1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Теорема 1. Для того чтобы аддитиены0 и однородныа оператор Л был непрерывен, нсобходимо и достаточно, чтобы ои был ограничен. Необходимость. Пусть г1 — непрерывный оператор. Допустим, что он не ограничен. Тогда найдется последовательность элементов !хсс! такая, что !)Ах,(! ) и !(х„!(, Построим элементы хл л1х !' фл -+ О, так как (~х„)! = — — РО при и — ьоо. 1 1 С лругой стороны, !! А сл )! = — „„!~ Ах„!! ) 1.

Значит, А$л та АО = О. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ (гл. Н! Поэтому оператор А не непрерывен в нулевой точке, что противоречит предположению. Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть адаптивный оператор А ограничен, т. е. !!Ах!! ( М ~!х!!. Пусть хл — «х, т. е. )~х„— х~! — «О; тогда и ЕАхл Ах'е = 'еА (хл )я ( М ехл х'з -«О' т. е. Ахл — «Ах; следовательно, А непрерывен. Докажем теперь одну лемму, которая иногда оказывается полезной.

Л е м и а. Пусть дан линейный (не обязательно ограниченный) оиератор А, отображающий банахово пространство Е„в банахово пространство Е„. Обозначим через Ел множество тех Х~Е . для которых !) Ах 11 ( и () х (( . Тогда Е =ЦЕю л 1 и по крайней мере одно из множеств Ел всюду плотно. Прежде всего каждое из множеств Ел не пусто, так как, например, О ~ Ел для любого и; кроме того, очевидно, что всякий х ~ Е . х чь О, попадает в одно из множеств Е„; для этого лостаточно взять в качестве и наименьшее пелое число, превосходящее т-. Поэтому можно написать ) Ах)1 'ь' х ~~ л=~ Ввиду того, что полное пространство Е„не может быть счетной суммой нигде не плотных множеств(теорема 3 стр. 43), по крайней мере одно из множеств Ет не является нигде не плотным.

Следовательно, существует шар 8(хь, г). в котором 8(хь, г) ПЕ«л всюду плотно. Рассмотрим шар Я(хо г,), лежащий пеликоль внутри 8(хь, г) и такой, что Х,~Е . Возьмем любой злемент х а а] ОпеРАтОРы В нОРмиРОВАнных пРОстРАнстБАк ~3Т с нормой (( х (] = г,. Элемент х, + х Е 5 (х!, г,), ибо !)(х! + х) — х]!] = г,. Так как 8(хп г!)с=Я„, то найлется последовательность элементов ]г„) из 8(хо г,) ПЕ„, такая, что аа-ьх, -]-х при л — ьсо (эта последовательность может быть стационарной, если х, + х ~ Е,„).

Имеем, следовательно. х„ = аа — х, — ь х. При этом можем считать, что 2 ибо хе — ьх и ]!Х)! =г,; кроме того, ]]х ]((гн Так как ад и х, с ЕВР то ))Ах„)! = ((Аг — Ах!)) (()Ага,'(+ )(Ах!)(( ( ле(]! г„~) + ]~ х,]]). Далее ]! ае)! = ]!(ХА+ Х! !] ~]! Ха]] + ]] Х! (! ( Г]+ ]! )Х!]]. Поэтому !' АХА1(~4ле(г!+ 2]!х!]() ~( ' (!Х„~(. 2ао (г, + 2 ]] х, ]] ) г! Обозначим через и наименьшее пелое число, превосходящее 2л,(г, + 2йх, й) г, Тогда ]] Ах„)( ( л]; х )), откуда слелует, что все ха ~ Е„. Итак, любой элемент х с нормой, равной г,. можно аппроксимировать элементами из Е„.

Пусть теперь х — любой элеиент из Е„. Рассмотрим элемент х ~=г— имеем !!о показанному найдется послеловательность (фа) <=Е„. сходяшаяся к В. 1ЗВ !гл. Рп ЛНПЬЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Тогда [[ х!! г [[Ах [[ = — [[А",А[[( — н[[эь[[ =н[[х„[[. Отсюда следует, что х„ЕЕ . Итак, Е„всюду плотно в Е, и лемма доказана. Если в произвольном баиаховом пространстве линейный оператор может быть не непрерывным, то в конечномерном пространстве всякий линейный оператор непрерывен. В самом деле, пусть ен ..., е„— базис в Е и, следовательно, любой элемент х этого пространства имеет внд х=~~.",$,е1.

В силу гомеоморфнзма любого и-мерного бана- ! 1 хоза пространства евклидову и-мерному пространству, если ха =,'У[ $1~" е1 -ь х = Х $1е1. ы) 1=! 1=! то $1~ 1-ь$1, 8=1, ..., и. Но тогда Аха — — ~ $)~!Ае1-ь ~ 51Ае! — — Ах, 1 1 1=1 и требуемое доказано. Норма оператора. Пусть А — линейный ограниченный оператор. Наименьшая из постоянных 111, удовлетворяющих условию [[Ах[[ (М[[х[[ (а такие постоянные существуют в силу ограниченности А), называется нормой оператора А и обозначается [[А[[.

Таким обравом, по определению число [[А[[ обладает двумя следующими свойствами: а) для любого хЕЕ [! А х [[ ( [[ А [[ [[ х [[; $ 3! ОпеРАтОРы В ИОРмиРОВАнных пРОстРАнстВАх $39 б) для любого е > О найдется такой элемент х,. что 'ВАХе)! ) (((А!! — Е)ЗХе!!. Покажем, что ~~,А!) = Впр ~)Ах(~, Пк!!с! или, что все равно, (!А(! =Вор (2) (2') В самом деле, если (!х1!~~(1, то ~)Аха ЯА(/!~х!~ ((!А(~. значит и знр ~) Ах (~ ()) А ~~. йкпк! (3) е йх~)' Тогда ~)Афе~~ = ~(Ахе!~ ) — ЦА(~ — е)()хе!1 = !~А(! — е. ()хе(~ !!хД Так как ~)З,(~ =-1, то знр 3Ах)!)~~(Атее)()~!!!(А)~ — е. нкп~! Следовательно, зпр ~)Ах)!)~~(Аа. !!к !!к, 1 (4) Из (3) и (4) следует (2).

Найдем для примера норму интегрального оператора с непрерывным ядром 1 «)=Х (').() ' о С другой стороны, для любого е) О суп1ествует элемент хе такой, что !!Ахе!~ > ЯА!! — )!1хд. Возьмем линеиные опевлтояы 1гл. н~ рассматривая его как оператор, отображающий С [О, 1[ в С[0, 1[. Полагая ! Ах = / К (Е, г) х (г) нг, е будем иметь 1 4ке и ~+ [о 1 1 ~( шах ~ ! К (С г) ! сЕг шах ! х (г) ! = гпах ~ ! К (т, г) [,щ х [!. е 3 а Следовательно ! [[А!! ( гпах ~ [К(т, г) [йг. (5) о 1 Так как ~ [К(С г)[с(г — непрерывная функпия, то она о достигает максимума в некоторой точке (е отрезка [О, 1[. Положим го(г) = а[кп К(со г). Пусть х„(г) — непрерывная функпия такая, что[х„(г)[«(1 и х„(г)= хе(г) всюду, кроме множества Сл меры, меньшей ! —.

где 2Мл ' Я = шах ! К (с. г) !. с 5 На множестве Е„всюду [хе(г) хе(г) ! «(2 Имеем ! ! 1 ! ГК(, ) .() — УК(..) .() .1: е о ! < / [К(с. )[!». (г) — ле(~)[с(~= о 1 ! [ ! К (С г) ! ! х„(г) — ля (г) ! ~(г ~< 2 шах ! К (С г) ! ч—— ,1„— — — „° д сю к Это неравенство справедливо для любого 1~[0, 1[. 4 21 ОПЕРАТОРЫ В НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 141 Имеем, следовательно, для всех 1 ~ [О, 1[ 1 1 ~ К(Е з) аз(а) г(з ~( / К(1, з) х„(з) г(з+ — „Я[А ~[[[х„[[+ —. Полагая в этом неравенстве Г = Ге, получим ~ [К(Го, а) [ с(з ~([~А[,[[х„~[+ о Так как [[ха[[~( 1, то предыдущее неравенство в пределе при л — Рсо дает 1 [!К(1 з)[' <[[А![ т.

е. гпах ~ [К(1. Х) [г(а ~([(А[[. ч (6) Из (5) и (6) получаем 1 [( А [[ = шах ~ [ К (Г, а) [ 1(г. о [[Ах[[.4 М[,'х~[ для всех х~Л. Наименьшая иа таких постоянных называется "ормой оператора А на линейном многообразии Е и обозначается ч) [[ А[[с ) В соответствии с этим норму оператора на всем пространстве мы булем иногда обозначать [[ А 1[в Пусть в линейном нормированном пространстве Е задано линейное многообразие 1.. Это линейное многообразие можно рассматривать как самостоятельное линейное пространство, может быть неполное.

Предположим, что на Ь определен аддитивный оператор А со значениями в некотором линейном нормированном пространстве Е„. Оператор А называется ограниченным на Ь, если существует постоянная М такая, что 142 ЛИНЕПНЫЕ ОПЕРАТОРЫ !Гл. !ы Теорема 2. Линейный ограниченный оператор Ае, заданный на линейном многообразии Е, всюду плотном в линейном нормированном пространстве Е, со значениями в полном линейном нормированном йространстве Е», может быть продолжен на все пространство без увеличения нормы. Иными словами, на пространстве Е„можно определить оператор А такой, что Ах =Аох для х ЕЕ )(А))е = )~Ае,')с Пусть х — элемент пространства Е», не принадлежащий Л.

Так как Е всюду плотно в Е, то найдется последователь- ность (х„) ~Е такая, что ))х„— х)) — РО при и — ь со, и, значит, ))х„— х )) -РО при и, т-ьоо. Но тогда )) Аех„— А,х )( = () Аз(х„— х Ц ()(Аз))с)) х„— х () -ь О пРи и, т -ь ОО, т. е. последователыюсть (Аьх„) схолитсЯ в себе, а следовательно, в силу полноты Е», и к некоторому пределу. Этот предел обозначим через Ах. Пусть (Е„) ~Е— другая последователыюсть, сходящаяся к х.

Имеем, очевидно. ((х„— ~„)) — ь О, откуда )) Азх„— АД»)) -ь О. Следовательно, АД„-ь Ах. Это означает, что оператор А определен на элементах Е однозначно. Если х ~ Е, берем х„ = х для всех и, и тогда Ах = йщ Аохь = Аох. ь Построенный оператор А аддитивен, так как А(х!+хД=1!щА (х!!!+х!г)= и =! !Ип Аьх!„!-)-1!Пп Авх!„' = Ах, + А ха, и ограничен, так как из неравенства ()Аох„)) ~4(( 4о!)с()х„)( ЛИНЕИНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ переходом к пределу получаем !! Ах !! ~~ !! Ао !! с !! х !!.

Из этого же неравенства следует, что !! А!!е„(!!Ао!!с. Так как при продолжении оператора норма, очевидно, не может уменьшиться, то !!А!!е„= !!Ао!!с. и теорема полностью доказана. Укаэанный процесс распространения оператора называется продолжением (или расширением) оператора по.непрерывности. ф 3. Линейные функционалы Если значениями оператора являются вещественные числа, то, как сказано ранее, оператор называется фунггцггоналом. Функционал у (х), определенный в линейном топологическом пространстве, называется линейным, если 1) ~(х,+х )=у'(х,)+у (хг), 2) У(х„)-ь с (х), когда х„— ь х в смысле сходимости в линейном пространстве Е. Так как множество гс' вещественных чисел есть пространство типа В, то для линейных функционалов сохраняются все определения и теоремы, проведенные выше для линейных непрерывных операторов.

Т е о р е м а 1'. Аддитивный функционал /(х), определенный на линейном пространстве Е и непрерывный в одной точке этого пространства, непрерывен всюду на Е и, следовательно, линеен. Теорема 2'. Линейный функционал однороден. Теорема 3'. Для того чтобы аддитивный функционал, определенный на линейном нормированном пространстве Е, был линеен, необходимо и достаточно, чтобы он был ограничен: !у'(х)! ц, М!!х!!. Наименьшая из постоянных М, удовлетворяющих этому неравенству, называется нормой функционала и лиипиныв опвиаторы [гл.

Иэ обозначается 1[у [1. Итак, [у'(х)( ЯД [[х[[. Наконец, зир ) у(х)), и»[[;1 нли, что все равно, [[ г [[ = впр кто Примеры. 1. Пусть Е= бр(0, 1), тогда 1 у(х) = ~ х(Г) и о есть линейный функционал. В самом деле, то, что у(х) имеет смысл для любого хцЬр[0, 1), вытекает из неравенства Гельдера 1 1 1 1 ') ([ о то о Из етого же неравенства вытекаег ограниченность у(х); адаптивность у (х) очевилна. 2.

Характеристики

Список файлов книги