1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Пусть дана последовательность [х„(>)), где х„ ([) ~ С [О, 1[, а = 1, 2, .... и нус;ь р(х„, х ) — «О при н, т-» со. Это означает, что для последовательности [х„(>)) выполняется условие Коши равномерной сходимости на [О. 1]. Пусть хз(>) — предел последовательности [х„(г)). Как предел равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций эта функция также непрерывна на [О, 1].
Таким образом, хе([)цС[0, 1] и р(х„, хз) — «О. Следова-. тельно, пространство С[0, 1] полно. ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Полнота пространства пг. Пусть 1х„) — последовательность злементов из т, скодяшаяся в себе. Пусть х„= Д~" 11. ! РЛ1 Так как х„~т, то ~$)"~~~(К„для 1=1, 2, ... Так как, далее, (х„) сходится в себе, то для любого числа е) 0 найлется номер аз(е) такой, что р(х„, ха) ( е при п, й )~ ие(е), или, что то же, знр~~~~ю — $1~ ~~(е при и, й)~ не(е). Отсюда следует, что ~ ~~ю $[ ) ~ ~ е при и, й)~ аз(е) равномерно по 1. фиксируем 1. Тогда последовательность чисел (С) ~, $)", ... ..., $)"', ...~ в силу (1) есть последовательность, удовлетворяющая условию Коши сушествовання предела, и, следовательно, сходится к некоторому числу СР Получаем, таким образом, последовательность чисел (ьп вп ...
ь„.. ) ° Возьмем неравенство (1) и заставим и стремиться к бесконечности. Тогда в пределе получим неравенство 1с)"' — Ь ~ ~(е (2) для л)~ па(е) и для всех!. Отсюда ~ $~ ~ ( ! $с"' — '$г ~ + ( $С~"'1 ~ ( е+ К,„, причем неравенство имеет место для всех 1. Но зто означает, что (Ц-ограниченная последовательность, т, е. хе —— Я П т. Из (2) получаем вар)цю — $,! (е для и) а (е), т. е. р(х„.
х) ~(е для и ~~па(е). Так как е Р О произвольно, то отсюда следует, что х„-+х при и-ьоо. Полнота про- странства лг доказана. Полнота пространства с. Покажем, что пространство с, рассматриваемое как подмножество пространства лг, замкнуто в лг. Отсюда в силу аамечания на стр. 21 будет следовать. полнота с, МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА (гл.
1 Пусть [х„1, где ха= [е(1">, $(0">, ..., е(("), ...), есть последовательность элементов из с и ха -ь х, где хо = = [Ц(), а(0), ..., й((ч ...~. покажем, что [а(('~ — сходящаяся последовательность. В самом деле, ~ оь(0) оь(0) / ( ( е(0) 01(а) [+ ~ ь(а) ьо(а) ~ [ ~ 0(а) аь(0) ~ < 2р(х ' хо)+ / Ца> ~(а) / Пусть задано произвольное число е > О.
Выберем сперва п настолько большим, чтобы р(ха, хо) < —, и зафиксируем такое п. Так как [Ца>~ — сходящаяся последовательность, найдется номер по такой, что прн 1, У)~по ! 1(а) ь(а) (,~~ Ъ( Но тогда [ ьо(О) оь(О) ~ ~ Е при 1, >' ) п , т. е. (Цо)) — сходящаяся последовательность. Итак, хаас и требуемое доказано. Полнота пространства М [О, 1[.
Пуста [х,[ — последовательность элементов пространства Л [О, 1[, сходящаяся в себе. Тогда для любого а > О при п, л>> по(е) имеем (п1 [ зцр [ха(() — х (1) [ [ с, е. е,~чае=о(0(о, ц;е Следовательно, найдется множество Е„,, шез Е>ч= О такое, что ьцР [ха(Г) — хи(С)[с.,е, и, п>~по(е). (Р(о, Ц~,на, т. е. почти всюду на [О, 1[ [ха(г) — х (г)[<е при п, и> по(е); Отсюда легко получаем (см, стр. 23), что последовательность [ха (Г)] ограниченных измеримых функций сходится равномерно почти всюду на [0,1[.
Поэтому существует ограниченная измеримая функция хо(Т), являющаяся пределом почти всюду для втой последовательности. Но тогда легко видеть, что р(ха, хо)РО и полнота пространства М [О, 1[ доказана. Полнота пространства А.р[0, Ц и 1р. В курсах теории функций вещественной переменной (см. [21[) доказывается, л 5] пОпОлнение метрических пРОстРлнстз 38 что Аз[0, 1[ н (з — полные пространства. Аналогичными методамн может быть доказана полнота Ар[0, 1] и 1р. Мы не будем проводить здесь этого доказательства и получим утверждение о полноте [.
[О, 1[ и 1 как следствие одной общей теоремы функционального анализа (см. Ниже, стр. 198). ф 8. Пополнение метрических пространств Известно, какую большую роль в математическом анализе играет свойство полноты числовой прямой. Только построение полной совокупности вещественных чисел позволило строго, в известных пределах, обосноватьматематический анализ. Большую роль играет свойство полноты метрических пространств и в функциональном анализе.
Поэтому мы рассмотрим сейчас процесс пополнения произвольного неполного метрического пространства, аналогичный процессу пополнения множества рациональных чисел множеством всех иррациональных чисел. Предварительно, однако, введем одно понятие, которое нам понадобится и в дальнейшем. Пусть даны дза метрических пространства Х и У.
Пусть расстояние между элементами х, и хз пространства Х будет рх(хп хД, а расстояние между элементами у, и у, пространства У будет рг(ун у ). Если между элементами пространств Х и У можно устзновить взаимно однозначное соответствие и притом таким образом, чтобы расстояние между элементами одного пространства равнялось расстоянию между соответствующими элементами другого пространства, то пространства Х и 1' называются изомет ричнами. Легко понять, что с точки зрения тех вопросов, которые связаны лишь с расстоянием между элементами, например с точки зрения вопросов сходимости, полноты и т. д., два изометричных пространства можно считать идентичными.
Можно говорить не только об изометричности пространств Х и У, но и об изометричпости множеств, расположенных в этих пространствах, и в вопросах, связанных лишь с метрикой, результат, полученный для некоторого множества метрического пространства, верен для всех изометричных ему множеств. Пусть дано метрическое пространство Хз.
Предположим, что оно неполное, т. е. что в этом пространстве имеется метРпческие НРостРАнствА !ГЛ. ! последовательность, сходящаяся в себе. но не имеющая предела в Хе. Покажем, что в этом случае существует другое метрическое пространство Х вЂ” полное и такое, что в нем существует подмножество Х'. лежащее всюду плотно в Х и изометричное пространству Ха. Пространство Х называется пополнением пространства Х . Рассмотрим всевозможные последовательности [х„), (у„), !ел), ..., составленные из элементов пространства Хе и сходящиеся в себе. Отнесем к одному классу любые две последовательности (х„) н (х„'), сходящиеся в себе и такие, что р(х„, х„') — «О прн н-«оо. Этн классы х примем за элементы нового пространства Х.
Возьмем два элемента х и у ~Х. В каждом из классов х и у возьмем по одной последовательности (х„1 и (у„). Покажем, что существует предел 1!шр(х„, у„). В самом Л деле, имеем р(х„, у„)~(р(х„, х )+р(х, у )+р(у, у„). Отсюда р(х„, у„) — р(х„. у„)~(р(х„, х„)+р(у„, у ). (1) Меняя ролями аначки лг и а. найдем р(х, у ) — р(х„, у„)~(р(х„, х )+р(у„, у ). (2) Из (1) и (2) получаем !р(х„. у„) — р(х„, уя)! (р(х„, х„)+р(у„, у ).
Правая часть этого неравенства стремится к нулю прн и, т-«оо. Поэтому числовая последовательность (р(х„, у„)1 удовлетворяет условию Коши и, следовательно, существует предел 1ипр(х„, у„). л Введем теперь расстояние в Х по формуле .р(х, у)=1!шр(х„. у„). п ЕЯ пОпОлНениЕ метоических пРОстРАнстВ 36 Покажем, что так определенное расстояние не зависит от выбора последовательностей )хп) и )уп) в соответствующих классах. Возьмем две другие последовательности (х„') и (у„') в тех же классах х и у. Тогда Р(Хп, Уп) <Р(Хгп Х„')+Р(Х„', У„')+Р(У„', Уп). Отсюда 1!гпр(х„, уп) ~(1!гпр(х„', у„').
п и Аналогично получаем, что и, обратно, 1ипр(х„', у') (1ипр(х„, у ), и л Следовательно, !!гпр(хп, уп) =1ип р(х', у'). л и Проверим выполнение аксиом метрики. 1. Так как р(хп, уп) ) О, то и р(х, у) =1!гпр(хп, уп)) О. л Далее, равенство р (х, у) = 1!и! р (х„уп) = О л означает по условию, что последовательности хп и уп при- надлежат одному классу. Так как (хп) — любая последовательность класса х, а )уп] — любая последовательность класса у, то х = у. 2. р(х, у)=р(у, х) очевидно, 3. Если (хп) Ех, )уп) Еу, )гп) ~х, то, очевидно, р(х, х) =1!щр(хл, яп) ( л ~(1гщ Р(хл уп)+1'"'Р(ул ял) = и л =р(х, у)+р(у, л).
Докажем, что Х вЂ” полное пространство. Возьмем последовательность )хи х, ..., хп...,) злементов пространства Х. [гл. ( МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА сходяшуюся в себе, т. е, так)ю, что р(хп, х„) — «О при и, л( — "о. В каждом классе хп возьмем некоторую последовательность ( х(п) Х(п( Х(п) ) ('2'''''А Так как эта последовательность сходится в себе, то можно выбрать такое к„, что р(х(п', х"') < — для р > ()„. 1 Р' А„п Рассмотрим теперь последовательность х(", х(т(, ..., х(п(, ...) и покажем, что она сходится в себе. Имеем р (х(п( х(~и() < р /х(п( х(л() + р/х(п( х(п1()+ р гх(п!\ х(т() (3) Пусть вааано произвольное е" О. Так как р(ХР, Х )«О Прн П, Л(-«=о, то найдется номер ле такой, что при и, л( > па р (х„, х,„) =! Нп р ! х(п', х "и') < —,— . Р Поэтому при а, (и>~ па и достаточно больших р будем иметь р(х(п(, х(м() < —.
Р 2' (4) р(х(п! х(п!) « р (х(т( хьп() « (5) 1 е При этом мы можем считать пе таким, что — < —. Фиксипо 4 ровав л и л(, удовлетворяюшие условию п, п()~ее, будем считать р настолько большим, что р > Й и р > кп. Тогда в силу выбора чисел йп и и ФЫ ПОПОЛИЕНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 67 Из (3), (4) и (5) следует, что при а, гл ьл р(хш!, х~ь 1) ( е, а и~~ т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
