1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Далее имеем и[ах[о — о~ ( нс ( ~пах / / [7 (С, т[, и, и, и„) — 7" (С, т[, й и, и„)~ бес[т[ ( АВС МРО (и[ах ~ ~ 1. ( (и — и~+~и — и,!+) и — и„[) бябт[ К, АВС м~ а ( 7А[тр(и, й), и аналогично шах ! о — о ~ < Е с[р (и, й), шах[о„— о„) (7.бр(и, и). 1 1 Если теперь предположить.
что (лр < — и Ы < †, а зто, в частности, будет, если б достаточно мало, то оператор (7 осуществляет сжатое отображение шара 8(0, а) в себя и мы приходим к теореме. Теорема 3. Пусть задана гладкая кривая АВ, обладающая тем свойством, что прямые, параллельные осям координат, пересекают ее калсдая не более челт в одной точке, и дано уравнение и,„=~(х, у, и. и, и„), (7) где функция, стоящая в правой части в области ТИ (х, у) Е АВС, ! и ! < а, / и„~ ( а, / и„'[ ~( а, непрерывна по совокупности первых двух иеременных, а по остальным трем переменным удовлетворяет условию Лип[ница равномерно относительно х и у. сеПАРАВЕльные пРостРАнствА Тогда, если треугольник АЕС достаточно мал, в нем существует решение уравнения (7), обращающееся на АВ вместе с первыми производными в нуль.
С помошью принципз сжатых отображений были получены и другие результаты, некоторые из которых мы привелем ниже. Этот принцип является простейшим из серии принципов неподвижной точки. С другим принципом. принадлежац!Вм Ю. Шаудеру. мы познакомимся, когда будем рассматривать компактные множества в метрических пространствах [23[. 8 8.
Сепарабельные пространства Пространство Х называется сепарабельным, если в этом пространстве существует счетное всюду плотное множество, иными словами, если в пространстве Х существует последовательность ХР Хж ° ° ., А», такая, что для любого х ц Х найдется подпоследовательность х„. х„, ..., х„.... послеловательности (1), сходя- С 2 шаяся к х. Если Х вЂ” метрическое пространство.
то определение сепарабельностн можно сформулировать так: в пространстве Х сушествует последовательность (1) такая, что для любого е>0 и любого хцХ найлется элемент хт из (!) такой. что р (х, х„,) ( е. и-мерное евклидова пространство Е„сепарабельно. Действительно, множество Е„, состоящее из всех точек проз странства Е„с рациональными координатами, счетно и всюду плотно в Е„. Пространство С [О, 1[ сепо рабельно. Рассмотрим в пространстве С[0, 1[ множество Са, состояшее из всех много- членов с рациональными коэффициентами.
Са счетно. Легко убедиться, что Сз всюлу плотно в С[0, 1[. В самом деле, возьмем любую функцию х(С)цС[0. 1[. По теореме Вейер штрасса существует многочлен р(С) такой, что шах [ х (с) — р (с) [ ( —, с 2' МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1гл, ! где е ) Π— заданное число. С другой стороны, очевидно, найдется другой многочлен ро(1) с рациональными коэффициентами такой.
что тах( р (г) — ро(с) ( ( —. 2' Отсюда следует, что р(х ро) = п'ах (х (г) — р (() ( < е, ! что и требовалось доказать. Пространство 1р сепарабельно. Пусть Ео — множество элементов х вида (г,, го, ..., г, О, О, ... (, где г, — произвольные рациональные числа, а и — проиавольное натуральное число, Ео счетно. Легко показать, что Ео всюду плотно в (р. В самом деле, возьмем любой элемент х=Я ~ 1р, и пусть задано любое е ) О. Найдем сперва такое натуральное число и, чтобы (Ю 2 ' »=и+! Возьмем затем элемент хо=(гн га, ..., г„, О, О, ...( такой, что Р Е .«и(»» '»(' 2 Тогда получим р !Р(х хо)1 =,«~(й» вЂ” г»( + ~в (й»( С 2 + 2 откуда р(х, хо) ч.
е, и требуемое доказано. Пространство ЕР10, 1( сепарабельно. В самом деле. из свойства абсолютйой непрерывности интеграла Лебега (см. 1211) вытекает, что любая функция х (!) пространства Ер(О, 1) есть предел в среднем с показателем р последовательности ограниченных измеримых функций х„(1), $ 81 СЕПАРАБЕЛЬНЫЕ ПРОСТРАНСТВА определяемых условиями х (1), если )х(г))-(п, Хч (1) = О, если )х (г)) ) п. Далее, из С-свойства измеримых функций (см. [21]) следует, что каждая ограниченная измеримая функция есть предел в среднем с показателем э последовательности непрерывных функций. Следовательно, множество непрерывных на [О, 1] функций всюду плотно в бр[О, 1).
С другой стороны. счетное множество многочленов с рациональными коэффициентами всюду плотно в пространстве С[0. 1) в смысле метрики этого пространства, а теи более в смысле метрики пространства Ар[0, 1]. Но тогда рассматриваемое множество много- членов всюду плотно в Ьр[0, 1) и сепарабельность пространства Ар[0, 1] доказана. Пространство в сепарабельно. Пусть Еа — множество элементов х вида [гн га, ..., г„, О, 0....), где г~ — произвольные рациональные числа, а и — любые натуральные числа. Ее счетно.
Покажем, что из Ее можно выделить подпоследовательность, сходящуюся к произвольно выбранному элементу к=й~ Ез Е. ]Ее. Для каждого $, построим последовательность рациональных чисел [г<~~], й=!, 2, ..., сходящуюся при и-+со к Рассмотрим последовательность [хРО) элементов из Еа вида л1ю= ~гж, г<А)...,, г1А>, О, 0...,3. 1'а'''''А Легко видеть, что х)Ю вЂ” »х при й — »со.
В самом деле, для доказательства этого утверждения надо показать, что п-я компонента х)"> сходится к п-й компоненте х при п -» Оо. Но это очевидно, так как если взять достаточно большое Гг > п, то будем иметь ~ $„— г~„"~ ( е. Пространство гп не сепарабельно. Рассмотрим множество элементов х = Я из т, где Ц~ — — 0 или 1, Множество этих элементов имеет мощность континуума. Возьмем два различных элемента х= Я и у= [Ч,) из этого метгическне пяостялнствл 1ГЛ.
1 множества. Тогда р(х. У)=зцр~$,— т),~=! и мы имеем континуум элементов, нахолящихся друг от друга на расстоянии, равном единице. Отсюда легко вытекает, что и не сепарабельно. В самом деле, лопустнм, что в т существует счетное всюду плотное множество Бе. Опишем около каждого эле- 1 мента из Ев шар радиуса е = †.
Тогда все элементы пространства т расположатся внутри этих шаров. Так как шаров счетное множество, то по крайней мере в одном из них должно быть два разных элемента х и у из рассмотренного выше континуального множества. Пусть центр такого шара есть хе. Тогда ! 1 2 1 =Р(» у) ~Р(» хо)+Р(хв у) ~( л+ л = З что невозможно. Следовательно, т не сепарабельно.
Однако можно доказать, что пространство с, являющееся подпространством пространства т, сепарабельно. ГЛАВА О ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА В 1. Линейные пространства При рассмотрении многих конкретных пространств мы видим. что элементы этих пространств (функции. числовые последовательности и др.) можно складывать друг с другом и умножать на числа. получая элементы того же пространства. Исходя из таких конкретных примеров, мы приходим к общему определению линейного пространства. Определение. Пусть Š— множество элементов некоторой природы, удовлетворяющее следующим аксиомам: 1.
Š— абелева группа относительно групповой операции сложения. Это значит, что определена сумма х + у двух любых элементов х, у ~ Е, являющаяся элементом того же множества, причем операция сложения удовлетворяет условиям: 1) х+ у = у+ х — коммутативность; 2) х+(у+ а) =(х+у)+ я — ассоциативность; 3) существует однозначно определенный элемент О такой, что х+О=х лля любого х из Е; 4) для каждого элемента х ц-Е существует однозначно определенный элемент того же пространства ( — к) такой, что к+( — х) = О.
Вместо х+( — у) будем писать х — у. Элемент О называется нулевым влементом или нулем группы Е, элемент — х называется алеменлгом, противололоалнмм х. 58 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1ГЛ.!! !1. Определено умножение элементов х, у, «, ... множества Е на вещественные (комплексные) числа Л, )А, Р, ..., причем Лх является снова элементом множества Е и выполнены условия: 1) Л()А«) =(Лр)х — закон ассоциативности умножения; 2) Л(х+у)=Лх+Лу, (Л+р)х=Л«+)Ах — два закона днстрнбутнвности; 3) 1 х=х. Множество Е, удовлетворяющее аксиомам ! и 11, называется линейным нли векторным пространством.
В зависимости от того, на какие числа, вещественные илн комплексные, допускается умножение элементов множества Е, мы получаем вещественное нлн комплексное линейное пространство э). П р и м е р ы. 1. Совокупность Е„н-мерных вещественных векторов образует вещественное лннеййое пространство.
2. Совокупность комплекснозначных решений обыкновенного однородного линейного дифференциального уравнения и-го порядка образует комплексное линейное пространство. 3. Совокупность элементов вещественных (комплексных) пространств С [О, 1[, бр[0, 1[ образует вещественное (комплексное) линейное пространство. 4. Совокупность элементов вещественных (комплексных) пространств т, с, !р образует вещественное (комплексное) линейное пространство. При этом суммой элементов «= [$ [ и у [Чг[ мы называем, как обычно, элемент «+У~[1!+Ч! 3г+Чз $ч+Чн ) произведением элемента х на число Л вЂ” элемент Л«[Ль! Ль! Хь ' )' Приведем некоторые следствия из аксиом линейного пространства. 1.
0 ° х=Оьч). В самом деле, х = 1 ° х = (1+ 0) ° х = 1 ° х+ 0 х = х+ 0 ° х. ч) Иа стр. 13 термин пространство имел другой смысл. Однако во всех линейных пространствах, которые будут рассмзтриваться в дальнейшем, понятие предела последовательности будет введено. «ч) Символом О мы обозначаем и число нуль и нулевой элемент линейного пространства. Из текста будет ясно, о чем идет речь в том илн ином случае.
ЛИНЕИНЫЕ ПРОСТРАНСТВА %0 Отсюда х+( — х) = х+ 0 ° х+( — х) нлн О = О+ 0 х = 0 х. 2. ( — 1) х= — — х, так как ( — 1) х + х = ( — 1+ 1) х .= 0 х .=- О. 3. Л 0 = О, так как Л О =Л [х+( — х)[=Лх+Л( — х) = = Лх+ ( — Л) х = Лх — Лх = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
