1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 17
Текст из файла (страница 17)
у)~ О. функция 'рл(х У)= / ~ юа(» У' бь Ч)'РЙ Ч)дьбйЧ называется средней функцией от функции !р(х, у), Нетрудно проверить, что интеграл, определяющий функцию !р„(х, у), равномерно сходится во всей плоскости. В самом деле, если гсб — круг радиусами с центром в какой- либо точке плоскости, то, полагая ч= р р — 1' получим ! 1! ..(*. м !, ию!!. й~!~п~< яб ! <(~~ ~ф(З. Ч)~'дайЧ1' ~~~юа( у; яб / !,яб ! ~( ~ ~ ~<р(з, Ч)~ ЩдЧ ~ ~ ю (х. у, !, о / !.яб ! -!~ь,(!"!" .!., м ь ч'~ич)', !, яб ! $.
Ч)'д$дЧ '< ! $. Ч) дадЧ а последний интегРал в силУ огРаниченности сел(х, У; з, Ч) можно сделать сколь угодно малым при достаточно малом Ь срззу для всех положений точки Р (х, у) на плоскости. 100 линейные нОРмиРОВАнные пРООТРАнстВА !Гл.
!т Лналогично показывается равномерная сходимость интегралов при любых 1 и (, +)я=1. Отсюда следует, что !рь(х, у) есть бесконечно непрерывно дифференцируемая функция. Заметим также, что если !!р„(х, у)) принадлежат ограниченному множеству пространства 1р(0), то. как показывают прелыдушне оценки, средние фуйкнии !ф (х У)!А — ХГЫА(» У а П)~Р.(а П)бей) к„ булут равномерно ограничены и равностепенно непрерывны. )(окажем лве леммы о средних функциях.. Л е м м а 1, Дли любой функции !р(х, у) Е (р(0) и нри лк!бом Ь > 0 !! фи !!А„( !! 'р !!с,. Запишем <р„(х, у) в виле ! <р„(х.
у)= ! ~ ыя(х, у; $. т))р!р($. т))етр(х, у; $, !))" бай!) ° к„ Применяя к интегралу неравенство Гельдера, булем иметь ( = —.-' ) ! Р! . »! <() )" .! . р ! !!!р!! ч!!жМ1Х (,к„ ! (хх""' '"1'- ~к„ ! =!) ) !! . ж: !. ч!р!!, п!ри!о)г, '!,к„ ововшвнныв пгонзводныв )б) так как ~ ~ е1„(х, у; С, т~)с$~(г) равен единице. Возвышая «л обе части неравенства в степень р и интегрируя по О. найдем р ( у) ! ~у < о <)(~)(~( . ~; ь я~<6, чглап~~ о.
Так как вне К» функция гел(х, у; $, Ч) равна нулю, а вне О функция ~рЯ, и) равна нулю, мы можем область интегрирования во внутреннем интеграле принять равной О, после чего в силу теоремы Фубини переменить порядок интегрирования. Будем иметь / )~р„(х, у))я с~хг(у < <)(~юе ч)~ ) (%(*. у: ь е~ юу)<$шл< о а <а~фа ч)~ Ц(%(" у' ~ чш иу)ч<. о ( К/3 Внутренний интеграл снова равен единице и, следовательно, ~ ~ р (х.
у) ~я пх ау < ~ ~ ~ р д, т)) ~я а~ ап, откуда и вытекает требуемое неравенство. Замечание. Пусть О' — подобласть области О. Тогда ~ / 1ц„(х, у))лс~хИу < ~ / ~~р(х. у)~я г(х г(у+а(д), а а' где а(л) — «О при д-+О. если граница области 0» достаточно гладкая.
102 ЛИНЕЙНЫЯ НОРМИРОВАННЫЯ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. Ы В самом деле, как и при доказательстве леммы, находим 1 1 ~ рл (х у)! йх йу < а* <) ~~~~,~, и и, пппа пИ'пП<п~п пп. о' к„ Пусть 0'„— совокупность точек области 0 ~ О*, отстоящих от границы области 0' на расстоянии, не превышающем Ь. Тогда ~ ~ ~ р„~х, у) ) йх йу .и, о <Ц( Ц и* и ь пчпа, египт)< о< о о Пал < ~) ~па, аГ(Ц .( и Ь чп пп)пПпп= а'По'„ кл = ~~ ~ ра )И'йЬйп=~~йа. чи'йЬйц+ а*и о„' о' +Ц~ а. )НР а ал Учитывая достаточную гладкость границы области 0'. можно показать, что вез 0л-ьО при )г-РО. Тогда в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега будем иметь а(И)= ( ~ ~~рЯ.
Ч)~яйяйа) — «О а» при й-ьО. Лемма 2. Для любой функции у(х, у)~ СР(0) ири й -+ О р прл — пр ОА -э О. ововшенныв пгоизводныв Пусть сперва ю(х, у) непрерывна в области О и, следовательно, равномерно непрерывна в любой ее замкнутой подобласти. Имеем для любой подобласти 0'~0 ~ ~ ~ <р» — <р (л а~х г(у = о ) ! Ф» — Ф !» с(х Фу + ~ 1 ! ~р» — <р !' г(х пу. о;о По неравенству Минковского и учитывая предыдущее заме- чание, будем иметь 1 )(~ь — ~~ '.о<(())~~,~ ~.о) чо;о ( ~о;о 1 Р +( / /!<р1ллхс~у~л <2л / ~ !ар~'Ихс(у+у(д), (2) ~а~а / о;о где у(»)-ьО при й-ьб. Пусть задано произвольное число е > О.
Выберем сперва О' так, чтобы 2 ~ / ~Ф(х. у)~ охи< 4 о,о Фиксировав 0', возьмем ле такое, что при л < ле Тогда С другой стороны, взяв третью область О", О'сО"сО. такую. что 0'г=О", 0"г=О, и полагая л < ле настолько малым, что 0 () О» не выходит за пределы области О". будем 104 лннеиные нОРмиРОВАнные пРОстРАнстВА 1гл. н иметь !ч!., ! —.!., р~=/(К .!..; !, ч).а,. е .— А — / / ыь(х, У; $, т1)!Р(х, У) с(сл1т) < К, < / / !ф(ье й) — гг(х У)!гвв(х У; В. 11)г(ЕЕ!(!) < ~(гпах!!р(в, !)) — !р(х, у)! < 6 (2 я!еа 6)Р в силу равномерной непрерывности функции !р(», у) в области 6", если )! <'Ле достаточно мало.
Отсюда / !фь(» у) — !р(х У)! пхну < 2 ° (4) о Из (3) и (4) следует / /!!р„(х, у) — ф(х, у)!дхагу <е". И так как е ) 0 произвольно, то для случая непрерывной функции !р(х, у) лемма доказана. Если теперь !р(», у) — произвольная функция из Ь (сг), то найдем сперва такую непрерывную в 0 функцию ф что !! — Ф!!.„< 3. Тогда !! ф — фь !!с < !! ф — ф !!Вр+ !! ф — фи !!Ер + +!!фл 'рь!!Ар <!!ф — фп!!Гр+ З е так как в силу леммы 1 также !!!рь — и'„!!с < —.; .
Далее по уже доказанному мы можем выбрать Ь настолько малым, что прк 11 < Ь !Ф-$1А!!< -'. ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ Тогда для таких Сс будем иметь 1) ф — рл!1,, < е, и лемма полностью доказана. Локажем теперь эквивалентность двух определений обобщенной производной. Пусть ф» ас(х, у) — обобщенная производная сре(х, у) в смысле первого определения. Поэтому найдется последовательность (ср«(х, у)] непрерывно дифференцируемых до С-го порядка функций такая, что ~) ср„— ср~)с -«О н ! дсср« — срп сд(х, у)~~ -«О при н-«сх».
дхс ссу ср Переходя к пределу в равенстве / р.( у) дхС' дуС' а' с " Г дсср =( — ()'/ /,т", р(х, у)ахи. а где ф (х, у) — любая с раз непрерывно дифференцируемая функция, обращающаяся в нуль на границе области О, мы получим, что дс»р р сре (х, у),, стх сту = дхс' дус' а =( — !) / /ср" .ав(х, у)ф(х, у)лсхлсу«), о и сре' ' '(х, у) есть обобщенная производная ср (х, у) в смысле второго определения.
") Из неравенства Гельлера легко следует, что 1 а„(х, у) р(х, у) ах ну-» ~ / в«(х, у) р(х, у) стх с)у, а а если ССа«(х, У) — о«(х, у)й -с 0 н Р(Х, У) — любав ограниченная Ср измеримая функция (или если ()(х, у)~р.е(6)). 106 ЛИНЕйНЛЯЕ НОРМИРОВАННЫВ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. Ы Пусть ', = )((х, у) есть обобщенная производдьро(х, у) дхА дуь ная функции фе(х, у) в смысле второго определения.
Рассмотрим средние функции фе»(х, у). Имеем д~я,,л(х, у) / /' д~е»(х, У' Ь Ч) дхл дуа .У, У дхл дуа К, =( — 1) ~ ~ ",;, ',,' фз(Ь Ч) %~»(Ч (б) «» Фиксируем произвольную подобласть О' области О такую, что 0'~0, и пусть й настолько мало, что круг радиуса ц с центром в точках области О' остается внутри области О. Тогда юл(х, У; $, Ч) можно пРинЯть за фУнкцию ф(х, У).
фигурирующую во втором определении обобщенной производной, и равенство (6) для точек (х, у)~0» можно переписать в виде ~юл(х У' В Ч)Х(В Ч)папЧ (6) «» По лемме 2 из равенства (6) следует, что ' -х(. у) дх' дуг при в-+О для любой полобласти 0', лежащей строго внутри области О. Для того чтобы перейти к самой области О, необходимы более сложные рассуждения [29]. Не уменьшая общности. можно считать. что начало координат лежит внутри О. Обозначим через Ол области. полученные иа 0 преобразованием подобия относительно начала с коэффициентом — й= 2, 3, Формулы преобразования координат будут х= — х, у= — у, а — 1 ' а — 1 1от ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ $ б! и легко видеть. что каждой функции /(х, у) ~Ар(О) будет соответствовать функция Л (х, у)=У(:х.:, у) Е1 (Оа) и наоборот.
Пусть функция ф(х, у)Еьр(0) имеет обобщенную производную 1-го порядка в смысле второго определения )((х, у)Еьр(0). Тогда, замечая, что для любой! раз непрерывно дифференцируемой функции ф(х, у) имеем д~ф ( а ~~ дакар(х', У') дхч дул 1я — 1/ дхл'ду'и из равенства о =( — 1)' / ~ )((х, у)ф(х. у) с(ха~у а заменой переменнык получаем о„ =( — 1) ~ ~ Ха(х', у')фа(х', у')дх'Фу', о откуда следует.
что фа(х, у) имеет обобщенную производ- ную ~:~ Ха(х, у) в смысле второго определения. Покажем. что в 0 при л-ь ОО функции ф (х, у) скодятся д'ф„ (х, у) в среднем к ф (х. у), а функции ~" ' у сходятся в среддхй дуй д~ф нем к дхл дуй В самом деле, / / ~ф(х, у) — фа(х. у)1рс(хну= о = / Д ф (х, у) — р ~х — —, у — а ) ~ йх ду.
о 108 линеиные ИОРьгмРОЕАнные простРАнствл 1гл..11 и стремление к нулю интеграла в правой части равеисхза есть не что иное, как непрерывность в среднем функции хр (х. У) ~ А» (О). Далее 1 (//') д'хХ. хх хь~хх. хХ(' о 1 — ) ( / (хх*, хх — ( — ', ') х,х, хх('х*хх)' < о ! <[' — (, ))(1 ~(х( — х. х — 1)( х хх) о ! л.(/ Г(хх* хх-х( - х, х-т)( х хх) . 1 о Снова второе слагаемое справа стремится к нулю в силу непрерывности в среднем функции )((х, у) *). Что касаетсл первого слагаемого, то множитель )1 — 11 ) 1-+О, а ин) тегралы. вкодяшие в это слагаемое, ограничены в совокупности, так как являются нормами сходяшейся в среднем последовательности функпий [)( (х, у) ). Так как при каждом фиксированном й 0<=0ю то по доказанному выше в 0 при Ь вЂ” ь О д1хр» „ (А у) дххр» (А, у) 1Ра А(х У) ~'РА(х У) '1, 1 дхх' ду1' дх" ду" С другой стороны, как только что показано, в 0 при й -+ оо дхо» (х, у) 1ра(х, у) — х хр(х, у),, -ьт(х, у).
Отсюда легко видеть, что найдется последовательность [1р „(х, у)) 1 раз непрерывно дифференцируемык фуккпий, сходяшаяся в среднем в области 0 к хр(х, у), производные ') Схь Дополнение 1. ововшгнныв пгоизвонныв 1-го порядка которой сходятся к Х(х, у). т. е. Х(х. у) будет обобщенной производной в смысле первого определения. Из второго определения обобщенной производной можно получить: а) если с с аХ(х У)= а . то де(» у) ээф(», у) д»а дуй а»а ау' юг+ай(», у) Х(х у)= б) обобщенная произволная не зависит от порядка дифференцирования.
э) операция обобщенного дифференцирования является дьштрибутивной операцией. Можно также доказать, что для обобщенных производных верна формула дифференцирования произведения. Формулы С. Л. Соболева. Существование обобщенной производной не вытекает из существования производной почти всюду в обычном смысле. Это'показывает следующий пример (С.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
