1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Тем более р (х, у) = тга! п1 ах ! х (1) — у (1) ( <', р (х, г) + р (г, у), Го, Ц и неравенство треугольника доказано. Полученное пространство называется пространством М [О, Ц. Выясним, что представляет собой сходимость в этом пространстае. Пусть х„(1), х(1)~М[О, Ц и р(х„, х)-ьо при и-ьс»ь Это значит, что для заданного еа > О р(хю х)=гл(п [ зпр [х„(1) — х(1)! [ <е» Е (О, Ц",Е при л) лэ (за). Тогда найдется такое множество Еа меры нуль, что знр [х„(1) — х(1) [ < за при п~ аэ (са). ;а, Ц,Еа Поэтому [х„(1) — х (1) [ < за при и',>~па (аа) для любого 1~ [О, Ц' Ел. Возьмем теперь последовательность [ем), ап -ьО при т -ьсо (гл. 1 24 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА п соответствующие множества Е .
Пусть а > 0 любое. Имеем ! х„(1) — х (1) ! < ва < с для л> пв(ва) и всех (С[0, 1)'~«( ЬЕо«Таким образом. х (Г)-«х(1) т=1 почти всюду на [О, 1) и притом равномерно на указанном множестве полной меры. Пусть, обратно, (хн (Г) ! равномерно сходится почти всюду к х(1). Следовательно, для любого а > 0 найдутся номер нв(в) и множество Ев меры нуль такие, что )хн(е) — х(е)! <в для и> пв(с) и любого ГС[0, 1)'«. Е. Но тогда и зир [хн(т) — х(Г)! (с 1()о 1!«Рв для и',> л,(с).
Отсюда в свою очередь следует, что ю!и ) зир [хн(1) — х(1) !) (в е 1610, П~,е для н)ма,(с), т. е. что р(х„, х) — «О при п-«оз. Следовательно, сходимость в пространстве Я[6, 1) есть равномерная сходимость почти всюду. Пространство всех числовых последовательностей. Приведем пример метризуемого пространства. Пусть Х вЂ” множество всех последовательностей вещественных чисел. Введем в этом множестве понятие предельного перехода, полагая, что х„ = [Сор~) стремится к х )Ц, если $11н) — «йс для всех 1=1, 2, 3, ... (вообще неравномерно относительно 1). Мы получаем, таким образом, некоторое неметрическое пространство, котороеназовемнространствомв.
Покажем, что пространство з можно метрнзовать. Пусть х ($1! ~в н у= (тп) ~в. Положим )й1 — т)1 ! р(х, у)= т и 21 1+)11 — и! Аксиомы тождества и симметрии очевидны. Аксиома треугольника следует из неравенства ! а + Ь! (а! )Ь! 1+(а+Ь! ( 1+[а! 1+[а! которое доказывается следующим образом. Пусть а и Ь одного знака.
Можно считать, что а > 0 н Ь > 0 в тогда )а+Ь! а+Ь а Ь 1+)а+Ь! 1+а+Ь 1+а+Ь 1+а+Ь а Ь 1+а+ 1+Ь' ЬЛ ПРИМЕРЫ МВТРИИССКИХ ПРОСТРАНСТВ 25 Пусть теперь а и Ь разных знаков. Считаем, что (а (~! Ь!. Тснда !а+Ь!<(а(, х Рассмотрим функцкю у(х) = —. Имеем 1+х У'(х) =, > О, 1 (1+х)з так что у (х) — возрастающая функция. Значит, !а+Ь! . !а! !а! !Ь! 1+!а+Ь! 1+!а! 1+!а! + 1+)Ь! Возвращаясь к аксиоме треугольника, находим р(х, х) = (1г — 1г! Ъьч 1 (йг — Вг+тп — 1г! 4' л'~ 2' 1+!Ьг — й! ~'Ь 2г 1+!Сг — ТО+ — 1г! 1 )$! — ТП! ЧЬП 1 !Чг — ьг! ~' 2' 1+ ! сг — ТО ! ~~ 2' 1+ ! Чг — (г ! = р (х, у) + р (у, х), что и требовалось доказать.
Покажем, что сходимость в смысле введенной метрики есть слодимость по координатам (вообще нерзвномерная относительно номеров координат). В самом деле, пусть х„ = (в(г")), х = — Щ и хл -ь х. Это означает, что ~й(ю — ь;~ 'ын 2' 1+)$(ю — й;~ при и> и,(е). Но тогда для каждого фиксированного с тем более при и) пз(е), и так как е произвольно, а 1 фиксировано, то ~ф') — $г )-ьО при н — ьсо. Пусть, обратно, ! з(дг — ь,. ! -ь О при л -ь со МЕТРНЧЕСКНЕ ПРОСТРАНСТВА 1гл. ! для каждого 1.
Возьмем произвольное число е > О. Выберем сна- чала т так, чтобы )= +! Тогда 1+! ](ТО-[~ ~ ! е(л) !])ю — В, ! 2! 1 [ /с(Л) с [+~В(т — В,~ ! е(е) е + —. 2 1 + ! ]~Р) — ]! ! Так как число слагаемых в оставшейся суме(е конечно и фиксировано, то можно выбрать такое л, (е), что 1 ~ $~л) $ ~ ;:~ 2' 1+[1() — ],.! 2 при л,р. ле(е). Но тогда для л)~ля(е) имеем р(хт х) < е, / ]х(е) — у(Ф)1 ,! ТР(*!'! —,~~~ е Так же как н в предыдущем примере, убеждаемся, что аксиомы метрики выполняются.
Полученное пространство называется пространством 8 [0, 1]. Можно показать, что сходимость в 8 [О, 1] есть сходимоеть ло мерв. Определение сходимости по мере см. в [21]. что и требовалось доказать. Из доказанного следует, что сходимость в смысле введенной метрики совпадает со сходимостью, ранее определенной в пространстве е, и, следовательно, введение этой метрики приводит к метрнзации пространства ю Пространство сходнмостн по мере. Пусть Х вЂ” совокупность всех измеримых функций х (Е), определенных на отрезке [О, 1]. Две функции, совпадающие почти всюду, мы считаем тождественными. Введем метрику посредством равенства % з) ПРИМЕРЫ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 27 Пространство функций с интегрируемой р-й степенью.
Пусть Х вЂ” множество всех функций х (1), принадлежащих Ер [О, 1] "). Две функции, отличающиеся лишь пз множестве меры нуль, мы снова считаем тождественными. Если х(Г) ~Ар [О, 1] и у(1) ~/.р[0, 1], то полагаем 1 / 1 Р(-т, У)=~ ]]х(Г) — У(Г)['«Г о Выполнение аксиом тождестна и симметрии легко проверяется; аксиома треугольника слелует из неравенства Минковского длк интегралов.
Полученное пространство называется пространством Ар[0, 1], Пространство Ег [О, 1] называется гильбертовым фун«циопальпым пространством. Пусть х»(1)ЕЕр[0, 1], п=1, 2, ..., и [х»(1)] сходится к х(1) Ейр [О, 1], т. е. 1 ) [х„(1) — х(г)]'б)- О 6 при п-ьсо. Тогда говорят, что последовательность функций (х„(1)) сходится в среднем г по«азателем (индексом) р к функции х(г). При р = 2 говорят просто о сходимости в среднем. Пространство числовых последовательностей 1р (р> 1).
Пусть Х вЂ” множество последовательностей вещественнйх чисел х = [с„ сь ..., Е»,...), принадлежащих 1,*»). Если х = [си с„ ... ьь» ° ) н У = [Ч~ Ч» ° ° Ч» ° ° ° ] С 1р, то опРеделим РасстоЯние по формуле 1 / о» р р (х, у) = ~ ~ [ $ — т)1 [р ) 1=1 Выполнение аксиом симметрии и тождества проверяется без труда. Аксиома треугольника следует из неравенства Минковского для сумм. Полученное пространство называется пространством 1 . Пространство 1, назывзется «оординатным гильбертовым прогтр»истаем.
Можно показать ""'), что сходимость последовательности (.с„], х„= [С11»1] к элементу х = [Ц в пространстве 1 означаец что 1) с(1»»1-ь[и прн п-ьсо для всех!; 2) для любого г > 0 найдется такое число Агь (е), что ~ $1"1 ~а < гР для Аг)~ Ага(з) и всех п. 1» М»1 ") См. также Дополнение!. ") См. Дополнение 1(стр.
494). ь*ь) Ср. ниже критерий компактности в пространстве 1 . метрические прострлнствл (гл. ! Пространство 1(н). Пусть Х вЂ” арифметическое и-мерное про- Р ' странство, т. е. множество всевозможнык упорядоченнык систем иа н вещественных чисел,и пусть х [ь! ьз " ьл] ну=(ЧиЧэ" Чн] Полагаем ! Р(х, У)-~Х [С1-Чг[ ~ ! 1 Полученное пространство называется пространством 1(з!. В часткости, ф~ есть и-мерное евклидова пространство.
Можно считать ь), что 1(з! ~ 1 если каждый элемент )с!, ..., йя) Е1р(Ю отождествить с элементом )й1,..., йтО, ... ) Е1 . Отсюда сразу следует выполнение аксиом метрики для 1(н!. Сходимость в пространстве 1!н! есть сходимость по координатам. Комплексные пространства. Наряду с пространстваин С [О, Ц, Ьр [О, Ц, с, 1р можно рассмотреть заключающие нх пространства, называемые соответственно комплексными С(0, Ц, Ер [О, Ц, с, 1 Элементами комплексного пространства С[0, Ц являютск комвлсксиозиачные непрерывные функции вещественного переменного, пространства ьр[0, Ц вЂ” комплекснозначные функции, р-я степень модуля которых суммируема. Элементами комплексного пространства с (соответственно 1р) являются последовательности комплексных чисел, которые сходятся (соответственно ряд из р-х степеней модулей сходится).
Все определения, данные выше для вещественных пространств, переносятся иа соответствующие комплексные пространства. Неметриауемое пространство. Приведем, наконец, пример множества, в котором можно ввести понятие сходимости последовательности и в то же время нельзя ввести метрику, определяющую ту к!е сходимость. Рассмотрим множество Р[0, Ц всех вещественных функций, определенных на отрезке [О, Ц. Будем считать, что последовательность (х„(1)] с=.Р[0, Ц сходится к х(1) ~Р [О, Ц, если для любого фиксированного 1 х„ (1) -эх (1).
Таким образом, сходимость последовательностк функций в множестве Р [О, Ц есть наточенная сходимость. Эта сходимость неметризуема. В самом деле, предположим, что в Р[0, Ц можно ввести метрику, так что сходимостьь определенная втой метрикой, будет по!очечной сходимостью последовательности функций. Пусть Л(— множество всех непрерывных функций полученного метрического ') См. ниже об изометричных пространствах. ПОЛНЫЕ ПРОСТРАНСТВА $4! пространства !о[0, !). С одной стороны, по свойствам замыкания в метрическом пространстве, М М.
С другой стороны, ИчЬМ, так как М есть множество непрерывных функций и их пределов в смысле поточечной сходимости, т. е. множество функций первого класса Бара, а М есть множество функций первого класса н их пределов, т. е. множество функций второго класса Бара *). ф 4. Полные пространства. Полнота некоторых конкретных пространств Определения. Последовательность [х„[ элементов метрического пространства х называется сходящейся а себе или фундаментальной последовательностью, если для любого числа е) О найдется номер п,(е) такой, что р(х„, х„)(е при и, т)~ по(е).
Если последовательность [х„[ сходится к пределу х, то она сходится е себе. В самом деле, пусть хо = Пю х„. Тогда лля любого в ) О о найдется номер по(е) такой, что Р(Хь Хо) ( 2 при и )~ по(е). Следовательно, р(х„, хм) (р(хю хо)+р(хм, хо) ( е для п, т)~по(е), что и требовалось доказать. Обратное утверждение для произвольного метрического пространства неверно, так как существует метрические пространства, в которых имеются последовательности, сходящиеся в себе, но не сходящиеся ни к какому пределу. П р и м е р ы. !. Пусть Х вЂ” множество рациональных чисел, причем расстояние определяется по формуле р (гь гт) = [ г, — г, !.
Тогда Х есть метрическое пространство. Возьмем последовательность ! ! ! г,= — „ 2 4 '' и йв ° ''' ') О классификации Бара см. (2!). [Гл. а МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА Эта последовательность сходится и в себе и н пределу г, О. Возьмем теперь последовзтельность Эта последовательность сходится в себе, но не имеет предела> в пространстве Х, так кзк 11» йш 1+ — ) =е ч+>ь'> Л не является рациональным числом.
2. Пусть Х есть пространство многочленов Р(0, 0~[~(1> с чебышевской метрикой, т. е. если Р(Г) и Я(Г) СХ, то р (Р, [)) = п>ах [ Р (Г) — () (г) ]. с Пусть [Р„(Г)] — последовательность многочленов, равномерно схо лящаяся к непрерывной функции, не являющейся многочленом. Очевидно, что последовательность (Р„(ГЦ вЂ” фундаментальная, но не имеет предела в пространстве Х. Если в метрическом пространстве Х каждая сходящаяся в се5е последовательность сходится к некоторому пределу.
являющемуся элементом того же пространства, то пространство Х называется нолным. Отметим, что ззмкнутое множество полного пространства есть само полное пространство. Установим полноту некоторых конкретных метрических пространств. Полнота пространства Е„. Лля случая Е„ — евклидова н-мерного пространства в полнота следует из критерия Коши существования предела последовательности точек этого пространства. Полнота пространства С[0, Ц.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
