1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 13
Текст из файла (страница 13)
отметим, что если Еи Ет, ..., Е,— линейные нормированные пространства и Š— прямая сумма этих пространств. то Е также можно сделать нормированным. Например, положим для х=1х!. хэ, ..., х„1 ()х(~ = ~~х!й+ (~ха(~-+ ... + ((х„)~. Можно также доказать. что если Е=Е!Р~Ез, то линейные нормированные пространства Е, и Е)Еа изоморфны. Ряды элементов банахова пространства.
Пусть х,, хэ, ..., х„, ... — элементы банахова пространства Е. Выражение вида ~ х„назовем рядом, составленным из элемеми=! тов пространства Е. Рассмотрим частичные суммы е„= =х,+ха+ ... +х„. Если последовательность частичных сумм сходится, то ряд ~ х, называется сходящимся.
д=! В силу полноты пространства Е для сходимостн последовательности 1ад] достаточно. чтобы она была фундаментальной. Отсюда в свою очередь вытекает следующее достаточное условие сходимости ряда: пусть )~х„~~.( а„ и числовой О ОЪ ряд ~~'~ а„сходится; тогда ряд ~ х„также сходится. Докал ! д=! зательство с очевидностью следует из неравенства ~!е„~д — е,~~ = 1!х„~, + ...
+ х„~~~~ ( а„, +... + а„ В 3. Линейные топологические пространства Линейное нормированное пространство, некоторые свойства которого были указаны выше, является частным случаем линейного метрического пространства. В свою очередь линейное метрическое пространство является одним нз видов более общего линейного топологического пространства. Линейные топологические пространства нашли в последние голы широкое применение в различных вопросах функционального анализа, теории дифференциальных уравнений н некоторых других рззделах математики.
Мы коснемся здесь лишь простейших понятий, относящихся к линейным топодогнческнм пространствам. Более подробное изложение свойств этих пространств имеется, например, в [121 э). *) Си. также монографию Н. Бурбаки, Тонологические векторные пространства, Москва, 1959.
78 ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫВ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. 11 Множество Х (х, у, х, ...] называется лппвйпмм гпопологичвским просгпрапспгвом, если выполнены слелующие четыре аксиомы; 1. Х вЂ” гпопологичвгков пространство, т. е. в Х выделена система У подмножеств, которые называются открытыми н удовлетворяют таким условиям: 1) пустое множество и все пространство — открытые множества; 2) объединение любого множества открытых множеств есть открытое множество; 3) пересечение конечного числа открытых множеств есть открытое множество. Любое открытое множество, содержащее точку х~Х, называется окрестностью втой точки.
Точка х множествв Мс:Х называется внутренней точкой этого множества, если она входит в него вместе с некоторой окрестностью У(х). Ясно, что каждая точка открытого множества 0 — внУтРеннЯЯ: в атом слУчае за У(х) можно взнтть напРимеР, само множество О. Верно и обратное: если каждая точка множества М является внутренней, то множество М вЂ” открытое. Это следует из равенства М Ц У(х), У(х) г: М лба[ и свойства 2 открытых множеств. В.
Х вЂ” отделимое топологическое пространство; это означает, что для любых двух точек х и у пространства Х найдется окрестность точки х, не содержащая точки у. С помощью понятия окрестности вводится обычным образом понятие предельной точки множества: именно точка а ~Х называется предельной глоткой множества М ~ Х, если любая окрестность точки а содержит хотя бы одну точку множества М, отличную от точки а. Совокупность всех предельных точек множества'М называется производным множеством этого множества и обозначается М'.
Множество М = М О М' называется замыканием множества М. Множество М называется замкнутым, если оио совпадает со своим замыканием. Можно показать, что замыкание и замкнутые множества в топологическом пространстве обладают многими свойствами замыкания и замкнутых множеств на числовой прямой, например: дополнение открытого множества есть замкнутое множество, имеют место свойства 1 — 4 замыкания, указанные на стр.
18, конечное множество замкнуто и т. д. В топологическом пространстве можно также ввести понятие ПРЕДЕЛа ПОСЛЕДОВатЕЛЬНОСтн ТОЧЕК Хо Хг, . „А„, ... ИМЕННО, тОЧКа Х есть предел втой последовательности, если любая окрестность точки х содержит все точки последовательности, начиная с некоторого номера. Легко показать, что предел таким обрезом определяется однозначно. Ш. Х вЂ” вещественное линейное пространство (рассматриваются также компаексные пространства, но мы этого случая касаться не будем). а з) пгоотвдиотвл 79 !Н.
Операции сложения элементов и умножения элемента на вещественное число непрерывны в топологии пространства х. Это означает следующее; 1) для любых двух элементов х и у ~Х и любой окрестности (У(х+ у) элемента х+у найдутся окрестности (7(х), (7(у) элементов х и у такие, что и(х)+и(у) с(г(х+у) (символом А+В, где А и  — множества линейного пространства Х, обозначается множество элементов из К вида а+ Ь, а~А, ЬЕВ); 2) для любого вещественного числа Л, любого элемента х~Х н любой окрестности йг элемента Лх найдется число Ь ) 0 и окрестность У элемента х такие, что аУ с %' для любых а, удовлетворяющих неравенству !а — Л)<Ь (символ аУ обозначает множество точек вида ау, где у~У).
Пусть х, — фиксированный элемент линейного топологического пространства и 6 — открытое множество. Тогда ха+Π— также открытое множество. Возьмем любую точку у~х,+О, у=х +х, х~~О. Отсюда у — хоЕО. Так как 6 — открытое множество, то оно является окрестностью точки у — хз и в силу непрерывности сложения существуют ок- рестности У (у) и )У ( — х,) точек у и хз соответственно такие, что У (у) + йт ( — х,) с ст (у — х,) О, В частности, У(у)+( — з) =О, т.
е. У (у) с О + х,. Таким образом, каждая точка множества х +О входит в него вместе с некоторой окрестностью, т. е. ха+О открыто. Аналогично доказывается, что множество ЛО открыто для любого вещественного числа Л и любого открытого множества О. Из доказанного следует, что если (Г(х) есть окрестность точки х линейного топологического пространства Х, то О (х) — х есть окрестность нуля пространства Х. Обратно, если У (О) есть окрестность нуля пространства Х, то У (О) + х есть окрестность точки х гого же пространства.
Поэтому для того, чтобы задать совокупность всех окрестностей всех точек линейного пространства, т. е. 80 линейные нОРмиРОВАнные пРОстРАнстВА (гл. 1! совокупность всех его открытых множеств, определяющих топологию пространства, достаточно задать совокупность всех окрестностей нуяя. Множество А линейного пространства Х называется симметрическим, есяи из хСА следует — хЕА. Если У есть окрестность нуля яинейного топологического пространства Х, то очевидно, что -УПУ также будет окрестностью нуля и притом симметрической.
Наконец, заметим, что для задания топологии пространства иет необходимости задавать все окрестности нуяя. Достаточно задать такую систему окрестностей нуля, называемую фундаментах«иой или базисом, что для любой окрестности нуля У найдется окрестность нуля 1' фундаментальной системы, целиком входящая в У. Вообще, если мы имеем две системы 5 и 5 окрестностей пространства Х, то зги системы называются эквивалентными, если для любой окрестности У Е 5 найдется окрестность У С 5 такая, что Ус:.У, н, обратно, для любой окрестности У~5 найдется окрестность У~5 такая, что У с: У. Ясно, что две эквивалентные системы окрестностей порождают в пространстве Х одну и ту же топологию. П р и м е р ы.
1. Пусть Х вЂ” совокупность вещественных функций, заданных на прямой — со < г <+со, бесконечно дифференцируемых на ней и обращающихся в нуль вне некоторого конечного отрезка «). Сумма функций и произведение функции на число определяются обычным образом. За окрестности нуля принимаются следующие множества: для любого е > О и любого и окрестность нуяя У(л, я) есть совокупность функций х (Г) ГХ таких, что !х1л! (с)) < е для А=О, 1, 2, ..., и. читатель легко проверит выполнимость всех аксиом линейного топологического пространства.
2. Линейное нормированное пространство является линейным топологическим пространством. Окрестностями нуля являются любые открытые(в смысле метрики, опредеяяемой нормой) множества, соде жащне точку нуль. озникает вопрос, в каких случаях линейное топологическое пространство можно нормировать, т. е. ввести в него норму так, чтобы совокупность окрестностей нуля получившегося линейного нормированного пространства совпадала с совокупностью окрестностей нуля, ранее имевшейся в линейном топологическом пространстве. Ответ на втот вопрос дает весьма важная теорема А. Н. Колмогорова. Множество А линейного топологического пространства называется ограниченным, если для любой окрестности нуля У (О) найдется число )г > О такое, что множество АА попадет целиком в «) Для каждой функции этот отрезок свой.
ЛИНЕЙНЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 81 о 3! рассматриваемую окрестность нуля. Ограниченность множества А равносильна условию: Для любой последовательности (х„] ~ А и любой последовательности вещественных чисел (Л„), сходящейся к нулю, Лпх» -> О. Доказательство этого утверждения мы опускаем. Из него, в частности, следует, что если А ограничено, то — А также ограничено. Теорема (А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
