1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 12

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 12)

Пусть Л( — некоторое множество точек линейного пространства Е. Множество элементов вида х+а, где хЕ л( и а — фиксированный элемент пространства Е, называется Отсюда следует, что если х„— > х, то ()х,~~ -ь )(х((, и, в частности, что ((~х„(~1 есть ограниченная числовая последовательность. Так как линейное нормированное пространство есть метрическое пространство, то для такого пространства имеют смысл все понятия, введенные в метрических пространствах (шар, ограниченное множество, сепарабельность и т. д.), а также имеют место все теоремы. доказанные для таких пространств.

Для пространств типа В будет справедливым все, что было ранее установлено для полных метрических пространств. Множество элементов линейного пространства Е, имеющих вид у=1х, хЕЕ, х+ О, — со<1<+со аз! линниныв новмиповлнныв пвостглнствл 7! сдвигом множества М и обозначается М+ а. Нетрудно проверить, что если К вЂ” выпуклое множество, то его сдвиг— также выпуклое множество. Легко видеть, что в линейном нормированном пространстве шар (аамкнутый шар) есть выпуклое множество.

В самом деле, пусть хи ха~8(а, г), т. е. (!х,— а!! <г, !!хз — а)~ <г. Возьмем любой элемент вида у=(1 — Г)х,+гх,, О<7< 1, имеем !! у — а,'! = !!(1 — г) х, + !ха — а !! = = ()( ! — г) х, + Гхз — (1 — Г) а — Га ~~ ~< < ~!(! — Г)(х,— а)/(+ /!г(хз — а)!! = = (1 — ГЦх, — а ~(+ г!!хз — а(! < < (1 — г) г + Г = г. Итак, !!у — а!! < г.

Следовательно, ус 5(а, г). Отметим два очевидных свойства шара в банаховом пространстве: для любой точки х Ф О шар с центром в начале координат и радиусом г ) ))х!! содержит эту точку, а шар с центром в начале координат и радиусом г'< ((х)~ не содержит данной точки. Так как линейное нормированное пространство Е есть частный случай линейного пространства, то для Е имеют смысл все понятия, введенные в линейных пространствах. как, например, линейная зависимость и независимость элементов, линейное многообразие, разложение Е в прямую сумму и т.

д. Пусть Š— линейное многообразие линейного нормированного пространства Е. Если Ь является, кроме того, замкнутым множеством, то Е называют подпространстзом. Если А — конечномерное линейное многообразие линейного нормированного пространства, то, как мы увилим ниже, Х = Е, Для бесконечномерных линейных многообразий это равенство может не иметь места. 72 ЛННВИНЫВ НОРЬЬИРОВАННЫВ ПРОСТРАНСТВА !ГЛ. !! Пусть, например, Е = С [О, ! [ и Š— линейное многообразие, порождаемое элементами х,=1, х, =г, ..., х„=г", ... Тогда Š— множество всех многочленов, а Х=С [О, 1[+ В.

Пусть даны два линейных нормированных пространства Е! и Е. Мы будем в дальнейшем называть эти пространства изоморфныльи, если существует взаимно однозначное и взаимно непрерывное изоморфное отображение Е, на Ег. Имеет место следующая важная теорема: Теорема. Все конечно.яерные линейные нормированные пространства данного числа измерений и изоморфны евклидову п-мерному пространству Е„и, следовательно, изоморфны друг другу. Пусть Е есть и-мерное линейное нормированное пространство и хп хг, ..., х„— базис этого пространства.

Тогда любой элемент х ~ Е однозначно представим в виде х=~ьхь+!э х,+ ... +й„х„. Поставим элементу х ~ Е в соответствие элемент й! $г ° ' ~.[ЕЕ Очевидно, что таким образом установленное соответствие между элементами х и х является взаимно однозначным. Кроме того. Вто соответствие есть изоморфизм линейных пространств Е и Е„. Покажем, что оно взаимно непрерывно. Для любого х ЕЕ имеем и и [[х![ = ~, $ьхь ( ~ [$ь [)[хь[[ ( ь=! ь=! В частности, (2) [[х — у)[ (р)[х — у~[, где [) не зависит от х и у.

Установим теперь неравенство противоположного знака. 2 21 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА тз На поверхности 8 единичного шара .~~ Я=1 простран1=1 ства Е„рассмотрим функцию У(Х) =Г'(;-1, Ег,..., ~„)=йХ(~='й$1Х1+АХ«+ ... +$«Х,(~. Так как на 8 все 21 не могут одновременно обращаться в нуль, то в силу линейной независимости хп х,, .... х„ имеем У(ьп $2, ..., ~.)>О. Неравенство 1У(21 22 "Ь) — У(2)1 2)2 . ' Чл)! =!~~Х!| — ~~уЦ( ()(х — у~! (Цх — у,'~ показывает, что г'($1, сг, ..., А„) — непрерывная функция. По теореме Вейерштрасса эта функция достигает на О своего минимума а.

Легко видеть, что а ) О. Следовательно. для х~8 г (х) = ~! х,'! ) а, откуда для л1обого х~Е„находим л г 21х1 Г л 1=1 ~Р 22 «=1 у(х) = )(х)~ = 'йх(! )~а'ах!~. (3) Из (1) и (3) следует взаимная непрерывность отображения Е на Е„. Из гомеоморфизма Е и Е„следует, что в конечномерном банаховом пространстве сходимость по норме сводится к покоордпнатной сходимости и потому такое пространство всегда полное. Лля подпространства линейного нормированного пространства имеет место следующее важное предложение, установленное Ф.

Риссом: Лемма. Пусть Š— надпространство линейного нор««прогонного пространства Е, не совпадаюа«ее с Е. Тогда для любого заданного е ) О найдется в Е такой 74 ЛННЕИНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1ГЛ. и влемент у с нормой, ровной единице, что ))х — у~~ > 1 — е дли всех хай. В самом деле, пусть уо — любой элемент из Е, не принадлежащий /., и й = 1п! )! уо — х )!. кое Тогда й>0. так как иначе уо был бы предельным элементом для /.

и, следовательно, входил бы в /., что невозможно по условию. Для любого числа е > 0 найдется такой элемент хо~/., что й~(((уо — хоП ( й+йе. Положим уе — хо Пу.— хо! Элемент уЯ/. (Так как иначе уо входил бы в /) и ((у)! =1. Возьмем любой элемент х из Е.

Пусть С= хо+ !1уо — хо!!» Тогда !Ь вЂ” х!1=~) "-" — х~~=„" !1уо — П> 1 е > ~!уо — Ц > =1 — — > 1 — е. и+ ие и+не 1+е что и требовалось доказать. Пусть Š— линейное нормированное пространство, его подпространство, Е/Ео — соответствующее факторпространство. Е//е допускает следующее нормирование: ((Ц =!и! ()х)! ксе для всякого Е~Е//о.

Покажем, что ((Ц удовлетворяет всем аксиомам нормы. !. Очевидно )(Ц)~0. Покажем, что Пе(! =0 тогда и только тогда, когда Е=/ . Сначала заметим, что Е есть вамкнУтое множество. В самом деле, пУсть 1хеД вЂ” последовательность элементов из /., сходящаяся к х ~Е. Для любых а и т хе — х Ебе. При т — «со х — х -ьх — х. н ш е эи линзиные ноимивовлнныв пэостэлнствл 75 Так как Ее замкнуто, то х„— х Е Ее, Но тогда х входит вместе с х„в Е. Пусть теперь !!Ц =!п1 !!х!! =О.

Тогда в Е существует последовательность !х„! такая, что !!х„)!-ьО, т. е. х«-ьО. Вследствие замкнутости Е должно содержать и 0; но тогда Е=Е. То, что !!Еэ!! =О, очевидно. и первая аксиома полностью доказана. 2, Пусть е > О. Из определения величины (!Е1!! и )!Е,!! следует существование элементов х, ~ Е, и ха ~ Ее таких, что !!» !! <!!Е !!+ 2 !! 3!! ( !!Ез!! + и ' Отсюда (!х,+ ха!! (!!х,!!+ !!ха!! ((!ЕД+ !!Еа!!+е. Тем более !п1 !!х!! < Ы !!х,+ха|! (!!Е,!(+ !!Ее!!+е. «ел,+с, «,гс„«,ее, нли !!Е + Е !! < !!Е !!+ !!Е !!+ . Учитывая произвольность величины е. отсюда получаем !! Е, + Еа !! ( !! Е, !! + !! Еа !! . 3. !!ЕЕ!! = !Х! !!Е)!. В самом деле, при Л+ 0 !!ХЕ!! = 1пг !!Ех!! = )Х! !пав !(х!! = !Х! !(Е!!.

«еа ««« Если же ь = О, то для любого Е !!ЛЕ!! = !!Ее!! =О= !Л! !!Е!!. н третья аксиома нормы полностью доказана. Установим в заключение, что сходимость по введенной в пространстве Е/Ее норме последовательности классов !Е„) к классу Е эквивалентна условию, что существует послеловательность элементов !х„), х„ Е Е„ такая. что х„-ьх,х ~Е. Пусть !!ń— Ц- О. тв ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА ~ГЛ. Н то есть (~ń— Е~~ =ел, ел-»О. Тогда ń— Е содержит элемент ул — х такой, что у, 6 ~.л, х Е С. и ((у„— х(~ < 2ел.

При этом в качестве х можно взять любой фиксированный (не зависящий от и) элемент хо~С. В самом деле, если ()у„— х)~ <2е„, где у,ЕЕ„, х~ 7., то ~Ну„— х+ хо) — хо!~ < 2ел, и так как хо~ 1, х~ь, то хо — х~Е~ и х„= ул — х+хобЕ ° Итак, лля элемента хо~Е построена последовательность (х„), х„~Е„, такая, что х„-»хо. Пусть, обратно, существует последовательность ~хл), х„ЕЕ„, такая.

что х„»х. хай. Так как ()ń— Ц = 1п$ 'йу„— у,'~ < 'ах„— х((, тлесл' ГСС ()ń— Е)! — »О и утверждение доказано. Теперь нетрудно показать, что если Š— полное пространство, то Е(т о также полно. Пусть (Е„! — сходящаяся в себе последовательность классов пространства Е(1„,. Выбирая в каждом классе Е„по элементу хл, так чтобы !! х, — х !! < 2 !1 ~„— Е ~1, получим сходящуюся в себе последовательность (хл) элементов из Е. Так как Š— полное пространство, то существует элемент х ~ Е такой. что хл-» х. Но тогда Е,- А, где Ь вЂ” класс, содержащий элемент х, и полнота пространства Е(1„доказана. Э 3! ЛИНЕПНЫВ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНС! ВА 77 Наконец.

Характеристики

Список файлов книги