Главная » Просмотр файлов » 1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d

1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 36

Файл №846319 1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (Будак, Самарский, Тихонов Сборник задач по математической физике) 36 страница1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319) страница 362021-08-19СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 36)

Для этого нужно фиктивно продолжить струну на отрицательную полуось — со~а(0. а затем распространять на эту сс с лс сс 4с с Я Рнс. 24. полуось начальные условия (3) так, чтобы для и (х. (), вычксляемого по формуле (5), граничное условие (2) вйполнялось *). Прн этом получается, что в случае фнксярованного конца функцнн гр(х) н гр(х) должны быть продолжены нв полуось — со«Сх сО нечетно, а а случае свободного конца — четно. 69. Профиль струны в момент времени с Зс 2с 7с а' 2а' а' 2а нзображен на рнс.

24. *) См. (7), стр, а9-60, 60. Решение краевой задачи (4) мон1ет быть найдено с помощью формулы Даламбера при четном «) продолже- нии начальных условий и (х, г) = р (х-1-аг) — у (х — аг), (б) где 1 1р (г) = — ф (сс) 0 х, 2а (6) (7) График функпии Ч (г) имеет вид, представленный на рис. 26. Профиль отклонений в любой момент времени получается вычитанием графика прямой волны из графика обратной волны. с 2с Зс При Г=О; —; —; — профиль отклонений имеет вид, представленный а'а'а на рнс. 26. 61. 2А( . пх — — мп— гга 2( — ссмз— 2А( гг па 41 0<к<21, и(х, ()= 2А( и — соУ вЂ” (х — а(), па 41 21 <х <+со, и(х, 0= О, *) См.

(7), стр. 60 — 60. 7 В.' м. Вгл и лз. П. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРВОЛИЧЕСКОГО ТИПА им=ели „, 0<к, (<-(-со, их(0, ()=О, о <(. +~ и (к„О) =О, О < х <+со, (О, О<к<с, иг (х, О) = ~с«, с < х < 2с, О, 2с < х <+со) О, — оо<г < — 2с, <р(г)=(0, — с<г<с, пг, с<г<2с, О, 2с<г <+аз. аг '21 — х мп —, О<1<в 21' а 21 — х 2(+х (к — аг), — <(<в а а 2(+ х — Г <+со, а О<(< — 21+х 21+к — <(< —, а а 21+ х — Г <+со, и (1) (2) (6) и. Милет!ения ГипеРБОлическОГО типА 62.

гпах и(х, Е) ба и(0, — ) ис!О, — Е! и!21. — Е! и~ес,:р О<х(+со о(с(+» У к а з а и и е. Рассмотреть интегральную поверхность, представляющую решение и и(х, Е) краевой задачи. ОЗ. Решение, Аналогично тому, как зто делалось в случае задачи 56, решение настожпей задачи может быть выполнено такими двумя способами. Первый способ. Считаем импульс Е рааиомерно распределенным по отрезку х,(х(хо+6.

Тогда мы приходим к краевой задаче исс аои 0 <х, е <+со, и(О, Е) О. 0<с<+со, (2) О, О<к<хм и(х, 0) О, ис(х, О) —, ко(х(хо+6, О, ко+6 ( х ( со. Ее решение получается по формуле Лаламбера с помощью нечетного продал жения начальных условий. Переходя к пределу при 6-с-0 в решении этой краевой задачи, получим решение исходной задачи и (х, Е) — (оо(к — ко+а!) — оо (х — хо — аП вЂ” оо (к+ко+а()+оо (х+хо — ас)), уар ии-а'ихх.

о«х,, Е(+со, 0(Е <+оз, и(О, Е)=О, и(к, 0) О, О < х <+ оз, Р) ис(х, О) — 6(х — хо), 0(х <ею. р (2') Ее решение получается с помощью нечетного продолжения начальных условий. Нечетное и должение начального условии (3') дает: ис(к, 0) — (6(х-хо) — 6(к+хо))о Е Р к+ а! 1 о Е и(хо Е) — ~ — (6 со-ко) — 6 6+хо)) Ж 2а 3 — ы Š— (оо(х — хо+а!) — оо(х — хо-ае) — ао(х+хо+ае)+ао (к+ко-ае)).

2ар уо Второй способ. Используя бфункцию, можно сформулировать нрае. иую задачу следующим образом: ответы. нклзания н Решения ба. С поьющью 6.функции краевая задача формуляр)ется следующим образам; (!) (2) (3) (3') Продолжая нечетно начальное условие и применяя формулу Даламбера, получим: » ! %! и (х, 1) = — х (ае (х — ха+а!) — аь (х — ха — а1) — ое (а+ха+а() + Р а=! +аь(х+ха — а1)). 06. Решение исходной задачи может быль получено переходом к пределу при ха — ьО+О из решении краевой задачи П) (2) (3) (3) ! и(х, 1)= — !яп (о(х-ха+а!) — о,(х — ха — а1)+аз(х+хр+а1)— 2ар».-е+е 1 — о, (»+ха — а()) = — (оь (х+а1) — аа (х — ат)). а! это решение может быть получено также переходом к пределу прн 6-»0 вз решении краевой задачи им=ази»ю и„(0, 1)=0, и(х, 0) =О, ОСх, !<+со, О <!<+со, О С х <+оз, (3') (2) О«я<+со.

и(х. 0) О (3) им=аеи»х, 0 < х, 1 =+со, и(О, 1)=О, 0 <1<-(-со, и(х, 0)=0, О ° »<+со, » 1 ът ит(х, О)= — у 6(х-ха). Р ь=! ии=ази»ю 0<х, !<+со, и»(ОООО<1<+со и(х, 0)=0. 0<х <+со, ! и! (х, О)= — 6 (» †), хь О, О С х <+со, Р 00. Решен не. Приведем два способа решении задачи. Первый способ. Краевая задача формулируется так! ии ази»» Оса, !<+со, Ми!!(0, 1) ЕЯи»(0, 1), 0<1< +ОЗ, М () (( ' (!) (2) (3) 197 Н. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА (гашение краевой задачи (1).

(2), (3). (3') ищем в виде и(к, Г) гр(( — )+ф(г+ — ~. Из начальных условий находим: ф ( — 2]+ф (2) = О, ')о <+ ф ( —.)+ф (2)=О, ) (5) (5] Интегрируя (5'), получим: — ф( — 2)+ф (г) сопз1. Постоянную ннтегрироааяия мож1ю положить равной нулю. Тогда (5') — р( — г)+ф(2)=О. 0<2<+ Из (5) н (5) находим: ф(г)=О, ~р( — г)=0. 0<2<+со. Следовательно.

(-1) -Ь ~ и(к, г)= О, 0 с(< —. а Подставляя полученное выражение и(к, Г) в граничное условие (2), придем и днфференаиальному уравнению для определения ф(2) прн 2)О ф' (г]+ — гр'(г) О, 0 < г <+со. 58 аМ (8) Из (б] находим нервов начальное условие для уравнения (8) р(О) =О. 1Р' (О) ог. (РО) Интегрирование уравнения (8) при начальных условиях (9) и (10) дает1 а»(.е е (1 а аж ( 0<2<.(„оо, ЕЗ Следовательно, аМоз~ — — й(,г- — „)) к (12) О<(< — ° а О, Из начального условия (3') иг (О, 0]=еь н выражения (7) для и (к, () находим второе начальное условие для уравнения (8) ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ Второй способ.

Краевая задача формулируется с помощью односто. ранней б.функции ') следующим образом; ии — — а*и„., 0 <х, 1<+со, Л(им(0. 1)=Е5и„(О, 1)+)б(г), О<1<+со 1=А(в и(х. 0)=0, 0<а<-)-со, иг(х, 0)=0, О~к<+со. Решение краевой задачи (1), (2'), (3), (3') ищем в виде и(х. 1)=<р~( — — ")+ф((+ — '). Как н раньше„из начальных условий находим~ ~р( — г)=ф(г)=0 при 0<г<+оз. Следовательно, (1) (2с) (3) (3') (4) (6) р(О)-р'(0)=О.

Интегрирование уравнения (13) при начальных условиях (И) двеп ЕЗ аяц,1 — — *1 ~р(г)*= — (1 — е аАГ (, 0<г <+со, Еб и мы снова приходим и выражению (12) для и (х, (). 6Т. Решением краевой задачи = зи„, 0<х, г + их(0, 1) — йи(0, 1)=0, 0<1<+со, (1) (2) ип -~-. О<х<1, О, 1<х<+со, (3) (3') иг(х, 0)=0. 0<х<+со *) Однорторонняя б-функция б (1) определяется при — со <1 <+со как предеЛ в смысле слабой сходимости последовамльности функций 0 при — со<1<0, 1 га О) л при О <1< —, и 0 при — <( <+со. 1 и Ср, также со сноской нв стр. 189, Подставляя зто выражение и(х, 1) в граничное условие (2') и начальные условия (3) и (3'), получим для определения ~р(г) при г О дифференциальное уравнение ~р' (г) + — ~р' (г) = азб (г).

0 < г <+со ЕЕ и начальные условия (14) П. УРАВНБННЯ ГНПЕРВОЛНЧНСКОГО ТИПА являетсяг и(, О ср( — Я+О)с+Я, 1 нак -И вЂ” )-Из)- ( О, —, аз<+ из Аз(з яаз 3ЮЗ »ге+Аз(з 2 — + И( — зе)1 О:агмй— ) Э а ° иЫ из+Аз(з (1+ с"с) е-езс — ай е <+ о», ср (е) 68. Решение краевой задачи ВФ асзек, О<х. (<+со. В„(0. С)+озс(0, () О, 0<С<+со, В (х, О) О. О < х <+о», Вс (х, 0) м, 0 < х <+ о» (() Я (3) (3') Ы, 0<ас<кс В(х, О о(С-ок) к<аг<+о»,с 69.

Имеем краевые задачи исс аеи к, 0 < к, С <+со, (3) (6') а) либо и (О, С) О, б) либо и„(0, С) аО. в) лабо и„(0, Ф) — Ли(0, С) О, « +о»' (2) г) либо и„(О, С)+иис(0. С) О, и(к, 0) С'(х), 1 О < х <+о». ис(х. О) а)'(х), ) З случае граничного условия е) с (х+а~), О<а)<х, и(, с)- ) (к+а()-) (а(-х), к <а( <+сев В случае граничного условия б) ( г(х+ ос), 0 <ссс<к, и(х, с) с,(х+ас)+) (аг — х), х ~ а( <+со, В случае граничного условия в) .и(т, с) ( (ас+х), 0<а(<х, к-ес с (х+ас)+) (ас — х)+2йе"сз ~с ~ е"ле)( — з)Ф, х<а(<+со, ОТВЕТЫ.

УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ В случае грзннчното условия г) и(х, 1)= )(х+ О, 0 <а1< к, ) (к+ а О+ — ) (ат — х), х < а1 < + со. 1+ аа 70. Имеем крэевую задачу итт=ази„„, О <х, !<+со, (!) Мэатт (О 1) Нэтт (О 1) йтит (О, 1) — ьттеБВ (О, О, О <1 <+со„(2) и(х. 0) 1(к), 0<х<+со.

(3) ат(х, 0)=а)' (х), 0 <х <+со. (3') Ее решенне может быть представлено следующим образом." ~(х+а1), 0<а1<х, и(х, 1) )(к+а()+От(ат — х), х<а!< 1 со р тр (0) = тр' (0) = О. П р н и е ч а н н е. В граничном условии (2) 5 обозначает площадь поршня, э Де оэнзчэет козффнннент трения. Мы пренебрегаем изменением дзвления на внщпней стороне поршня.

Избьпочное давление на поршень (мтозмущснне давления») равно р †де=а - — (р — рэ). Ио в силу уравнения неразрывности дэ ро (см. решение задачи 4 гл. 1!) имеем р — рз ям — рза„. Поэтому р — ре — арчах. 71. Ре шея не ч). Имеем краевые задачи а), б), в) соответственно гранич- ным условиям (3), (3'), (3"), приведенным ниже, ах+(.1т+)т(=0.

1 10<х, 1<+, СЛ б(., (1) т„+Сот+ба О, ) (1') о(х, 0)=)(х), 0 < х < -)- со, (2') 1(х, 0)= — — 1(х), ) — е(0, 1)=Из!(0, О. — от(0, 1)= — т(0, т», 0<1<+аз, 1 =С, * —. (О, 1)=(.1 (О, 1). Решения этих краевых эздач ищем в виде *') И а(к, 1)=е с (ф(х — а1)+ф(х+а1)), (4) й 1(х, О=с ~/ (тр(х — а() — ф(х+а1)). сс- С 1' т (4') (3) (3') (3') «) См. решение эздачп 33. ез) См. сноску нв стр, 102, где От(х) есть решение днфференниального уравнения аэд( ~" (х) — (ак — )т Я) ф' (х) + Нттр (х) = — (аеА(о)" ( — х) — (а)тте — эден) /' ( — х) + Нэ(( — х)) п н начальных условиях П, УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА Из начальных условий (2), (2') для краевых задач (3), (3') получаем: ф(х)=0.

ф(г)=)(г), 0<а<+со. (5) В зависимости от граничных условий получаем различные представления для ф(х) при — со<а <О. В случае граничного условия (3) 9(х) а )( — г), — <а<0. М~ С вЂ” Р'Х (О) Йа) С+~( В случае граничного условия (3') — — сн)~ Р ( сн — сс )' ! ф(х)= "" ~ ° "' ~~( — ~+( С)( — СС'))( — И~а. (О') — оэ <г <О. В случае граничного условия (3") ае — Ган а ь,~ — аь ф(з) е е ~ — )'( — Ц+ Г( — ь)~ай, (егс — ЕС Замечание. В случае граничного условия (3) отраженная волна напряжения ф(х)= )( — х), — он<а<О гсе )ГС вЂ” г'Х М'с+)'Х . Гу.

Характеристики

Тип файла
DJVU-файл
Размер
6,07 Mb
Тип материала
Высшее учебное заведение

Список файлов книги

Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6418
Авторов
на СтудИзбе
307
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее