1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 42
Текст из файла (страница 42)
ллх ы = — тг, Хл(х) мп— л= рс * л ! Г 2 1' ал —, о(г. О) Лл (г) с(г= — ~ (чс(г) — ш(г)) Хл (г) с(г ) Х„(Р~ а ( ( 2 Г 2 à — ср(г)2л(г) с(г — ~ ш(г) Хл(г) с(г о т Ь„= — ал, шл Первый витеграл в последней разности равен 2 2(эй зш— ) ср (г) Х' (г) с(г Второй интеграл может быть вычислен с оомощью уравнения Хсс (х)+ЛлЛ'л (х) =0 н интегрирсмания по частям — ш(г) Хл(г)дг —, ш(г) Хл(г)с(г — ш(г) Хл(г) )а' — ш'(г) Хл(г)(а(+ ш"Хл бг ° ) См. $7), стр, 102 — 10й ними. В этом случае уравнение (7) не содержит члена — 2тос и о(х, 11 находится без труда.
Прн отыскании о (х, 1) можно не пользоваться явным выражением для ш(х) *). Пусть ш(х) есть стапиоиарное решение уравнения (ц, удовлегаоршощее граничным условиям (2). Тогда решение краевой задачи (1), (2), (3) может быть найдено в виде (11), причем с (х, 1) является решением краевой задачи им=атолл — 2тос О<х<1, 0<1<+со, (7') о(0, 1)=о(1, 1)=0, 0<1<-)-со, (8') л — х, 0<х<х„ о(х, О)=с((х) — ш(х), 0<х<1, ср(х)= (й) л (1 — х) х,<х -1, ос(х, О) О, 0 <х<1.
По) Пусть аЛл)т, и 1, 2, 3, ... Тогда + СО о(х, С)=г сс ~и~~ ~1алсозыл1+Ьлнп овал()Хл(1) л ( И„УРАВНЕНИЯ ГИПЕРВОЛИЧЕСКОГО ТИПА Так как Х„(0)=Х«(1) О, ш(0) в(1)=0, аче" (х)+й О, то — ~ ш(з) Х«(з) оз — ~ Х«(а) лз — — (! — ( — !)«! 2 Г 22 1' 2я ).йаз1 !) дй'" в Таким образом +' ~ Ьмп— лихе —, -+(-.)1 о(х, 1) — е"и р + Х пз лы ~ лзх« (1 — хе) пиала «=1 ллх Х (оса ы«1 + — мпы«1) з(п — (!2) ы« Воспользовавшись найденным ранее ивным выражением (б) для ш(х), можно теперь написать выражение для решения задачи (!), (2), (3), (3') и (х, 1)= — — — (хз — 1х'+ й 2лз + ОО + — е" т 2)з 'е! 1 А лпх« й лз х~~ (!лзхз (1 — ха) 1 плзоз я" — + — ( — !+( — )у')~ х Х ~стм ы„1 + — з)п ы 1~ аш —.
«1 1 ° ()3) Мы видим, что при 1-«+со и (х, 1)-1-ш (х), где ш (х) = — — (хз — (х), й 2лз (!) (2) (3) является + ОО "*'=Т1'-4+ Х 1 +' ."-""+.,"""+ 2ее(з (2л+ !) па1! (2л-)- !) ях (2л+ !)з пао И ! 21 (28. Решением краевой задачи им = ози„„, О «х «1, 0 «1 «+ п(О, 1)=О, и„(1, 1) Е3, О«1«+ л(х, О)=О, и,(х„0)=0. 0«х«1„ (!) (2) Р) является +СО лз ОРО( т ( !)«(2л+ !) ях (2л+ !) ял1 ЕБ Еоп" л',и (2л+ !)з З 21 «о есть положение равновесия пад действием силы тяжести.
При т-«О из ((3) получим решение задачи для случая, когда колебания происходят в среде без сопротивления. !27. Решением краевой задачи и!1=очи +й, 0«х«1, 0«1«+со, п(х, О)=0, ас(х, 0)=ое, 0 =х«1, и(0, 1)=О, и„(1, 1)=0, 0«1«+со, ОТПЕГКК УКАЗАНИЯ И РНШННИЯ 129. Решение. Из краевой задачи *) др дю — — — + Яею, дх дг др дэ ай д1 дх ' р (О, 1) = О, ю (1, 1) = Л, О < 1 <+со, ю(х, 0)=0, р(х, 0)=0, 0<к<1, 0<х<1, 0<1<+сю, (2) (з) исключая р(х, 1), получаем краевую задачу д-'ю дзге дю — = ав — — 2ч — „О < х < 1, О < 1 <+ со, дгз дхз дг " ю„(0, 1)=0, ю(1, 1)=Л, 0<1<+со, ю (», О) — юг (х, 0) =О О < х < 1 (2') (з') откува находим: У +» солю„1+ — вп ю„1 4Л 'кч юл ю(х, 1)=Л вЂ” г-лг 7 и 1с 2а+! вш, (4) (2л+1) гг(1 — х) 4 где ч (а Фл юл , сЬ (х- 1) $~ бй +лл — — г ( — 1)" соз(ю 1 — ~р )сгм зтЕ 'кч (2п+ 11) !с-лг - (2а+ 1) и (1 — х) СС12 л с ~/ 2' па 1)1 6 1нгр —, причем предполвгаегся что — ) < — — — ~.
л !(. с юл ") См. зкяачу о. л/ ~ (2п+1) па <в 1)валенке р а сечении х=1 находим с помощью (1) ! Г Сдгл р [1. 1) = р (О, С) — ~ ~ — - 2ъ ю) дх = :) '(дС е +сл МЛ, в)п (вл1 — 29 л) (2п+1)сслФл ~' л е 11. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 131. в(х, !) =Е зд (1-х) р'ая зЫ 'ггб)! +со — 2Ее™ -' Х лосс« + )с 01« л=! сп со„!+ — зЬ йа!) з!и — ' .1. — "' ыл + )с ы„могут быть как действительными, так и мнимыми. 132. Решением краевой задачи и!с=ахи„„, 0 < х < хо, хо < х < 1, 0 < ! <+со, и (О, !) — О, и (хо О, !)=и (хо+О, (), То (их схо+ О' !) — ис ("о 0' Г)1 = — го.
и(1, !)=О, 0<1<+со, (2) и(х, 0)=0, и,(х, О!=О, О<х<1, (3) являетсяс +со 2!Ро 'к! ! . лихо лях лпл! и (х, !) =ср(х) — — « — ып — мп — ссв —, ч*т С~ и л=! (4) где 1'о (! — хо) То! х, О <х<хо, су(х) = — (! — х), хо<а<!. пото (3) Указ ание.
Стапионарное решение уравнения (1) имеет вид ш (х) = С,х+ Сз, причем константы С! и Сз определи!осев по-разному на интервалах О . к<хо н хо<х<!. Их аначения С'„С;, С;, С, на первом и втором интервалах находятся из условий (2), Замечания к решениям задач 133 — 143 1) Если неоднородное дифференциальное уравнение имеет вид ии аои +сои+о — +Ф (х) мп ох ди дх ди ии =а'и„„+сзи+ь — +Ф (х) совы!.
дх то его частное решение можно искать в виде «) ш (х„!) А' (х) нп ы! «) См. также решение задачи !33, где зто положение уточняется. 240 отнцты. ккдваниц и рншепиц нлн соответственно в виде ю(х, 1) Х(х)совах. Когда одна нз собственных час!от струны совладает с частотой ю вынуждающей снлы Ф(х)в(пм! нлн Ф(х)соаго1, то при Ь 0 может наступить явление резонанса, прн котором амалнтуда колебаний с частотой вынуждающей силы возрастает неограниченно пропорционально времени. 2) Если же неоднородное днфференцнальное уравнение содержнт член — йтиг, т, е. имеет внд да дн нм азнхх+Ь вЂ” +си-2т — +Ф(х! а1пы! дх д( (6) дп игг оти„+Ь вЂ” — 2таг+гн+Ф (х)соа юг, дх т. е.
колебаннн происходят в среде сопротивлением, пропорцнональным скорости, то частное рмиенне указанного нда уже не существует. В этом случае целесообразно перейти к комплексному представлению вынуждающего члена; точнее, можно искать частное решенне уравнения иГГ арф +Ь()х 2,(Ге+С(Г+Ф(Х!М (I (х, !)=Х (х) е'м'. в виде Действительная часть (8) будет частным решением уравнепня (7», а мнимая часть — частным решением уравнения (6).
Если частное решение (8) удовлетворяет граничным условиям задачи, то оно представляет собой аывужденные колебання, составляющие главную часть решения краевой задачн при ! +оо, так как вынуждензме колебания с другими частотамн и собственные колебания, возникшие за счет начальных отклонений н скоростей, будут затухать. 133. Решение краевой задачи ам атн + — з(нем, О (х«(, 0 (г <+со, Ф (х) р и(0, 1) и(1, В О, 0(!(+оо, и(х, О! иг(х, О! О, 0<к(1„ (2) (3) (4) У(х, 1! Х(х)а(пю(. Подстановка (4) в (1! н (2) дает: Х'+ — х — —, о сх~(, ыз Ф (х! ав Тл Х (О)-Х (!)-О, (3) И саоднтсн к репюнию задачи о свободных колебаниях струпы с фиксирован нымн концамн прн заланных начальных условиях, если известно какое-либо частное решение неоднородного уравнения (!1, удовлетворяющее граничным условиям (2) (см.
введение к наставшему пункту). Остановимся поэтому на разыскании частного решения уравнения (1)з удовлетворяющего граничным условиям (2). лла а) Пуст ю чь —, л 1, 2, 3..., Будем кокать частное решеннн в виде и. [адвиеиия типе волического типа откуда йаходим: ~ Ып — х х а [а а а Г И Х (х) — 3 Ф (Ц а]п — И вЂ” ф) г$ — — — Ф ($) а]п — (х — ф) ~Я, ~ т,3 а ! ш шта 1 а (7) где та — натижение струны. б) Пуси ы нала В атом случае частное решение краевой задачи (1) и (2) можно искать в виде (4) лишь при условии, что Ф(х) и з1п — ортогональны на отрезке лвлх О сх < 1.
действительна, умноз.аи ого части уравнении (6] ва а[п и интегрируя по частям с использованием граничных условий (6), получим[ 1 Г,, ланг — 3 Ф(г] мп — Па=О. т.3 1 [~ б,) Допустим сначала, что Ф[х) в мп — ортогоиальны аа отрезке лзлх 0(х~1. Тогда общее решение уравнения (5] имеет вид а Г И И . 6Э Х(х) — — 3 Ф[г] а1п — (х — г]г]г+С> мп -. х+С,соз — х ита 3 а а' ' а Из граничного условия Х(0]=0 находим Сг=О. Так как — — = —, то и звл а а1п — х обвашается в нуль на конках отрезка Омйх(1, поэтому константу Сг а можно брать какой угодно.
Легко видеть, что в этом случае выражение Г и Х[х] — — 3 Ф [г] Ип — (х — г) г[г мт,3 а г [6) $ [х) — — + д„з!п —, Ф (х) . лала т и ] ° (9) ! 3 2 [' Фф! и,лф 3 т: (10) ивлиетси решением уравнении (5), удовлетворя~пшик граничным условиям (6). л„.ла ллх бз] Остановимся теперь на случае, когда ы= —, а Ф[к) ч зш — не 1 ортогоиальны на отрезке 0 С х ( С В этом случае частное решение краевой задачи (1), (2) уже нельзя искать в виде (4). Положим 242 ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕИИЯ Функция ф(х) уже ортогональна мп — на отрезке 0(х(1.
Теперь я„ях уравнение (1 ) можяо переписать в виде Т То ° ногах ига=алиях — ф(Х) 5!Ц Ы<+ — А, 51П вЂ” — 51П Ы<. Р а Сумма частных решений о (х, <) и ю(х, с) уравнений 7 о паях оп=я'охх+ — — А 5<п — 5<п ы<. р ао 1 15 и м о<аюхх — ф (х) 5<п ю<, Р (1"') а ю(х, 1)= — ~ ф(х) 5!п — <х — х)~<х ми ох ( а Г . ы ю,) и будет частным оешеннем уравнения (1"'), удовлетворяюшим граничным уело. виям [2). Если теперь искать частное решение уравнения (1") в виде о(х, 1)=Т[1) яп то граничные условия (2) будут удовлетаоряться при лаобом Т (1). Подставляя яано (12) в (1") и принимая во внимание равенство ю= —, получим уравнение Т" <1) + ооаТ (1) = —" А я Ип ы<. Р Его частное решение, как зто известно нз теории обыквовеннык диффсрен циальных уравнений, имеет вид Т(1)=<(А созы1+В мп и<).
(14) Подстановка [14) в (13) дает: Т А„ А — — ' В О. (15) Поэтому Т.А„ аа <с ~ы< 2ыр <!0) 75Аа, лаях ш(х, П вЂ” '<с ы! Яп а 2ыр (17) удовлетворяюших граничным условиям (2), будет частным решением уравнения (1), удовлстворяюшим граничным условиям «2), п,дх Т Так как ап — и — — ф (х) ортогональны на отрезке 0 =.х~ 1, то Р согласно (8) 243 алла ~лх Таким. образом, если о= — и функпни Ф(х] и яп — неортогональни 1 на отроке 0 <х ° 1, то частное решение уравнения (1), удовлетворявшее граничным условиям (2), ямеет вид Tе А„ л лх Х/(х, 1)= — 3! ср(г) яп — (х — г)с)г япо! — л' 1созо1 з!п о, (!3! 1о,) а 2вр о В атом случае наступает явление резэнансас амплитуда колебаний с частотой вынуждяощей силы возрастает неограниченно пропорционально врснснп.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
