1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Следовательно, Л1+ 2.2 о= 1'., где Š— некоторый класс смежности. Если у — любой элемент этого класса, то, взяв элемент вида х,+ хо, входящий в Е (это возможно, ибо А=211+ 122, будем иметь у — (х, + ххт = хо ~ Ео, откуда у = Х1 + Хх+ Хо —— Х1+ Х2, где х, ~ЕЙ хо~ Ц. Поэтому Е ~ Е1+ Ео. Следовательно, Е1+ ~2 Аналогично доказывается, что т.ь — совокупность элементов вида Лх, где х~ Ь и 21 ~ О, есть тоже класс смежности. Далее по определению полагаем, что О Е = — со для любого Е ~ Е(Е„. Легко проверить, что Е21-о удовлетворяет всем аксиомам линейного пространства. При этом роль нуля пространства ЕГ'т.о играет Ео.
Заметим, что если Л Е Егьа содержит Π— нулевой элемент пространства Е, — то Е совпадает с (ю, так как в этом случае любой элемент х (' -Е имеет вид х=О+ха=ходьб Верно и обратное утверждение. Пространство Е(то называется факторпрострапстао.а пространства Е по (ю. П р и м е р. Рассмотрим в С [О, Ц линейное многообразие Ср 1 всех непрерывных функций, обращающихся в нуль при 2' бб линвйнып ноРмивовлнныс пностнл[сствл [Гл.
ы Соответствующее факторпространство изоморфно вещественной прямой. В самом деле, пусть х([) и у (Г) принадлежат одному классу смежности относительно Сь Это значит, что х [ — ) — у ~ — ) = О 12) 12) или х[ — ) =у[ — ). Таким образом, в класс смежности объеди- '12) 12)" 1 няются функции, имеющие в точке г'= — одинаковое значение. 2 Взяв в каждом классе смежности по представителю х(Г) = сопя[, мы получили взаимно однозначное соответствие между множе- ством констант и множеством классов смежности. Легко видеть, что зто соответствие- нзоморфизм.
Можно доказать, что если пространство Е = Е, сс[ Ею то Е[Е[ изоморфно Ею Связь вещественных и комплексных пространств. Для комплексных чисел, кроме алгебраических операций, основ- ной является также операция сопряжения: а+И= а — И. Естественно рассматривать комплексное пространство, на котором определена аналогичная операция — инволюция. Инеолюцией называется операция, определенная для всех элементов х, у, х.... линейного комплексного простран- ства Е, относящая им элементы х.
у, г, ... из Е, причем 1) х+ у = х + у. 2) Хх = Хх (), — комплексный множитель), 3) (х) = х=х ч). Элементы х ~ Е, для которых х = х, называются веще- ственными. Элементы х~Е, для которых х= — х, назы- ваются чисто мнимыми. Очевидно, что если х — веще- ственный, то [х — чисто мнимый элемент, и если у — чисто 1 мнимый, то —. у — вещественный элемент.
Таким образом, 1 совокупность чисто мнимых элементов у совпадает с сово- купностью элементов вида [х. где х — вещественный элемент. Всякий элемент х ~ Е представляется однозначно в виде х = и+ Ы, где и и и — вещественные элементы. ') Если в Е определено понятие сходнмостн последовательности элементов, то вводится дополнительное требование: 4) из х„ ь х следует хл -ьх. ЛИНЕИНЫЕ ПРОСТРАНСТВА $ Н Х+Х Х вЂ” Х В самом деле.
положим и = —,. о= 2 ' 21 Тогда х= и+Ш, причем й = 2 (х+ х) = 2 (х+ х) = — 2 (х+ х) = и 1 — 1 — = 1 о = — —. (х — х) = — — (х — х) = — (х — х) = о, 2м 21 28 т. е. и и о — вещественные элементы. Представление элемента х~Е в виде х =и+ то одноаначно, т. е. если х= и+то=1+18, (3) то и =г, о=а. В самом деле, из (3) следует, что и — 1=1(8 — о), где и, о, т, 8 — вещественные элементы.
далее и — г=й — 8=и — г, г'(8 — о) =7(й — и) = — г(8 — о), Поэтому и — г' = — 1(8 — о), т. е, г (8 — о) = — г (8 — о), и, значит, Отсюда следует, что и — 8= 0 и и = г. Тем самым мы доказали, что пространство Е есть прямая сумма двух вещественных линейных пространств. Поэтому во многих задачах исследование комплексных пространств сводится к рассмотрению вещественных пространэтв.
Заметим, что и-мерное комплексное пространство есть 2н-мерное вещественное пространство. В дальнейшем, если говорится о линейных пространствах без специальных оговорок, то имеются в виду вещественные линейные пространства. ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. П ф 2. Линейные нормированные пространства Определения. Если линейное пространство является в то же время метрическим пространством, то оно называется линейным метричесним пространством. Важным классом линейных метрических пространств являются про- странства типа В (Банаха).
Множество Е называется линейным нормированным про- странством, если: 1. Š— линейное пространство с умножением на веще- ственные [комплексные) числа. 2. Каждому элементу х линейного пространства Е ста- вится в соответствие вещественное число, которое назы- вается нормой этого элемента и обозначается [[х[(, причем предполагается, что норма элемента удовлетворяет слелую- щим условиям [аксиомам нормы): 1) 11х)()~0, причем 11х11=0, лишь если х= 0, 2) 1[х+ у[1 (/)х [[+[[у[[, 3) 1[Лх[[= ~Л1[[х[1. В линейном нормированном пространстве можно ввести метрику посредством равенства р(х, у)=[[х — у[~, Легко проверить, что введенное расстояние удовлетворяет всем аксиомам метрики. После введения метрики определяется сходимость последовательности элементов [х„) к х, а именно х=!!ах е или хв-~х.
если 11х„— х11-ь0 при и-» ОО. Определенная таким образом сходимость в линейном нормированном пространстве называется сходимостзю по норме. Если линейное нормированное пространство является полным в смысле сходимости по норме, то оно называется пространствомм Валаха, или пространством типа В. П р н и е р ы. 1. и-мерное векторное пространство может быть сделано пространством типа В.
В самом деле, определяя, как обычно, сумму элементов и произведение элемента на число н норму с помощью равенства » 1[х[1= ~,'Р Е[ [ 1 с 11 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА бй получим, что Ел есть пространство типа В, причем метрика в атом пространстве совпадает с ранее введенной в Е„ метрикой. 2. С [О, 1] есть пространство типа В. Сложение функций и умножение функции на вещес1венное число определяем обычным образом.
Лалее, полагаем 11 х]] = шак ] х (г) 1. Метрика полученного пространства совпадает с метрикой, ранее введенной в С [О, 1]. 3. 1р есть пространство типа В. В самом деле, определив сложение злементов и умножение злемента на вещественное число, как указано выше (стр. 58), и полагая 1 1] х]] = ~а ] $1 ] 'А1=1 получим пространство типа В,метрика которого совпадает с прежней метрикой. 4. Ар [О, 1] есть пространство типа В. Здесь для х(Г) ~бр[0, 1] положим 1 / 1 1]х]1=( / ]х(Г) ] г(Г) е Метрика в полученном пространстве совпадает с прежней метрикой В ЕР [О 1] 5.
т — йространство типа В. Лействительно, полагая для х = [я1), 1]х]1 =зир]сг], получим пространство типа В, метрика в котором совпадает с метрикой в т, введенной ранее. б. М [О, 1] — пространство типа В. Лля ограниченной измеримой на [О, 1) функции х (Г) полагаем 1]х]1 тга1 шак]х(Г)]. 7. Рассмотрим пространство функции х(Г), определенных на [О, 1), непрерывных на атом отрезке и имеющих на нем непрерывные производные до й-го порядка включительно. Введем в пространстве таких функций норму, полагая ]]х11 = шах [шак] х(Г)], шах]х'(Г)], ..., шах]х(~1(Г)]]. ! Получим пространство типа В, которое обозначается Сь [О, 1]. Это пространство широко используется в вариационном исчислении. Отметим, что пз соотношений ]](х, + у„) — (х+ у)]] (]]х„— х(]+ )]у„— у]], ]])с.хл — й ]] «])']]]».
— х]]+ ]) — Ч]]х]] уо линейные нопмивовлииые пвоствлнствл ~гл. и следует, что при х„-ьх, у„— >у, Х„-ьХ имеем х„+ у„-ь х+ у, Х„х„— ь Хх. Лалее, ~!х~~ = ',~у+(х — у)~! < (~у!~+ ~(х — у1~, ((х(( — ((у(( < йх — у(~. или Меняя местами х и у, получим ((у(~ — ()хй <(~х — у(~ и, следовательно, ~ ~~х'й' — ~~у~!) < ~~х — у((. называется прямой, определяемой данным элементом х, а множество элементов вида у=(1 — ~)х,+~хг лп хзЕЕ 0 <~~1 П называется олгрезком, соединяющим точки х, и хт. Множество К пространства Е называется аынуклылг, если отрезок, соединяющий две любые точки множества К, целиком содержится в этом множестве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
