1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Предположим, что система имеет решение, и запишем его в виде хо (г) = )7у, о) См. например [20). Тогда, очевидно. (/+ А ДА) А ' есть оператор, обРатный опеРатоРУ А(1+А 1ДА) — А «-ДА. Далее Ц(А+дА) ' — А 'Ц <ЦА ЦЦ(l-«-А дА) — УЦ < <Ч~~ Ц -1д ЦоЦ -1Ц ««А ~АА!! Ц -1Ц( 1 — ««А ~АА«« < ««АА«! ЦА- Цр 1 — ««А [ «! ЬА !! " ОБРАТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ где 77 — оператор, определеииый матрицей (гй), обратной к матрице вышеуказаииой линейной алгебраической системы.
Пусть г — норма оператора )т. Тогда если 1 ы( — ~ г' то в силу доказанной теоремы интегральное уравнение (7) с иеяырождеииым ядром имеет решение, и если х(Г) — зто решение, го гх(г) — хв(Г))~ г'. Если, наоборот, известно, что уравнение (7) разрешимо, то теорема может быть использована для доказательства существования решения у аппроксимирующего уравиеиия с вырожденным ядром и для оценки погрешности приближеииого решения. В заключение докажем следующую теорему: Теорема 4 (Ваиаха).
Если линейный ограниченный оператор А отображает все банахово пространство Е на все банахоео пространство Е„взаимно однозначно. то существует линейный ограниченный оператор А обратный оператору А, отображающий Е наЕ. Необходимо доказать лишь ограниченность оператора А В силу леммы Э 2 настоящей главы пространство Е„ может быть представлено в виде Е„=ЦУ,, »=1 где 㻠— совокупность таких элементов у ~ЕР, для которых 1 А у)~(й(~УЭ, и по крайней мере одно из множеств г» всюду плотно в Е„. Пусть это будет множество )',.
Возьием любой элемент у~Е„. Пусть Эуй' =1; найдем у, ~ )г„такой, что 2' 1 (Это можно сделать, так как Г(0. )) П )'„ всюду цлотпо в 8(0, 7) и уЕЗ(0. 7).) Найдем далее элемент узЕ ув ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ !ГЛ, 1и такой, что !!(У вЂ” Ю вЂ” Ы! < 2 ° Ь!1< —,; продолжая так далее, построим элементы у„~ уз такие, что Ь вЂ” !У!+У+ .+М~< —, Ь 1!< — „, . Таким образом, получим, что у! = 1! 1п ~ Л 1=1 Положим х„=А у„, тогда 11х„~!.4 л1!у„!! <— Послеловательность !гд), га=~1х1, при л-ьсо сходится 1=1 к некоторому пределу х Е Е„, ибо АЬР 11г ер — г„!! =~ Р х1!1< — „, !ьяе1 и Е» — полное пространство.
Следовательно. а х = 1нп хчт х, = ~~', хн А ~=1 1=1 Далее а а Ф Ах = А !Пп ~~'„~ х;) =1нп ~~ Ах! — — 1ип ~~'„у! — у. 'ь а 1=! а 1=-1 а Отсюда ~А 'У~= !!х!! = !Пп ~~ х1! <1пп «„()х!,'( < СО < т —,, = 2л1=2а1~у',(. л! 21 Так как у — любой элемент из Е, то ограниченность опе- ратора А доказана. % з! 101 ОБРАТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Мы указывали, что бывают случаи, когда оператор, обратный к ограниченному линейному оператору, оказывается хотя н линейным, но определенныи не на всем пространстве Е„, а лишь на некотором линейном многообразии, и неограйиченным на этом многообразии.
Точно так же операторы, обратные к неограниченному линейному оператору, определенному на некотором линейном многообразии, всюду плотном в Е, могут оказаться ограниченными линейными операторами, определенными на всем Е . Детальное рассмотрение подобных случаев в произвольном банаховои пространстве выходит за рамки настоящей книги, и мы ограничимся тем, что приведен два простых примера, подтверждающих сказанное.
Примеры. 1. Пусть Е С[0, 1] н ! Ах = ~ х (т) е т. о Тогда А — ограниченный линейный оператор, но А у= — у(1) л' л'1 — неограниченный оператор, определенный на линейном многообразии непрерывно дифференцнруемых функций таких, что у (0) = О. 2 Пусть Е= С [0, 1] н Ах = — 1 р (1) — г+ л (1) х ( г(х1 = л1'( лг 1' — неограниченный оператор Штурма — Лиувнлля, определенный на линейном многообразии дважды непрерывно дчфференцнруемых функций таких, что х(0) =х(1) =О. Ооратный оператор А 'у= ~ С(г,т)у(т)л'т, где б(1, т) — функция Грина, есть ограниченный линейный опера- тор, определенный на всем пространстве С [О, 1].
Операторы, зависящие от параметра. Часто в различных разделах математики встречаются уравнения вида Ах — Лх=у или (А — Л/)х=у, (9) ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1гл пг где А — линейный оператор и Л вЂ” некоторый парачетр. Наряду с уравнением (9) рассмотрим уравнение Ах — Лх =О или (А — Л») х =О, (1О) которое называется однородным уравнением, соответствующим уравнения». (9). Это уравнение всегда; имеет решение х =О, котораш иазывается л»риеиальным решением.
Допустим, что для некоторого Л оператор А,— Л»' имеет обратный (А — Л/) ' = 17л. Оператор»сь называется резольеентным олератором для уравнения'(9). Тогда для этого Л уравнение (1) имеет при любом у единственное решение х = »тлу. Однородное уравнение (2) имеет в атом случае только тривиальное решение х=О.
Такие вначения Л, при которых уравнение (9) имеет единственное решение при любом у, а оператор )сь ограничен, называются регулярными значениями для уравнения (9) или для оператора А. Если уравнение (10) прп данном Л имеет. кроме тривиального, некоторое другое решение.
то такое значение Л называется собственным значением (или характеристическим числом) для уравнения (9) илн оператора А, а нетривиальное решение называется собственным елементом уравнения (9) или оператора А, соответствующим данному собственному значению Л. Если Л вЂ” собственное вначение оператора А и уравнение (9) имеет решение при некотором у. то решение не будет единственно, так как если хо — решение уравнения. (9), Ахо — Лхо= у и с — собственный злемент оператора А, соответствующий собственному вначению Л, Ае — Ле=О. то А (хо+ е) — Л (хо+ е) = у, и хо+с также решение уравнения (9).
$ з! ОБРАТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Совокупность всех значений ),. не являющихся регулярными, называется саекигром оператора А. В частности, все собственные значения принадлежат спектру. Из теорем 2 и З следуют предложения: Если ), таково, что — (!А )! = у < 1, то оператор 1 !Х! А — Аг' имеет обратный; при этом ! (( А Аг ) Если ).— регулярное значение, то и ) +Л). при ) Л). ( < !!(А — ).1) '!! также есть регулярное значение. Отсюда следует, что совокупность регулярных значений есть открытое множество и, значит, спектр — замкнутое. Пример. Рассмотрим в пространстве С[0, 1) интегральное уравнение 1 х (г) = у (() + А ~ К (г, 5) х (5) кг, (И) о где К(б 5) — непрерывная в квадрате 0(б 5(1 функция.
Поло- 1 жим — = П и перепишем уравнение в том виде, в котором мы рас- Х смктривали выше операторное уравнение; получим 1 К (б 5) х (5) г(5 — !гх (г) ~ ру (1), о 1 или, обозначая Ах = ) К(б 5) х(5) яа, а Ах — (гх = — ру. Далее находим 1/ А Аг гг„= Р, = — — ~l+ — + — г-+ ...) — Х'(1+ ХА+!ггАг (-...). и и (г А Заметим, что АРх = ~ Кр (Г, 5) х (5) г(5, о ЛИ>!ГПИЫЕ ОПЕРАТОРЫ (гл. 1ц где К„(Е, а) — р-я итерация нара К (Е, з). Следовательно, имеем ЕЕ, а — Лг (Е) — Лэ ~ К (Е, з) л (з) йз — Лэб~ Кэ (Е, з) л (з) 11л— 0 Поэтому решением уравнения (11) будет 1 х (1) = ЕЕ1 ~ — — у) = л ). 1 1 у (Е) + Л ~ К (Е я) у (3) гтз + Лэ / Кэ (Е.
я) у (5) ~Ел + Таким образом, мы получили то же решение, что и в теории интегральных уравнений, именно: х(Е)-у(Е)+Л ~ ЕЕ(Е,К Л)у(л)яэ, е где ЕЕ(Е, з, Л) — резольвента ядра К(Е, з): ЕЕ(Е, з, Л) К(Е з)+ЛК,(Е, а) + ЛТКэ(Е, а)+ .. Уравнения для резольвенты ЕЕ(Е, а, Л), выводимые в теории интегральных уравнений, суть условия того, что Егг есть обратный Г справа и слева оператор для оператора ЛА — Е ф 6. Пространство Банаха с базисом Определения. Пусть Š— бесконечномерное пространство типа В. Последовательность элементов ео ет, .... е„, ... нз Е называется базисом этого пространства, если любой элемент х С Е однозначно представим в виде Х = ~Е'„ЕЕ, г 1 ПРОСТРАНСТВО ВАНАХА С ВЯЗИСОМ 165 где С! — вещественные числа.
Однозначность представления, очевидно, равносильна условию, что ~ $!е1=0 1=! тогда и только тогда, когда $1=0 для всех 1. Примеры. 1. Пусть Е=1,„тогда совокупность злементов е, (1, О, О, О, ...), е, = (О, 1, О, О, ...), ... образует базис в !р, так как для любого х~1р имеет место однозначное представлекйе х=- ~~ $!ег, ! 1 если х (с!, $1...„вм ...). В самом деле, ~', $~е, (Сь Сь ..., $ю О, О, ...), !=! и потому ! х — ~', С!е! =11(О, О, ..., О, $„„! $!!+т, ...)() !=! ! О как остаток сходяшегося ряда.
Следовательно, х !!ш ~ил~ а!ег= чч $!е1, и ! 1 Лалсе если то 'сг="с;, ! 1 и " что и требовалось доказать. (гл. Гн линейные оперяторы 2. Пусть Е = С(0, !!. Рассмотрим в С(0, 11 последовательность элементов 0 1 — 0 иы(Г), мм (Г), ин (Г), иы(Г), им (1), итт (~), ..., (1) где и (1), 1=1, 2, ..., 0~(1(2", определяется следующим обрат гы ! 1 1+1! аом: и (Г) = О, если т находится вне интервала И ! 2а ' 2а у 2 б 4 х Рис.
3. Рис. 4. а внутри этого интервала илг(Г) имеет график в виде равнобедренного треугольника с высотой, равной единице (на рис. з дан график функции иы (т) ). Всякая функции х(1) ~ С(0,1) представима в виде ряда о 2-1 а х (г) = а,Ф+ аь (1 — Ф) + ~ ~ч'.~~ ла!нлт я а=о г=о где ач=х(1), а, х(0), а коэффициенты ааг накодятся однозначно геометрическим построением, указанным на рис 4.
График частичной суммы ряда (2) г-1з -г л лс(+л1(1 — 1)+ ~ ~ лагнлг(1) а ег=е есть, очевидно, ломаная линия с 2л+1 вершинами, лежащими на кривой х = х (1) в точнак с равноотстоящими абсцнссами. Совокупность функций (1) образует базис в С[0, 1]. Если пространство Е имеет базис, то оно, очевидно, сепарабельно. Счетным всюду плотным множеством в простран- пгос«Рлнство БлнАхА с БАзисОм 167 стае с базисом будет множество линейных комбинаций вида ~ г,е, с рациональными коэффициентами гР Естественно 1 ! предположить, что всякое сепарабельное пространство типа В имеет базис. Однако. хотя для всех известных конкретных сепарабельных банаховых пространств базисы построены, существование базиса в произвольном сепарабельном пространстве типа В не доказано.
Итак, пусть Е = Е» — пространство типа В с базисом еи е,, ..., ел, ... Рассмотрим линейное пространство Е„, элементами которого являются всевозможные числовые последовательности у = («)1, «)а, ..., «„, ...) такие. что ряд с5 «))е( сходится. ! ! Введем в Ег норму, полагая ))у() = вцр ~ча «))е! Покажем, что  — пространство типа В. В самом деле, выполнение аксиом йормы проверяется без труда. Пусть теперь дана последовательность (У4~ ~ У»=(«)';"'(1 1 Я сходящаяся в себе. Тогда для заданного е) 0 имеем л Ь вЂ” у»~~ = апр 1 ~2"„(«)(1") — ч((и)) е( ( е для л«. й ) л)е(е).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
