1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 34
Текст из файла (страница 34)
В качестве координаты х точки на проводе взято ее расстоянне вдоль провода от конов, заземленного через сосрелоточенную самонндукцню цо, Лля определения и(х, 1) н г [х, 1) получаем краевую задачу 177 и яиавнпния гипнриоличнского типа 44. Система ксюрдинат выбрана так же, как а предыдущей задаче. Для пределения о [х, 1) и с Ех, 1) получаем краевую задачу ох+В,+ЕЧ О, сх+Сос+Оп=О при 0<х<1, О<с<-)-оз, — о(0. 1) Р-~"Ес(0 Е)+ЕЕзис(0 Е) Ъ ) при 0<1 «+со, О(1 1)=~.~зк (Е 1)+Ес~зц(1 1) о(х, О)=Е(х), 1(х, 0)=ср(х) при 0<х<1.
(2! (Зс Для определения о (х, 1) прн выполнении условий и Ег,"С вЂ” И!з'-0 получаем краевую задачу охх СЕ огс+(СЕ!+О) ) ог+6)7о пРи 0 <х «1, О < Е «+ос, Ц'ох(0, 1) — Е.о(О, С)=-0, ! прз 0 .,Е <+'.о, Е,'„з'о„(1, 1)+со(1, 1) 0 ! — 6/(х) — гр (х) а(х, О) Е(х), ос(х, 0)= при О «х <1. (2') 40. Начало координат О помещена в месте соединения полуограннчениых проводов.
В качестве координаты х точки на проводе принимается расстояние вдозь провода от начала координат О до этой точки Для определенна о(х, 1) и 1(х, 1) получаем краевую задачу ог„+Е сг +Есгсс О. Егг+Сгвгс-1-6 ог=О прн — со< а «О, О <1 +со, о „-)-Е Е +ЕЕН =О, Ез +С о +6 с =О при 0 <х <+со, 0<с <+со, Ег(0, 1) Ег(0.
С), ! ! при 0 <1 <+оп, о (о, 1)- м(О, 1)= — 1,(О, О= -- ° (О, Д ) С 1 ' С» ог(х, 0)=)(х), г', (х, 0)=ср (х) при — со «х «О, оз(х, 0)=1(х), с,(х, О)=~Р(х) пРи 0 «х <+со. сых =САсцг+СгРАЕ при — оз < х < О, О < С <+со Еи». Сз(зсзгс+СзКМц при 0<х<-(-оз, О<с «+со, 1 . ! ! Ег(0, 1) сз(0, 1), —,Егх(О, ЕС вЂ” —.1 (О, 1) — с,(0, 1! при 0<Е <+аз, Ес(х, 0)=с)(х), Ег, (х, О! — Есссу (х) — 1 (х) при — со <х «О, 1з(х, 0) ср(х), сзс(х, 0)= при 0 <х <+оп. — )ссср (х) — Д (х) 40.
Система ксюрдинат и дифференциальные уравнения такие же. как а задаче 45. Условия же сопряжения имеют вид Ег (О, С) С (О. С), Оз(0, 1) — О (О, 1) Есзсс(0, 1)=1(згз(О, С) ПРИ 0 <1 «+ З Для определения силы тока з предположении, что 6, Оз О, получаем краевую задачу ОТВЕТЫ. РКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ н. если утечка отсутствует, Е,(0 Ев(0 Е) Е,„(0, Е) — Е (О, Е)=йв( (О.
Е) ° 1 . 1 48. В качестве координаты х точки на проводе возьмем расстояние от середзны О провода до рассматриваемой точки, отсчитываемое вдоль провода„ нз котором установлено поло:кятельное я отрйцктельное направления движения. Система телеграфных уравнений н начальные условна записываются, как обычно. Условия же сопряжения имеют вид и ( — Е, Е) — о (Е, Е) = Е вЕ, ( — Е, Е) = 1„т, (Е, Е), и ( — Е, Е) — о (Е, Е) ттвЕ ( — Е, Е) ЕЕвЕ (Е, Е), 1 1 ое (-е, е) — от(1, е)= — е(1, 0 = — т( — е, е).
(1) ЕУ) (З) 5. Подобие н р аввы х задач Вместо введения к решениям задач етого пункта дается подробное решение задачи 49, которой этот пункт начинается. 49, Если за функцию. характернзукхцую продольные колебання стерзтня О~а ( Е" принять)в(х', Е )= — р(х', Г'), где р(х". Е") — напряженке в яоперечном сечении, отмеченном абсцнссой х' (определяемос, нак в задаче 1 настоящего параграфа). то задача (11) о продольных колебаниях стержня, одзн нонец которого (х" 0) свободен, а другой (х' 1') занреплен неподвижно, форлтулируется следуюптнм обрззомт в а р, О~к'~Е', О.СЕ" ~+с . а = ~, 1 р~ в(о, е")=,в„(е", е)=о, о~с'~+ Р(х О) ту (х ), Ет (х О)=фа(х ) О(х (Е . ЕИ) Если за функцию, характеризующую элеятрические колебания в проводе 0(х'~Е' с пренебрежимо малой утечкой я сопротивлением, принять алек.
трнческое напряжение о(х', Е'), то задача (1) об электрических колсбапнях в проводе, один конец которого (х'=О) заземлен, а другой (х' Е') нзолиро аан, формулируется следутошим образолс о сл = а'во„.„„О ( х' ( Р, 0 ~ е' а+ со. о(О, Р) (Е', Е')=О, О~Е'~+ о (х', 0)=тря (х'), е„ (х', 0) фе (х'), 0 ~ х' ( Е' Задача (1) аналогична задаче (П). Для того 'чтобы задача (1) была подобна аадаче (и) с заданнымн козффнцяентамн подобна й», йе, й„, необходилто 47.
Свстема координат выбрана. кзк обычно. Для определения о(», Е) н Е (х, Е) получаем краевую задачу ох+(ЕЕ+И О, Ел+Сот+бе 0 пря 0 ( х ~ Е, О < Е <+со, (1) от(0, Е) и (О, Е) о (Е, Е) пря О(Е (+со, (й) Свои(! Е)+ ~'„, =Ет(Е т) о(х, 0) 7(х), т(х, О)=тр(х) прн 0(х сЕ. (3) 179 П, УРАБНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА чтобы выполнялись соотноп1ення р е 'л 1 В фе (х)=й«<р«Ь ), фе(х) —" ф„(х") при л' = Флх', О <« <1. (3) Р е ш е н и е 1локажсм необходимость и достаточность условий (1), (2) и (3) Сначала дои ажем н е о б х о д и м о с т ь. Пусть и(х', Л)=Ь«р(х', 1') при х' й«х', д=(ггГ', причем (т', д) пробе1«ег 0 (О <х' <Р, 0 <1' <+со), когда (х", 1') пробе- гасг П (О <я <1", 0<1' ° +Ос).
Тогда ораву же получаем, что 1' (г„(", т. е. условие ()) выполнено. ((а равенства '„о(х'„1')=й„р(л, 1'), выполняя диф)еренпироеаине по 1, получим ае (х', д) — Едп (х, 1), поэтому при 1 = и ° 1,—, и = 1' =0 будут выполняться равевства а ( ', О) а„а 1* . О), о, (х', О) «Дп (х", О), 0 « , " 1, (4) т. е. условие (3) буде~ выполнено. Йнфференпируя равенство о (.г' «') = "«р (х" по х' и 1' и испольэун равенства х'=(г«х", 1'=йг1", полтчилс ,дх др д др «« —, Š— „, (гл —,=« г д —,.
' д,.э ° х дх.л — «дх«м ° дле дхо / дьд дед ) г дг'« " дх'л " ( д1"а дх"") Слсдснательно, и(х', Е) является не только репением уравнения дго, д'о — „= а'а —,, (3) но и решением уравнения дэа Р„дао — а е д('" «) дх'а' Вычитая (6) иа (5), получнлс (О) ( —; ) — -= «лх Т дхо а" — — ха") — =О ) дл'а что жмможно лишь при условя« !) й) Так как функпия д(х', Г') должна уноеиетворип уравнению — „а'а — „, дар да)э д("а дх л г то, ледовательио, должно еыполиитьсн равенство 180 ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ ибо при условии д'о —,=0 дх'з Напомггим, что, кроме того, выполняется соогншнение ггз = к= 1 Краевые задачи (1) и (И) принимают соответственно вил 1( дтз 1'з ачз ' (7(0, И=О, Сг(1, т)=-О, 0 <т <+о», 1 ()(8, О)- ф (1')), (7,(Р, О) Г' Р,(1"„), 0< де(Г 1."т дз(à — — аз —, 0<8<1, 0<т<+со, дд и (о, т) -О, ОТ (1, т) =О, П < г <+ Ц(гм О)= — ца(1"8), !Г,(8, О)- — ' 9 (1"х), О«с< !.
! (! 1Ъ Из (1), (2) и (9) следует, что — а'з= — ". а"'. Из (1), (9) и (3), следует, что Тахил~ образом, у задач (Г) и (И ) тождественно совпадают уравнения, начавьные и граничные условия, следовательно (в силу теоремы единственности)„ совпадают н их решения. Таким образом. 1, ! (7((„т! — О(Х', 1'! — «(Х". 1'! ПРИ Х'=гг,ь. Г =Гч(., аз дт т.
е. а(х', г')=Фар(х, !"! прн х' к„х". Г агг, что и требовалось доказать. с помощью уравнения и гРаничных условий (1) получаем, что ажб, ио зто невозможно при грт(х') и з)т (х'), отличных ст тождественного нуля. Следовательно, (8) невоаможгго, значит, имеет место (7), т. е условие (2) выполнено. Рассмотрим теперь дог тато ч посты Перейдем к безрззтгерным величинам е, т, (г в нраевых залачах (1) и (П) с поьющью формул х' 1'г„г'=1'„т, а=аз(7(с, т), х 1$, !' 1,"т, а а„(7(ш т), где константы 1,', и 1,"., имеют размерность времени, а оа и аз соатветстненно размерность а и р, прйчеьг зги константы выбраны так, что (о гч (9)- 181 11.
УРАННЕНИЯ ГИПЕРНОЛИЧЕСКОГО ТИПА 3 змеев н не. Можно было бы иначе выбрать функция: !) характеризующую продольные колебания упругого стержня н 2) характеризующую электрические колебания в провоае Например, взять продольное смещение поперечных сечений стержня н силу электрического тока з проводе нля только одну нэ этих функций выбрать иначе, а другую осгавнть прежней, т. е. один процесс можно по-ражему моделировать другим, выбирая наиболее подходящие аналогнн. 60.
Ва функцию, характеризующую продольные колебания стержня 0 ( х" ~ !", принято продольное смещение поперечных сечений стержня м(х", !'). а) Если олин конец стержня (х' О) закреплен жестко, а аругой (х" =!"). звнреплен упруго„то для определения и(х', !") получаем краевую задачу Е и., а"'и„., О.Сх'(!", О(! (+со, а'=.-, Г С «"х"* о и(0, ! )=О, Еим,((, !')+г,и(!', !")=О, 0 ~*' ~+ао, н(х', 0)= р„(х'), о,.
!.", О) ф„(». ) П ~х (!!а! Если ва функцию, характеризующую электрические колебания в проводе 0(хг щ !! с пренебрежимо малым сопрстинленаем н утечкой, принять электрическое напряжение в сслн один конец пров!ма (х'=О) эаземлен непосредственно, а другой (х'=!)-через сосредоточенную самонндгкцию, то лля определения напряженая о(х', ! ) в проводе получается краевая аалача ! о, а'эо., О~х'(!', 0(!'-С+со, а'а где С вЂ” емкость единицы длины провода и !.— самонндукцня единицы длнны провода о(0, !') О, о,(!', !')+-то(р, !')=О, 0(!'(+Оэ, в(х', 0)=сэ (х'), о„, (х', 0] фа(х'), О~х'(!' 3адача (1а) аналогична аалчче (На). Лля пно чтобы аадача (1а) была подобна задаче (11а) с коэффициентами подобая йю й„й, необходимо и достагошо, чтобы выполнялись соотношення (1а) !)г а'х=.— а з, Я ь» (2а! ! д Е' ю (х'! а,<р„.х"), За ф: '' г' л„л', О<Х'<!'.
(4з! б) Если один конев стержня !х О) свобопен, а друГОЙ (х" =Г) испытывал сопротивление, пропорциональное скорости, то красава задача для отвиты, нклзлния и рншиния определения продольных смещений п(х, Г ) точек стержня имеет вид а.„, за, О« 1", 0<1" <+с, и (О, Е)=0, Еп (1", 1")+го,.
(г, Е) О, 0<и<+со, (Пб) и(х", 0) ф (х"), и. (х, 0)=ф„(х"), 0<х'<1'. Здесь т означает коэффициент сопротивления трения. Если один конец про вода (х'=0) заземлен непосредственно, а другой (х' 1') ваземлеи через сосре доточеииое сопротивление йз, то„предполагая, что сопротивление и утечка провода равны нулю, для определенна силы тока г(х', Е) получим краевую .задачу 1 (г,г, =а'Чх,х„а з —, О < х' < Г, О < Е <+со, 1,(О, Р)=0, 1 (1', Г)+Сйз(, (1', Е) О, 0<Е <+со, 1(х', 0) фг(х'), 1г, (х', 0) ф1(х'), 0 « х' « 1'. Задача ()б) аналогична задаче (Пб). Для того чтобы задача (!б) была подобна задаче (Пб) с коэффициентами подобия й», йг, йа, необдодвмо н достаточно, чтобы выполнялись соотношения Рг 1 ° ° (1б) а'з — а"з, й) г Сйз— йг Е' фг(х')-Лифа( '), фг( )-)," Р,( "), ~-й ~'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
