1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 7
Текст из файла (страница 7)
е. что последовательность (х'"!~ сходится в себе. Обозначим класс, солержашнй последовательность (хнл), через х. Покажем, что х,-+х. Имеем, очевидно, р(х„, х) =1!ар(х'"', х:~")~(!!щр(х'л'. х!Ал)+ Р + !1тр(Х~,"! Х!ЬРР) < 1 11щр(Х!Ьл'. Х!РР. (6) Так как последовательность (х!А1! сходится в себе, то для ь"„,' заданного е ) О найдется лз такое, что х!Р1) < —, р (хна, ь„' при л, р ~~ле. Отсюда 1пп р (х!л1, Р л Х!Рж ( ' 17) при л)~ае. При этом без ограничения общности можно пред- 1 е полагать, что — < —. Из (6) и (7) следует, что при и)~па ль 2 р (х„.
х) ( е. !х, х, ..., х, ...) с х, (у, у, ..., у, ...!с у. то, очевидно, р(х, у) =р(х, у). т. е. что последовательность (х„) сходится к элементу х и полнота пространства Х доказана. Введем в рассмотрение слеационарные лоследоаательнослеи. т. е. последовательности вила (х, х, ..., х, ...). которые, очевидно, сходятся в себе и, следовательно, относятся каждая к некоторому классу — элементу из Х.
Очевидно, что одному и тому же классу принадлежит лишь одна стапионарная последовательность. Если теперь игл. ! метРические пвостРАнствл Покажем теперь, что Хз изометрнчно некоторому подмножеству Х' пространства Х, всюду плотному в Х. Отнесем к Х' все классы х, среди последовательностей которых имеется стационарная последовательность (х, х, ..., х, ...). Между классами х ц Х' и элементами х, из которых составляется стационарная последовательность, входящая в х, имеется взаимно однозначное соответствие, причем если )х) ~х и )у) цу, то р(х, у)=р(х, у). Поэтому установленное взаимно однозначное соответствие между Ха и Х' есть изометрия.
Легко видеть, что Х' всюду плотно в Х, т. е. что для любого числа е ) 0 и любого элемента х ~ Х найдется элемент х,~- Х' такой, что р(х, х,) ~( е. В самом деле, пусть х есть класс, содержащий сходящуюся в себе последовательность )хп хз, ..., х„, ...). Возьмем такое а, чтобы р(х„х ) С е для лг.Р а. Построим стационарную последовательность )х„, х„, ..., х„, ...) и обозначим через х, класс, содержащий эту последовательность. Очевидно, х, Е Х'.
Далее, р (х. хе) = Вглр(хм, хв) ~е т и требуемое доказано. Покажем, что пополнение пространства Хз определяется однозначно с точностью до изометрии, т. е. что существует лишь одно, с точностью до изометрни, полное пространство Х, которое содержит всюду плотное подмножество, изометричное Хз. В самом деле, пусть У в другое полное пространство, в котором Ха лежит всюду плотно. Тогда каждая точка у ~ У есть предел некоторой последовательности )хп хм ..., х„, ...)<=Хе. Так как эта последовательность сходится в себе, то она определяет некоторый элемент х ~ Х. Этот элемент х ставим в соответствие элементу у.
Пусть, обратно, дан элемент $ ц Х и )ЗР Ем ..., ~„, ...) — некоторая фундаментальная последовательность из класса Е. Так как эта фундаментальная последовательность лежит в полном пространстве У, то она определяет некоторый элемент т( ~ У. Этот элемент ставим в соответствие элементу Е. Таким обра- 9 3! ПОПОЛНЕНИЕ МЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРЛНСТВ 39 зом, мы получаем соответствие между элементами пространств Х и у, причем это соответствие, очевидно, взаимно однозначно. Так как, кроме того, р (х, $) =!! ш р (х„, $„) = р (у, т!) *), и то соответствие изометрнчно, и требуемое доказано.
Примеры 1. Возьмем пространство 1, состоящее из всевозможных упорядоченных систем (а1, сз, ..., га, О, О, О, ...), где Е! — любые вещественные числа, Ф1 — любое натуральное число. Если х = (Ц1, Св ..., Са, 0...,1, У = (Ч1, 1)в .. „1)ь, О, ...) и а,',в Ао то полагаем Р(х, у)=(Х(С1 — Ч1(Р+ ~ (Чг!Р Х1=1 1=а,.г! ! — подпространство 1 н притом неполное, так как, например Р последовательность . - ' "=М~ ' "=1' -' — '1"- сходится в себе: 1 л-1 ! '(Р р(х„, х ) = у — -ьО при т, и-+сю, и< и, 2гд ) ! т но в пространстве 1 не имеет предела.
Обозначим пополнение пространства 1 через Х. Так кая, с другой стороны, очевидно, что ! лежит всюду плотно в полном пространстве 1Р, то Х изометрично 1р. Таиим образом пополнение пространства 1 приводит к пространству, изометричному 1Р. 2. Пусть С,(0, (] — пространство многочленов, определенных на отрезке [О, !). Пусть в этом пространстве введена чебышевская метрика р (р, и) = шах ! р (!) — р (1) !. ') Легко проверить, что если в метрическом проСтранстве х,-ь х и у„-ь у, то и р (х„, у„) -яр (х, у), МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1гл. ! Пространство Се [О, Ц, очевидно, не полно. Так как Се [О, Ц лежит всюду плотно в полном пространстве С [О, Ц, то пополнение пространства С,[О, Ц приводит к пространству, изометричному С [О, Ц.
3. Пусть Е [О, Ц вЂ” совокупность всех непрерывных функций, определенных на отрезке [О, Ц, с метрикой 1 / ! р (х, у) = ~ / [х (!) — у (г) [Р йг о й [О, Ц вЂ” неполное пространство, так как последовательность не- Р прерывных функций, сходящихся в среднем со степенью р к разрывной функции, есть последовательность, фундаментальная в Е [О. Ц, но не имеющая в атом пространстве предела. Пополная Е [О, Ц, мы получим пространство, нзометричное Ер[О, Ц.
ф О. Теоремы о полных пространствах Имеет место следующая теорема, являющаяся аналогом леммы Кантора о стягивающейся системе отрезков: Т е о р е м а 1. Пусть дана в полном мвт ричвском пространстве Х последовательность замкнутых шаров, в'ложенных друг в друга (т. е. таких, что каждый последующий шар содержится внутри предыдущего), радиусы которых стремятся к нулю. Тогда существует одна и только одна точка, принадлежащая всем втим шарам.
Пусть рассматриваемые шары будут о(а1, е,), 8(аг, ег), ..., 3(а„, е„), ... По условию теоремы о1:зйг=з ... =18„з... (Я„=Я(а„, е„)). Рассмотрим последовательность центров этих шаров ао а,,..., а„,... Так как 5„+ 1= ою то а„ьр ~ 8(а„, е„). Поэтому р(а„„р, а„) ~(е„. Следовательно, р (а„+, а„) -ь О ай ТЕОРЕМЫ О ПОЛНЪ|Х ПРОСТРАНСТВАХ а1 прн п-«оо, т. е. последовательность центров шаров сходится в себе. Так как пространство Х полное, то эта последовательность сходится к некоторому пределу а ~ Х. Возьмем любой шар 8» (Ь вЂ” фиксированное число). Тогда а„, аььн .... а», „, ...
принадлежит этому шару. В силу замкнутости шаров З» предел а последовательности аь, а»ь„ ..., аь~л, ... также принадлежит о»; таким образом, а=!Нпа„ л принадлежит всем шарам. Допустим, что существует точка Ь, принадлежащая всем шарам и отличная от точки а, так что р(а, Ь)=Ь > О.
Так как точки а и ЬЕУю п=!. 2, ..., то мы должны иметь Ь=р(а, Ь) 4 р(а, а„)+р(а,, Ь) <2е„, что, однако, невозможно, так как е„— «О при п — «оо. Замечание. Можно несколько обобщить доказанную теорему. Назовем диаметром ограниченного множества Р метрического пространства число д(Р)= зцр р(х, у). «,ЕЕР Теорема 1'. Пусть дана в полном метрическом пространстве Х последовательность замкнутых множеств, вложенных друг в друга, диаметры которых стремятся к нулю. Тогда существует одна и только одна точка. принадлежащая всем этим множествам. Доказательство, по существу, то же, что и для теоремы 1.
Как известно, свойство числовой прямой, устанавливаемое леммой Кантора, можно принять за определение полноты или непрерывности множества вещественных чисел или числовой прямой. Аналогично теорема о вложенных шарах характеризует полноту метрического пространства. Теорема 2. Если в метрическом пространстве Х любая последовательность вложенных друг в друга МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1гл.
г аамкнутых шаров, диаметры которых ст ремятся кнулю,имеет непустое пересечение, топространстеоХ полное. Пусть дана фундаментальная последовательность (х„). Выберем п„таким образом, чтобы 1 р1хл РР хр ) ( 1 для любого р > О. Пусть 8» — замкнутый шар радиуса — „ с центром в точке х„. Имеем У»~, с= У». В самом деле, "»' если х~_#_»+Р то р(х, х„ ) ( р(х, х„ )+р(х„ , х„ ) ( 1 1 1 ( — + — = —, 2» 2» т. е. х~У». Радиусы шаров 5» стремятся к нулю. Следовательно, по предположению существует точка хр, принадлежащая всем шарам О».
Покажем, что точка хр является пределом последовательности 1х„). Подпоследовательность (х»~) сходится к хр, так как х„„, хр ~3» н, следовательно, 1 Р1х„», хр) ( 2» 1 -+О. Но тогда и вся последовательность 1х„] сходится к х, потому что р(хю хр) (р(х„, х„)+р(х„, х ), н оба слагаемых можно сделать сколь угодно малыми, еслп выбрать и. и» достаточно большими. Теорема доказана. Множество М называется множеством 1-П категории, если оно может быть представлено в виде суммы не более чем счетного числа нигде не плотных множеств.
Множество, не являющееся множеством 1-й категории, называется мноекестеом 2-й категории. Например, множество рациональных точек прямой, очевидно, есть множество 1.й категории; множество всех иррациональных точек — множество 2-й категории, что легко вытекает из следующей теоремы. ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИИ Теорема 3. Полное пространство есть множество 2-й категории. Предположим противное и допустим, что полное про- ОЭ странство Х = О М„, где М„, и = 1, 2, ..., нигде не и=! плотны. Возьмем шар 5 (а, 1) с центром в произвольной точке а и радиусом, равным единице. Так как М, нигде не плотно, то внутри шара Ь'(а, 1) найдется шар 3(а!, г,) 1 радиуса г, ( —, не содержащий точек множества М,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
