1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 4
Текст из файла (страница 4)
а именно: 1) М ОМ= М ОД1 2) М <=М, 3) (М) = М = М 4) замыкание пустого множества пусто. Множество М называется замкнутым, если М =М. Множество М называется олгкрытым, если его дополнение Х '~ М замкнуто. Множество М называется плотным в множестве О, если О с; М.
В частности, множество М называется всюду плотным в пространстве Х или просто всюду плотным, если М=Х. Наконец, множество М называется кигде не плотным в пространстве Х, если каждый шар этого пространства содержит в себе некоторый шар, свободный от точек множества М. Подробное изложение свойств замкнутых и открытых множеств в метрических пространствах см. в 111.
Непрерывные функции. Пусть даны два метрических пространства Х и У и функция у = г"(х), опрелеленная на некотором множестве М пространства Х со значениями в пространстве У. Функция г'(х) называется непрерывной з гвочке хаЕ М, если лля любого е > О найдется 6 > О такое. что рг(у'(х), у'(ха))(е для всякой точки х~ М. удовлетворяющей неравенству р«(х, ха) < Ь.
Из определения непрерывности Г (х) следует, что если з з! ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ Гомеоморфизм. Пусть Х н )' — данные метрические пространства и существует взаимно однозначное отображение пространства Х на пространство )'. Если это отображение взаимно непрерывно, то пространства Х и )' называются гомеоморфныма. ф 3.
Примеры метрических пространств Числовая прямая. Пусть Х )оо, где )с — множество всех вещественных чисел (числовая прямая). Если х, ус)г, то полагаем р(х, у) =1х — у[. Справедливость аксиом метрики очевидна. Сходимость э этом пространстве есть обычная сходимость числовых последовательностей. Евклидово пространство. Пусть Х вЂ” арифметическое и-мер нос пространство, т. е. множество всех упорядоченных систем из л вещественных чисел. Если х [а„аь ..., Сл] и У (т)ь 1)ь ..., Чл], то полагаем л р (х, у) = $г' ~ (а) — ч )'.
1-1 Справедливость аксиом метрики легко проверить. Пусть ха = [с))л), с(гл),, °,, слл)], а 1 2, 3, и л оп > о (,. Т)от)-о)' о~ )=1 Это равносильно условию ф')-+й), 1=1, 2, ..., л при а-ьсо. Таким образом, сходимость в рассматриваемом пространстве есть сходимосл)ь по координатам. Пространство Х с этой метрикой называют и-мерным ееклидовым нрослоранством. Мы будем обозначать его Ем Пространство непрерывных функций с чебышевской метрикой. Пусть Х вЂ” множество всех непрерывных функций, заданных на отрезке [О, 1] '). л) Если отрезком изменения переменной Г будет [а, Ь], то его можно преобразовать в отрезок [О, 1], вводя новую независимую переменную о — а с=в (о — а (гл.
в МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Введем метрику, полагая р(х, у) = шах! «(т) — у(т) !. 1 Проверим вмполнение аксиом метрики. То, что р(х, у)>0 и р(х, у)=0, лишь если х(т) — у((), а также, что р (х, у) = р (у, х), очевидно. Остается проверить аксиому треугольника. ][ля любого (~[0, Ц имеем [х(ф — (т) ! = ! [«(г) — у(т)]+ [у(т) — (т)]! ( ( ! х (Т) — у (ф ! + ! у (П вЂ” (П ! ( ( гяах [х (т) — у (Г) ! + шах ! у (С) — е (т) ! с ! = О (х у) + р (у ). Поэтому р(х, л) = шах ! х(Ф) — х(Г) ! (р(х, у)+р(у, з).
Множество всех непрерывных функций, заданных на отрезке [О, Ц, в котором метрика введена указанным образом, называется пространством непрерывных функций и обозначается С[0, Ц. Мы будем называть его также пространство.н непрерывных функций с чебышевской метрикой, так как расстояние между функциями совпадает с чебышевским уклонением. Рассмотрим сходимость в пространстве С[0, Ц. Пусть дана последовательность [хи (т)] элементов из С [О, Ц, сходящаяся к х(Г) (р (х„, х) -ьО при п-ьсо). Это значит, что шах ! хл (() — х (() ! -ь 0 при л -ь со, т.
с. для любого числа з > 0 найдется номер ля=па(е) такой, что шах ! хи (Г) — х (() ! < в с для и > л,(е) и, следовательно, ! хи (Г) — «(т) ! < е для п пв (с) и для всех (~ [О, Ц. Но это означает, что последовательность [хи(Т)! равномерно сходится к функции х(Т). Легко видеть, что и обратно, если последовательность [хи(т)] равномерно сходится к х(Г), то р(х„, х)-ьО. Таким образом, сходимость в пространстве С [О, Ц есть равномеркал сходимость на отрезке [О, Ц. Пространство ограниченных числовых последовательностей. Пусть Х вЂ” множество ограниченных числовых последовательностей В~ $з," в ° "]. Это значит, что для каждого х существует такая константа Кт что ! ~~ ! <; Кв для всех й з з] ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 21 Пусть х = (Ц н у = (Ч, ~ принадлежат Х.
Введем расстояние равенством р (х, у) = зир ) Зт — Ч. (. Очевидно, проверки требует лишь аксиома треугольника. Имеем ~Ь,— ~,(<Д вЂ” Ч,~+~Ч,— (,1< < зир ) й — Ч, )+ зиР ) Ч, — Ьг ) = Р (х, У) + Р (У, г). Следовательно, и зир ( $г — Е! ( = р (х, г) < р (х, у) + р (у, г). Полученное пространство называется нространстаом т ограниченных числовых лоследовательностей. Пусть х„и х — элементы из т, х„= (З!гк!), х= (3!) и р(х„, х)-«О при а — «со; зто значит, что лля любого з > О найдется такой номер а, а,(з), что Р(х„, х) = зир ! Ь|" — (г ( < е при а ! аз(з). Отсюда ($'; — й!)< с при а) н,(з) и любом Е Легко видеть, что н обратно, если ~ З!га! — $~ ( < е при а~ аз(з) и всех г, то р(х„, х)-«О при а-«оо. Следовательно, сходимость в пространстве т есть сходимость ао координатам, разномерная относительно номеров координат.
Пространство сходящихся числовых последовательностей. Пусть Х вЂ” множество сходящихся числовых последовательностей х= (з! ««г ° ° ° ««а ) причем существует !!'ш с; = -;. Пусть Х («!,«ь ° «ю' ''')' У (Ч1 Ч2 ' ' Чи '' )' Полагаем р(х, у) = зир)з Ч !' Полученное пространство называется пространством с. Очевидно, что пространство с сходящихся числовых последовательностей является подпространством пространства т ограниченных числовых последовательностей. Отеюда следует выполнение аксиом метрики в с и то, что сходимость в с есть сходимость ао координатам, равномерная о!нносителько номеров координат.
Пространство ограниченных вептествениых функций. Рассмотрим множество всех ограниченных функций х(!) веществЕнной МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА !ГЛ. ! переменной й заданных на отрезке [О, Ц. Введем метрику, полагая р (х, у) = зир ] х (!) — у (т) [. Без труда проверяем, что все аксиомы метрики выполняются. Множество всех вещественных ограниченных функций с такой метрикой называется пространством М [О, Ц.
Легко видеть, что сходимость в пространстве М [О, Ц есть ривномернлн сходимссть ла отрезке [О, Ц. Ясно также, что С[0, Ц ~ М [О, Ц. Пространство ограниченных измеримых функций. Прежде чем рассматривать зто пространство, введем одно понятие. Пусть а(!) — измеримая на [О, 1] функция. Обозначим через й класс всех множеств Е меры нуль, лежащих в [О, Ц, и рассмотрим на й следующую функцию: знр а(!) =Р(Е). !о, ц;е Покажем, что если зта функция конечна для какого-нибудь ЕС в, то на некотором множестве Е„ она принимает минимальное значение.
Пусть р.= !и! Ря(Е) Вга Согласно определению точной нижней границы можно указать такую последовательность множеств [Е„] с-к, что ! Рз< знй а(!)<Ре+- !з, ц~,е„ л Пусть Еа = Ц Е„, тогда тЕи = 0 и и=! 1 Р, < зай а(!) < зиР а(!) < Рз-[-— !О Ц ~на !Е Ц КВ л Так как ато неравенство верно для любого л, то отсюда следует, что ре — — ре(Е '!. Число р называется существенным максимумом функции а(!) Ва [О, Ц и обозначается ла1 таха(!) = гп!и [ зар а(Е)). !о ц айа !е ц,е Пусть Х вЂ” множество всех измеримых на [О, Ц функций х(!), у(!), е(!), ..., существенные максимумы которых конечны.
Лве функции х(!) и у(!) из Х л!ы считаем тождественными, если они почти всюду разны. Для двух функций х (!), у (!) ~Х положим р(х, у) = тга! !пах] х(!) — у(!) ]. !з, ц 23 а з! ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ Проверим выполнение аксиом метрики. !) Так как знр [х(1) — у(1) ! ~0, 1О, Ц'~,Е то р(х, у)~ О, причем очевидно, что р(х, у) =О, если х(1) = у (1) почти всюду. Пусть, обратно, р(х, у) =О.
Тогда для некоторого множества Е» меры нуль зпр [х(1) — у(1) ! О, (Е, Ц,Е»т т, е. х(1) у(1) вне Е,т и, следовательно, х(1) н у(1) почти всюду равны. 2) р (х, у) = р (у, х) очевидно. 3) Пусть х (1), у (1) и г(1) — функции из Х, и Е, Š— множества меры нуль такие, что р(х, г) = зир [х(1) — г(1) [, р(у, г) зпр [у(1) — г(1)[. (Е, Ц,,Е»» (а, ц~е„» Положим Е»„=ЕТ»~5ЕТ» Имеем зпр [х(1) — у(1)[~ Гв, ц е„ знр [ х (1) — г (1) [+ зпр ! »(1) — у (1) ! ~ (О' 1Г~ Е» ГО, Ц",Е зпр [х(1) — г(1)[+ знр [г(1) — у(1)[ (С, Ц~,Е»» (З, Ц~,ЕТ, р(х, г)+р(г, у).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
