1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 20
Текст из файла (страница 20)
АВ+ ВА. Пример. Пусть Е= С(0, 1). Рассмотрим операторы 1 у(Г) = / Гах(а) ез Ах и у(г) Гх(Г)= Вх. а 128 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1гл. Ен Имеем ЛВх= ~ гввх(е) Лв Г ~ в'х(в) ав, е О ! ! ВЛх = Г ~ Гвх (в) ав = Гт ~ вх (в) ав. Таким образом, ЛВ + ВА. Весьма важным является понятие обратного оператора. Согласно общему определению обратного элемента кольца линейный непрерывный оператор В называется левым обратным для линейного оператора А, если ВА =У.
Точно так же линейный непрерывный оператор С называется правым обратным для оператора А, если АС=!'. Если оператор А имеет левый обратный В и правый обратный С, то они равны, так как В = В (АС) = (ВА) С = С, В этом случае говорят, что оператор А имеет обратный оператор, который обозначают А .
Таким образом, если А ' существует, то АА =А А=!'. К понятию обратного оператора мы вернемся снова несколько позже. Функция оператора. Оперггор А" =АА... А в раз представляет собой простейший пример функции от оператора. Эта функция от оператора есть частный случай более обшей функции, а именно многочлена от оператора р„(А) =аз!'+а!А+ааА'+ ... +а„А". Определение функций от оператора г" (А). более сложных, чем многочлены, может быть осуществлено различными способами.
Пусть, например, Е есть л-мерное евклидова пространство м Л вЂ” оператор, отображающий Е в себя, заданный симметрической магрицей йб Приведем матрицу т( к диагональному виду с помощыв ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ унитарного преобразования и! ияи '=л где Л, 0 0 ... 0 0 Л 0 ... 0 0 0 0 ... Л„ [/(Л,) 0 0 ... 0 (л [ 0 /(ЛП О... 0 1 0 0 0 .../(Л) /(я) и !/(А)и. Таким образом, каждой функции /(Г) вещественной переменной г, определенной на отрезке [т, М), ставится в соответствие функция от матрицы / (Я). Очевидно, что функции / (!) — 0 ставится в соответствие нулевая матрица, функции / (!) ~ 1 ставится в соответствие единичная матрица и функции/(!) гж — магри ца Я'". Далее, если /(!) =/ (!)+/ и), /(Я) =/!(Я)+/т(Я), то н если й(!) Л(!)/з(Г), то й(Я) Л(Я)/,(Я).
Эти равенства следуют из того, что для двух любых матриц В и С имеем и (В+ с! и-' = иви-'+ иси-', и и (вс) и-' - (иви-!) (иси-'), я из гого, что / (Л) /, (Л) + /а(Л), Р(Л) = /,(Л) /, (Л). Можно построить теорию функций от матриц и другим способом, переходя от многочленов от матриц к степенным рядам от матрицы. Однако таким путем можно определить лишь аналитические ' функции от матриц. Глубокие исследования в этом направлении были проведены А. И. Лаппо-Данилевским, который применил затем аналитические функции от матриц к изучению скстем дифференциальных уравнений [19[. Построенна жа функций от Пусть теперь /(г) — произвольная функция вещественной переменной Л определеннан на отрезке [т, М[, где т=*ю!пЛг, М юах Л!.
Полагаем 130 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ !ГЛ. П! матриц с помощью приведения матрицы к диагональному виду было обобщена на случай бесконечных матриц, а затем и на произвольные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве в спектральной теории этих операторов (см. б 5 гл. Ч!!). В кзчестве второго примера рассмотрим функции от опера- а( тора дифференцирования. Пусть Е С(0, 1] и аа= — — опера!!! тор дифференцирования, относящий непрерывно дифференцируемой функции х (!) производную втой функции 0х (!) = — х (!). аа а!! Для и-кратно непрерывно диффзренцируемык функций имеют смысл выражения а(, ОВ а(лх(!) р„(В) х(!) аах(!)+аа — + ° ° ° +аз д! где р„(з) — любой мпогочлеи и-й степени от аргумента г. Для иеогранйченно дифференцируемых функций имеет смысл выражение ~~Э а„О"х (!) лт3 а„ а а л а если только ряд, стоящий в правой части равенства, сходится и его сумма принадлежит С[0, Ц.
В частности, это будет иметь место, если х (!) есть многочлен степени иц так как тогда Рлх(Т) 0 для и > ш н ряд обращается в нонечную сумму. Миогочлены от оператора дифференцирования находят применение в теории линейных дифференциальных уравнений. Простейшвм из этих применений является так называемый символический метод решения уравнений с настоянными коэффициентами. более глубокие применения функций от оператора дифференцирования к линейным дифференциальным уравнениям — обыкновенным в в частных производных — содержатся в так называемом операционном исчислении (11).
Формальные операции с рядами и полученными с помощью рядов функциями от оператора дифференцирования широко применялись в первой половине Х!Х веки для получения некоторых формул в теории квадратур, интерполяции и т. д. Поясним сказанное примерами. Прежде всего заметим, что оператор Лава ЛаРа Илов ыз У+Л()+ — + — + ...
+ — + ... -л 2! 3! "' и! в применении к функции х (!), которую будем считать аналитической, дает х (Г + Л). В самоы деле, Ла Лл аапх (!) х (!) + Лх' (!) + — х' (!) + ... + — х!"! (!) + ... х (! + Л). лннвнные опв »тоны Производя формальное обращение степенного ряда, нзйдем Лп ЛР !п(У+Л„) ='«'( — П"-' ". а ' а=1 Мы получили формулу Грегори, выражающую оператор дифференцирования через оператор взятия разности. Рассмотрим далее оперзторы ех(!)= ~ х(1+т)нт и Вх(!) ) с!х(!+т!), л где ~я~~~ с! 1. Нетрудно убедиться в том, что операторы У и 8 !=1 можно представить как функции от оператора Р.
Именно о е=е! е с!ч = —, ! то е Р о Я=~~у с;е ' . Отсюда и то ч| Ре! е 5 l[т е Я!=/ / 2»с! о е — 1~ 1=1 Но еео' е* — 1 является производящей функцией для многочленов Бернулли: еео' м! е" — = у — В»(о). ее — 1 2»»! Поэтому, если мы обозначим через Ь» оператор взятия разности с шагом Л, Л»х(!) =х(!+Л) — х(!), то е х (!) х (с+ Л) = х (!) + Ь»х (!) (т+ Л») х (т) или I+Ь» =е»о. (гл, !ы ЛИН!.ЙПЬ1Е ОПЕРАТОРЫ Поэтому предыдущая формула примет вид л г со (и-! Вл с-в с(с — д'„'(Š— в,1„! ~2а а! л=е Ъ.
Ъ. Ов — У ~ с! о — Вл (т!) Лл ~~ л! ! 1 1 ибо ~~»', с!Вв (т!) = ~' с! 1. со! ! ! Так как 1 1(Г)лх (!)] / х(л! (Т+ т) стт х(а-'! (г+ 1) — х(л-'! (!), о то мы приходим к обобщенной формуле Эйлера-Маклорена: У ът х((+т) ест у с!х(г+т!)— о ! ! о Г л — ' Х "цв1"'" -Х~' ' а! Э! 11 В частности, при ! 0 получаем х (т) с(т о л со л = ч с,х(т!) — У ч' с, ' " [х(л-!)(1)-х!"-!)(О)), с=! Ло1, 1 Приведенный вывод формул Грегори и Эйлера — Маклорена может считаться обоснованным, если функция х (!), и которой прилагаются вти формулы, является многочленом. В этом случае бесконечные ряды превращаются в конечные суммы, и все формальные преобразования, проделанные нами, являются законными.
Для произвольных же неограниченно дифференцнруемых функций формулы Грегори и Эйлера — Маклорена нуждаются в дальнейшем обосновании, например, с помощью оценки остаточных членов. з и ОпеРАтОРы В нОРмиРОВАнных пРОстРАнствАх 133 5 2. Лмнейиые операторы в линейных нормированных пространствах Пусть Е и Е„ — линейные нормированные пространства. Так как линейное нормированное пространство есть частный случай линейного топологического пространства, то для линейных нормированных пространств сохраняется прежнее опрелеление линейного оператора, заданного на Е, с областью значений. расположенной в Е, а также остаются в силе теоремы 1 и 2. доказанные в предыдущем параграфе.
Отметим лишь, что так как сходимость в Е и Е„ есть сходимость по норме, то непрерывность оператора А означает, что )(Ах„— Ах(~ -+ 0 при ~)х„— х(~ — к О. Операторы, рассмотренные в примерах 1 и 2 3 1, являются линейными непрерывными операторамп, преобразующими саик в себя линейные нормированные пространства Е„и С[0, 1). Оператор примера 3 также является линейным непрерывным оператором, преобразующим линейное нормированное пространство непрерывных функций, заданных вдоль Г, в линейное нормированное пространство функций, гармонических в области О, если нормы в этих пространствах задать равенствами ()х~( =гпах ~х(г)~ и ~(и(~ =п1ах )иЯ, т1)!.
г о Приведем еще один пример линейного оператора. Рассмотрим бесконечную матрицу (аы), 1, й = 1, 2, такую, что ~ч~ ~ ~аг 1а ( со, а ) 1. Тогда система равенств Т4 = ~ч~~ аг ~А. 1 = 1, 2, А! с помощью которой каждому элементу х= ($,] ~1р ставится в соответствие у=1г),), определяет линейный непрерывный ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1гл. 1п оператор у = Ах, заданный на 1р, с областью значений, 1 1 расположенной в 1, где — +.— = 1. т.
е. А~(1 -Р1). я',р а ' ' ' р Покажем прежде всего, что, действительно, уЕ1, если х ~ 1„. Имеем (пользуясь неравенством Гельдера для сумм) л 1 ол 1ч 2!я 1Ч11я = Х 1 Х а1яя» ~( 1 1 Ф <Х Ха,~' 1~ .~' л л л» л = (1хае ~~'., ~~'.~ ~ац,'1Я (()хйе ~~'.~ ~Й 1а1„~е. Так как это неравенство верно для любого а, то можно ПЕрЕйтИ К ПрЕдЕЛу Прн Л -ь ОО. ТОГда ПОЛУЧИМ и, значит, у~1. Докажем теперь, что А — линейный непрерывный оператор. Пусть х,= ф') б1 и хя= (111'1~6 1; Тогда из равенства следует.
что А (х, + х ) = Ах, + Ах . т. е. алдитивность оператора А. Однородность этого опера- тора очевидна. Пусть теперь Х = (Цл11 И Ах„= у = (т~л>), $ г! ОпеРАтОРы В нОРмиРОВАнных пРОс1РАнстВАх 1Рб Имеем !!у. — у!1 = / о /оо со = Х~Чл! — Ч! ( ХХ1агг1 Х!$ — $г! 1! 11г 1 1о1 1 / со 1е = ~~ ~ ~ ага!е) ~!х„— х!!. 1о!г ! Отсюда !!у„-у!!- О при !)х„— х!! — ьО, и непрерывность оператора А доказана. Оператор А называется ограниченным, если существует такая постоянная М, что !!Ах(! «( М!)х)! для любого хЕЕл (здесь норма !! Ах!! берется в смысле метрики пространства Е„. в котором расположена область значений оператора А, а !!х)! берется в смысле метрики пространства Е,1 Согласно этому определению ограниченный оператор преобразует ограниченное множество элементов !х)1=Е„в ограниченное же множество элементов !Ах~ 1= Е,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
