находится в полу- пространстве, ограниченном неподвижной плоскостью. 35. В неограниченном пространстве, заполненном идеальным покоящимся газом, находится сфера фиксированного радиуса г,. С момента 1=0 центр сферы совершает малые колебания со скоростью )т(1), причем ~ $7(1)! с а, где а — скорость звука. найти потенциал скоростей частиц газа. 36. Решить задачу о стационарном симметричном сверхзвуковом обтекании клина потоком идеального газа; найти потенциал скоростей в возмущенной области и возмущение давления на клине **).
37. Решить задачу о стационарном симметричном сверхзвуковом обтекании кругового конуса с небольшим углом раствора ** ). 38. Распространяющейся плоской волной для уравнения и„=пайи+си. ') См. (7], стр. 413 — 414; (2), т. 11, стр. 553 — 5та5. ") См. задачу 7. э*') См. задачу 8. ыз У1 УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА д"е Фи где Ьп= — +... + —, НВЗЫВВЕГСЯ РЕШЕНИЕ ВИДа дх) " дхй ' ~ и -~ (~ ~*,— ы).
(2) а=% ~ Б и. ° -.=~(~.ю-и) .. 1=! яниое значение на каждой плоскости семейства ~ пуху — Ы = соп51. ь'=! (3) Расстояние от плоскости (3) до начала координат х,=О, х,=О... ..., х„=О равно И+ соп51 (4) Ф,Г С изменением 1 плоскость (3) движется со скоростью ь (6) оставаясь параллельной своему начальному положению(при (=0) )' ПГх~=соп51; (6) 1 ! иными словами, со скоростью (6) она удаляется от своего первоначального положения (6). Для упрощения выкладок будем а в дальнейшем считать, что ~',а,".
1, т. е. что а,являются направ- ляющнми косинусами нормали к плоское ти (3); Я= ~Ч ', а,х, — Ы г ! называется фазой волны (2), а г — формой волны. Локазать, что 1) для существования плоских волн произвольной формы у уравнения (1), распространяющихся со скоростью а в любых направлениях, необходимо и достаточно, чтобы было с= О; 2) при счь О у уравнения (1) существуют плоские волны любых направлений распространения и любых скоростей, кроме скорости а, однако их форма не можег быть произвольной, а является решением дифференпиального уравнения 1" (()) (аз — Ьк) +1 (й) С = О.
(у) ))4 головня задач 39. Решить задачу о стационарном обтекании волнообразной стенки у=ез1пьх, где а — мало, — оо(х(+со, потоком идеального сжимаемого газа, невозмущенная скорость которого совпадает по яаправленню с осью х и равна (/ =сопя(. Рассмотреть случаи: а) дозвуковой скорости потока, б) сверхзвуковой скорости потока. 40. Путем суперпозиция плоских волн с фронтом, параллельным оси г, )(а) — ах — ))у), где и и р — направляющие косинусы нормали к фронту волны. получить цилиндрические волны аФ+ )(й) К4 р' ж — (а( а)з Я где г =-) ха+да.
Найти явное выражеяие для ф(г, () прн условии, что О при — со($( — г„ ~(~)= ((а=сопя( при — г„($ ='г„, О при га(я(+ со. 41. Путем суперпозиции сферически симметричных волн й(а( — к) ),(а(+г) ) и '( + ), где ),(В) и ),(5) — произвольные функции, получить цилиндрические волны оФ вЂ” а +~о Зб (з) Ш; ( ) '2)~(й) ас г (а( — а)а — р~ ) р (а( — д" — ра р ра=ка+9', предполагая интегралы сходящимися. 42.
Найти цилиндрически симметричные монохроматические волны в неограниченном пространстве, решая уравнение ив=а*Ли, а затем получить эти волны путем суперпозиции плоских моно. хроматических воли. 43. Путем суперпозиция плоских волн получить сферическую волну вида Ф ~(+ — ) — Ф(( — ) 44. Решить задачу об отражении и преломлении плоской моно.
хроматической волны на плоской границе раздела двух различных идеальных газов; найти соотношение между углами падения, отраккения и преломления, а также между амплитудами падающей, отраженной и преломленной волн. Невозмущенные давления в обоих газах предполагаются одинаковыми. у! УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧесКОГО типА ыв 46. Найти соотношение между углами падения, отражения н преломления плоской монохроматической электромагнитной волны на плоской грапипе двух однородных нзотропных диэлектриков. 46. Рассматривая случай нормального падения плоской моно- хроматической электромагнитной линейно поляризованной волны иа плоскость раздела двух однородных нзотропиых диэлектриков, найти соотношение между амплитудами падающей, отраженной и преломленной волн и дать выражение для этих волн.
й 3. Метод разделения переменных *) 1. Краевые задачи, не требующие применения специальных функций В этом пункте рассматриваются также краевые задачи для областей с плоскими и сферическими границами, решения которых выражаются в ниде рядов по простейшим (элементарным) собственным функциям оператора Лапласа для этих областей. Сначала среды предполагаются изотропными и однородными, затем приводится несколько задач для неоднородных сред. а) Однородные среди 47.
Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны О(х((и 0(ув-(» с закрепленным краем, вызванные начальным отклонением и (х, у, 0) = Аху (8, — х) ((в — у), если реакцией окружающей среды можно пренебречь. 46. Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны О~х((О О~у -(в с закрепленным краем, вызванные началы ным распределением скоростей и,(х, д, 0) = Аху((, — х)((» — у), если реакцией окружающей среды можно пренебречь. 46.
Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны О~х~(О О =у((в с закрепленным краем, вызванные поперечным сосредоточенным импульсом К, сообщенным мембране в точке (х», у»), О~х„((,, О~у» (в, считая. что реакция окружающей среды пренебрежимо мала. 50. Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны 0(х~(и О~у~(» с закрепленным краем, вызванные непре- «) См. первую сноску н» стр 32. 116 УСЛОВИЙ ЗАДАЧ рывно распределенной по мембране и перпендикулярной к ее поверхности силой с плотностью г" (х, у, 1)= А(х, у)з1пМ, 0<1<+со, считая, что реакция окружающей среды пренебрежимо мала.
5!. Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны 0 х<(м 0<у<( с закрепленным краем, вызванные сосредоточенной поперечной силой г(1)=Азшоз~, А=сопз(, 0<г<+со, приложенной в точке (хм рч), 0<к~<(„0<у~<(м считая, что реакция окружающей среды пренебрежимо мала. 52. Найти колебания воды в прямоугольном резервуаре 0 =.х я.", "(о О < р < (, под действием переменного внешнего давления на свободной поверхности рч(х, у, Г)=А соз — соз — ~Р(Г), 0<Х<+оо, ~(0)=О, й если глубинз воды в невозмущенном состоянии равна й.
Функция ~(() предполагается имеющей непрерывную производную *). 53. Решить задачу 49, предполагая, что окружающая среда оказывает сопротивление, пропорциональное скорости. 54. Найти установившиеся колебания прямоугольной мембраны 0<х<(„0<у<1, в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, под действием равномерно распределенной поперечной силы с плотностью г=Азшвг, 0<(<+со, А=сопз(. Контур мембраны закреплен неподвижно. 55. Идеальный газ заключен между двумя концентрическими сферами Я„и 3,, Радиус внутренней сферы Яо меняется по закону г(1)=гт+ез|поМ, — со<(<+со, 0<в ~гз — г„, а внешняя сфера остаегся неизменной. Найти установившиеся колебания газа между сФерами.
56. Идеальный газ заключен между двумя концентрическими сферами Я„, и Я,, с фиксированными радиусами г, и г,. Нвйтн колебания газа между сферамн, вызванные начальным радивльным .возмущением плотности о (г, 0) = ) (г), г, < г < г . ') См. алычи 9 В 1О. 11 7» чь КРАВнения ГипеРБОлическОГО типА б) »1еоднородные среды 67. Найти поперечные колебания прямоугольной мембраны 0(.. ~х(1„0(у(1„составленной из двух однородных прямо-- угольных кусков 0(х(хы 0(у(1, и х ч..х(1„0(у(1 вызванные начальными поперечными возмущениями. 68.
Сферическая полость фиксированного радиуса г, заполнена двумя различными идеальными газами, поверхностью раздела ноторых является сфера Я,,(0 (г, ( г,), концентрическая поверхности полости. Найти колебания газов при следующих начальных условиях. для потенциала скоростей и(г, 1) и давления р(г, 1): и(г, 0) =)(г), р(», 0)=р„О-=.г(г .
2. Краевые задачи, требующие применения специальных функций Как н в предыдущем пункте, сначала идут задачи для одно-. родных сред, затем для неоднородных. а) Однородные среды 69. Найти поперечные колебания круглой мембраны с закрепленным краем, вызванные радиально симметричным начальным распределением отклонений и скоростей, считая реакцию окружающей среды пренебрежимо малой. 60.
Решить предыдущую задачу, предполагая, что начальное- отклонение имеет форму параболонда вращения, а начальные скорости равны нулю. 61. Найти колебания воды в круглом вертикальном цилиндрическом сосуде с горизонтальным дном, если начальные условия обладают радиальной симметрией, а давление на свободной поверхности воды остается постоянным. 62. Найти колебания круглой мембраны с закрепленным краем в среде без сопротивления, вызванные равномерно распределенным постоянным давлением, действующим на одну сторону мембраны с момента 1=0, предполагая, что окружающая среда не окааывает какого-либо другого сопротивления колебаниям. мембраны.
63. Найти колебания круглой мембраны О(г(г, с закрепленным краем в среде без сопротивления, вызванные переменным давлением Р =1(г, 1), 0 ==. г:а г,, 0 (1 (+. ОО, приложенным к одной стороне мембраны. нв УСЛОВИЯ ЗАДАЧ 64. Найти колебания круглой мембраны 0< г:=гч с закреп.ленным краем в среде без сопротивления, вызванные равномерно распределенным давлением р= р Ипь1, 0(1<+ос, приложенным к одной стороне мембраны. 66. Найти при нулевых начальных условиях колебания круглой мембраны 0<г(г, в среде без сопротивления, вызванные движением ее края по закону и (г, 1) = А з|п ь1, 0 (1 ( + со, 66.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
