1629366495-96b763de880e0957938207fd4887632d (846319), страница 41
Текст из файла (страница 41)
1) Ортогональность собствениык функций устанавлив.итси следующим образом. Умножая уравнение Х«(х) — Л«Х„(х) 0 на Хм (х), а уравнение Х (х) — Л Х (х) О на Х„(х), вычитая результаты и внтегрируя по частям, получимс Хж (х) Х„(х) с(х (Х«» [х) Х«(х) — Х«(х) Хм (х) Х»«(х) Ха (х)+Ха(х)Х«с (х)) 1« е 4 4 а П.
УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА в в случае граничиык условий третьего рода »,УР ' ')1»и ию ~»»»»4«,»ф«»~~и»иь»»»«с»ц»». ил+а'и„„„„=В, 0»цх~Е„О(Е(.(-со. и(х, 0) ср(х), ис(х, 0)=ф(х), 0~1~.(-со„ и(0, Е)=и(Е, Е)=их«(0, Е) ихх(Е, Е)=0, 0«- Е --~-со, и (О, С) = и (Е. Е) = и„(0, Е) = и„(Е, Е) = О, 0 С Е (+со, и„„(О, Е)=и„„(Е, Е)= (О, Е)=и„„„(Е, Е)=О.
О~с~+ о + О» лзизас азиз а('» лих и(х. Е)= ~ ~а«соз — +Ь зсп — Есз1п— Ез «Ес Е ° «=с с плг 21 С', лих ср(х)ап — ссх. Ь = — ~ ф(х)аш — ссх, л 1. 2, 3...„ льлза,) о + «» и(х. Е) ~ (а«омаЛ«Е+Ь„аш аЛлЕ)Х„(х), (1) (2) (За) (Зб) (Зв) ответы, уклзлния и решения откуда непосредственно следует равенство Х (х ) Х„ (х) г(х = О, гл чь и, при граничньж условиях (За). (Зб), (Зв) или получающихся комбинировзннем (За) на одном конце и (Зб) на другом и т, д.
2) Для вычисления квадрата нормы собственной функции Х„(х) мои'но поступать аналогично тому, как вго было сделано в указании к задаче !11; тогда получится следующая формула*) (знзлогичная формуле (18) решений задзчи 11!)! Хл(х)пх= — «Хл(1) — 2Хл (ЛХл(1)+Хл (1]~» 4 откуда в случае (Зб) Хл (х) г(х — Хл (1) Я з 4 з и в случае (Зв) Хл(х) йх= — Хл(1) г 1 з 4 с 116. Если колебания стержня вызваны ударным импульсом 1 в точке х хз, то в ответе предыдущей задзчи будем иметь: 211 мп— ппхл 1 а) а„=о, Ьл= пзпеар 0 ! !1Хл (хз) )Ол л= аЬ~Х»' (1) в) нл 0' ~л г л 41Х„(хз) а)лХл (1) 2.
Свободные колебания в среде с сопротивлением Если колебзиня струны или продольные колебания стержня происходят в среде с сопротивлением, пропорциональным скорости, то уравнение колебз. ний имеет вид**) им=оч脄— 2чим т) О, (1) (2) (2') «) См. А. Н. К ры лов, Собрание трудов, т, 1И, ч, 2, изд. АН СССР 1649, стр. 202 — ЮЗ. *ь) См.
задачу 15, а граничные условия записывзются так же, кзк н в случае колебаний в среде без сопротивления, Ззписывая граничные условия в виде аги (О, 1)+(3 и(0, 1)=0, О С1 С+со, а,~„(1, 1)+бе~(1, 1)=О, 0~1~+ и. уРАВнения ГипеРБОлическОГО тгипн отличающееся членом 2юТл(!) от соответствующего уравнения в баннй в среде без сопротивления. Его общее решение нмеет внд Т„(Г]=(ал сй вл(+Ь„зй влт) е "', ) ~ тг =. атАг, Т„(Г)=(азсгвв„г+Ь„мп вл]) е ~г, ) ~ та. аз]]в в =т/ аг]' — тз, Тл (!)=(а„+Ьл!)е-"Г, ч=а],„.
Решение же краевой задачи (1), Щ, (2'), (3) нмест вяд + со и (х, г]= ~ Тл(!] Х„(х). л=! случае коле- (7) (7') (7" ] Легко видать. что !йп Тл(!)=0 + со н каждом нз случаев (7), (7') н (7"). Коэффнциенты а„н Ь„определяются через начальные условия следующим образом: с ! Г 1 а„= ~ ~р(г) Х„(г) с]г, Ь„в„— тол=„з ~ ф(г) Х„(г) йг, (9) х), а ! Хл) 'о аричем в„=1 при т=а] +в 2!еде-тг %1 1 лпх, ллх и(х, г]= 7 — мп — вп — Ил (!), пахе(! — ха) х~! лз ! ! 1!7. л= 1 Г, азлзпа лпа Пл [г]=сйв„г+ — ~]г ~ьГ, в„= ~Г Ф вЂ”, — с.т, Ил (г]=!+У( лгш ! ч - Гаглглз вл(г)=вмв г+ — з]пвлг вл= ~/ лпа — ж мы учтем возможность граничных условий первого, второго н третьего рода.
Пусть заданы также начальные условия и(х, 0)=~р(х), иг(х, 0)=ф(х), Разделяя переменные, прнходнм к такой же краевой задаче Х" (х) +. ]ггх (х) = О, О ( х ~ Е, (4) .тх (о]+)],х (о) =о. (5) а Х' (!]+()еХ (!) =О (5') для определения собственных чисел, как н в случае. когда колебания проис ходят в среде без сопротивлегшя.
Пусть )гл и Х„(х) — собственные значения и собственные функции задачи (4), (5), (5']. Для определения Тл(!) получим дифференцнальное уравнение Т (Г)+ЪТ (!)+аз)лт„(!)=О, (6) ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ + еи и(, ()ие —,р, — Ы вЂ” Еп — 9„(1). 2)е юе жт 1 ллхю, ллх (Р ви ЫЕ. и 1 пел иле лиа Ви(Е)=вЬв„(, в„ф' ти — пРи — (т, 9„(Е)=Е при — -т, пла п тлели лла Ви (1) в)П в,ф, в — — ти пРи (и + Ое е-» е жт ( — !)и (2л+1)лх ле х' ! (2п+!)и 2! Ви (В и=в где Ви (1) имеет такие же влечения. квк в ответе к видете 117. +си и(к, 1)=ае+Ьее-ит'+е "' ~, Ви(1) соз —, ллх (2) +си а(х, 1)=е "~ В„(Е)сов)их, 121. и=! е.и-и.е ееи.е и.
е-РР=Т~ ° ° и. В„(1) а„+ Ьи(, ви ии 1 пРи ахи =т. 9„(1) а„сое ви)+ь„в)п в„(, в„= Р~ ФЦ вЂ” ти пРи а) ~ ж (2) 9„(1) аи+Ьи(, = — и, лла ! 1 Ви(1) а„сЬ виг+ЬивЬ виŠ— (и. ~ л=1, 2...., лла 9„(1) аи сое в„1+Ьи е1п вие,— 1 2 Г лпг 2 Г лиг а = — ~р(г) сое — е(ге Ь в — тли= — ер(г)сти — е(г, л=1, 2, ...,. п и и и=( 1 Г ! Г 1 Г 2т(,) ~() ~' и ! ~ Рее) ~+2т(~ пилили лла пла в р тв — — при — ~ж в =1 при — =и, ф~ !. и . ° / лвлеав лла ви у — — тв при (в 11.
УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА 1 — положительные корни уравнения Х 12 л(». 4( (г) соз )(лг '(а ал Ф (.".')1 »имл — таз= » ) ф (г) соз Хлг ((з. Ф+ (:""4 ° + лл и(х. 1)=е-а ~ 9„(1)йп(Д„х+(ри), 122 "). )Р— »,», д(»,+»г) ' )(л (р„= агс(Е— »т ' 2 ал= Х...»» 1(р(г)з(п(Д г+(р )дг. и 1. 2, 3, ... ° ( Хг ) (» » )~ о аа..((чч((((чч-(,'- -ч( (+".'"","'."'")Р + (Лг-)-»))(дг+Ь;) ) (2) 123. Решение краевой задачи о С(.оп+С)1о(, 0 ~ и (1, О (1 ~+со о(О, 1) о„(1.
1) О, 0(1(+со, о(х, О)=оа, о((х, 0) О, О~х 1 (1) (2) (3) имеет аид П +л( — ът . (2л+ 1) нх о (х, 1) е гг у ал мп ап (галг+(ри) (4) и =а (2и+ 1) „., у 1 Сан* -.- 21, С, У'-Гпз(ял+1Р аи (2 + 1) мп $12(ри™л Х *) См. ответ к задачам 111 и 112. С)Гз(з 'л) 11редполагается, что (.) —. ид тДЕ Ол(1) И Мл ОПРЕДЕЛЯЮТСЯ ПО фОРМУЛаМ (2) ОтВЕта ПРЕДЬЩУЩЕй Залаии, Хл — положительные корни уравнения ОТВЕТЫ, УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ 124. + ОЭ оп г 'Д (2п+1) с<м (ып( — грп), (2п+1) п(а+А) 41 21 а 12%а= —. ма а(к, ()= +аз пзО г 'Ст (2п+1)з (2п+1) пхз, (2п+!) пх з ~' р з)п яп сев (ып( — гр„) ып 1/ Эх+аз при О<х<х„, где величины т, а.
ы„, ~рп определяются так же, как в ответе к предыдущей задаче. 3. Вынужденные колебания под действием распределенных и сосредоточенных сил в среде без сопротивления н в среде с сопротивлением Диффереициальное уравнение вынужденных колебаний струны под действием непрерывно распределенной силы в среде с сопротив-ением, пропорциональным скорости, имеет вид им=ази — 2ти,+[(х, Рд Р (х, Г)=р[ (и, 1) причем *) См. [7), стр, 101; сведение рассматриваемой задачи к более простым может быть выполнено аналогично.
егть вынуждающая сила, приходящаяся иа единицу длины, р — лвпейнзя плагность массы струны, [(к, 1) †ускорен, которое получила бы точка струны с абсциссой к в момент Г, если бы на нее не действовали никакие другие силы, кроме вынуждающей. Член — 2тиг, представляющий собой сопротивление, пропорциональное скорости, исчезает, если колебания происходят в среде без сопротивления.
Краевая задача им=а и,„— 2тиг+[(к, г), о<х<1, о<г <+со, (1У атак(0. 1)+рги(0. 1)=0, сИих(1, г)+Ози[1, 1)=О, 0<г <+со, (2) и (х, 0) = гр (х), и (х, О) = ф (х), 0 < х <1, (3) мо'хет быть свеленз к более простым з) задачам. Если удается найти какое-либо частное решение ю(х, 1) уравнении (1), удовлетворяюшее граничным условиям (2), то решение краевой задачи можно будет представить в виде и (к, 1) =а (к, О+ гз (х, 1), (4А П. УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА (1) (2) о~куда ш(х]= — — +С. +С, 8 2аз Из граничных условий (2) находим: Се=О, С,=+ 2— Р. 81 ч.лед оаательно, ш (х) — — х'+ — х. 8 81 2ае 2аз (б) Теперь остается решить краевую задачу о!!=а»а„» — 2тпо О<к<1, 0<1<+аз, (7) о (О, !) =- о (1, 1) = О, 0 < 1 <+со, (8) й й х, 2аз — х+ — (хз — 1х], 0 < х < хз, о(х, 0)= — + (хз — 1х), хе<к<1, Н(! — х) 8 — ' 2аз о,(х, 0)=0, 0<х<1.
(10) а(х, 1) представится в виде и (х, 1) = о (х, !)+ ш (х) (11) Выражение для о(х, !) получается по формулам (7), (7'], (7'), (8), (9) введения к предыдущему пункту ответов н указаний настоящего параграфа Заметим, что если бы член — 2тиг в уравнении (1) отсутстиовал, то стационарное частное решение краевой задачи (!), (2) и, следовательно, начальные условия (9) и (10) для нахождения функции о(х, 1) остались бы преж (9) где о (х, 1) есть решение краевой задачи он=ото»» — 2тои О < х< 1, О <! <+со, (б) а,о„(0, !)+О~о(0.
!)=О, ао»(1. 1)+1)зо (1, !)-О, 0 ..-! <-)-со, (б) о(х, 0)=ф(х) — ш(х, 0), ог(х, 0)=ф(х) — шг(х, 0), 0<к<1, (7) которое рассмотрено в предыдущих параграфах. Аналогишю обстоит дело в случае вынужденных колебаний под действием сосредоточенных сил, прилаженных к концам или внутренним точкам струны. 13). Решен не. Имеем краевую задачу ии=ази»» — 2ти,+8, О<х<1, О<! <+со, и(0, !)=и(1, !)=О, 0<1<+аз, и(х, О)= А — х, 0<х<хз, хз (8) Ь (1 — х) хе<»<1, 1 — х„ иг(х, 0)=0, 0<х<1. (з'.] Ищем сначала стационарное решение ш(х) уравнения (1), удовлетворязлцее граничным условиям (2). Подставляя ш(х) в (1), получаем: ерш О=аз — +а, 0<х.-(, ах- ОТВЕТЫ. УКАЗАНИЯ И РЕШЕНИЯ где игпзаз .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
