1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Найдем норму функционала г" (х). Имеем и ~]д (1) — д(1 )] <]]У]] г ! 4 21 овщнп внд линииных эхнкционалов 185 откуда полное изменение ! )1[а[ ( [[Л. С другой стороны, из (4) ! ! ! [у(х)[ = [ х(1)!(д (1) ( юах [х(1)[ )/[д[ = )1 [н[[[х[[. (5) Отсюда [[у[[ <Ч [,[. Из (5) и (6) следует, что (6) ! [[Л =~ [к[ В силу линейности функционала г(х) будем иметь у(х)= ~ айаг" (е ). а=! ') Магам.
сб. 4 (46), !988. р Легко показать, что соответствие между линейными функционалами в С[0, 1[ и функциями с ограниченным изменением на [О, 1[, устанавливаемое формулой (4), взаимно однозначно, если считать тождественными две функции с ограниченным изменением,' отличающиеся во всех своих точках непрерывности на постоянное слагаемое. При замене в формуле (4) функции д(1) на р(1) неравенство (6) остается в силе, а неравенство (5) только усилится. Итак, равенство (7) сохраняется. А. А.
Марков' ) обобщил теорему Рисса, найдя общий вид линейных функционалов в пространстве С(К) непрерывных функциИ на некотором компакте К. Общий вип линейных функционалов в 1р. Пусть у(х) — линейный функционал, определенный на 1р. Так как элементы е„= (Ц"!), где г!ры=! и ',!."1=0 при 1+ й, образуют базис в 1р, то любой элемент х Е1р можно записать в виде х = 2'' ь е ° «=! 186 ЛИНЕЙНЫБ ФУНКЦИОНАЛЫ !ГЛ. 1Ч ОЬ ~(х)= ~ч.",с,д». А 1 (8) Выясним свойства чисел с„. Положим х„=(а1ач1). где если й <а, если й ) а. Число д здесь взято так, чтобы выполнялось равенство ! 1 — + — =!. Р т Тогда у(х„) = ~ !са!а. С другой стороны, 1 у'(х„) < ~Щ (~х„1~ = (Щ ~ !са~ а ' Р 1 = (щ ~ ~са!а Таким образом.
! ч / ч ~ )са!а и', !(д ~ ~~'.~~ !са~а) ° откуда 1 ~ !са!а < !щ. Это неравенство справедливо для любого а. Поэтому 1 1а <у~~ Итак, (са) Е! ° Положим у (е ) = с,. Тогда числа с„ однозначно определяются функпионалом у, и получаем $21 овщнп вид лингиных охнкционллов 187 Обратно, возьмем произвольную последовательность (й! Е1. Тогда !р(х) = ~~.", йЯ» а=! ! ! ~.у(и= х,ь,~<~1~,~') ~х~ы') = ! ~~'.~ 1с„1ч 11 х 11. Следовательно, ! 1Я ( ~1са1» Сравнивая (9) и (1О), ааключаем, что ! 11Д = ~~'„~ 1с„1е (1О) Следствие. Возьмем пространство 1, Общий внд линейного функционала, определенного на 1а, будет г'(х) = ~! с,Да.
а=! где ~ч'~ с~~ с. +со является линейным функционалом в пространстве 1„, В самом деле. адаптивность етого функционала очевидна, а ограниченность доказывается с помощью неравенства Гельдера. Таким образом, формула (8) дает общий еид линейных фуннйионалое е пространстве 1р. Вычислим норму функционала г". Из формулы (8) с помощью неравенства Гельдера получаем 188 линеиные Функиионллы В функциональном анализе, кроме пространства 1р, рассматривают еще врослгранство 1, злементами которого являются всевозможные последовательности чисел х= [$н $а..... $„, ...) такие, что ~!'.
! ( оо, а 1' причем Мол<но доказать, что всякий линейный функционал в пространстве 1 имеет вид У (х) = ~ саа». а 1 где 1с໠— огРаниченнаЯ последовательность вешественных чисел. Норма функционала / дается равенством )Щ = анр ~са!. Обший вид линейных функционалов в пространстве Ар 10, Ц. Рассмотрим произвольный линейный функционал/1х), заданный на Ар[0. 11 (р ) 1). Положим 1 для 0($(1, 0 для 1($ (1. и пусть и(1) = 1''1и Я)). Докажем. что и 11) — абсолютно непрерывная функция.
Пусть б,=(тн 1,), 1=1. 2, .... и — произвольная система неперекрывающихся интервалов, расположенных на отрезке 10. 1). Введем числа еп определенные как выше1см. стр. 183). Имеем [д' (г!) — й' (т,) [ = ~и е, [д (1!) — л (т!)[ = ~) е! [и, (з) — и, (з)~ ' ( )[у [[ ) е! [и! Я) — и, (' ))[ = /"- ! ! и Р =~[Л / „'~'„е.~,(;-)-и,,Ф1 "- '< о ! ! ! и !! ( [[у([ ~ г/- '= [[/'![ и!»за, ) !=! о, /=! Из полученного неравенствз следует абсолютная непрерывность функции д(().,Как абсолютно непрерывная функция, й'(() является интегралом Лебега от своей производной. Положим и' (г) = а (г).
Тогда д (~) — д(0) = [ а(т)г(т. о Но л' (О) = у [ио Я)[ = О, . (и= — 0 так как есть нулевой элемент пространсгва А„[0, 1[. Следовательно, ! и (() = [ а (т) Дт. о Пользуясь функцией и,(т), получим ! у [и,(т)[ = д (г) = [г а (т) г)т = [г и,(т) а (т) ут, о о и так как у — линейный функционал, то, полагая л г„(т) = ~~„с» [и» (т) — и» ! (т)]. »=1 [. о п з з! Озгцнп Внд линеЙных Функцнонллоэ (Вй 190 ЛИНЕйнЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 1ГЛ.
1У получим ~'(х„) = / ел(т)а(т)!1т. о Пусть х (~) — произвольная ограниченная измеримая функция. Тогда найдется такая последовательность ступенчатых функций (г (~)), что х (г) -« х (1) почти всюду при т-«со. При этом можно считать, что последовательность (г (С)) равномерно ограничена. По теореме Лебега об интегрировании ограниченной последовательности получаем 1 11п»у (х )=11п» ~ х„®а(Г)»~1= Ш п~ 1 1 = ~ йп х„я а®н= ~ х(г) а(г)Ю.
О о Так как. с другой стороны, ял(С) -«х (~) почти всюду и х„(8) равномерно ограничены, то 1 )(г — х(( = ~ (г (С) — х(1))Я»11~ ~-«О !о при и! — «ОО. Поэтому У(ЕФ)«Г (х) и, следовательно, 1 У(х) = ~ х(С)амИ. о Рассмотрим теперь функцию х„(г), определенную посред- ством равенства ( (а(1)1» з(дп а(1), если !~а(1)( (11, О, если )а(1)! .«и, % 11 ОБШИГ1 ВИД ЛИНЕЙНЫХ ФУНКЦИОНАЛОВ 191 где д — число, сопряженное с р, т. е. — + -- = 1. 1 1 Р Ч Функция х„(1) ограничена и измерима. Следовательно, у (х„) = ! х„(1) а (Г) 11'1 о 1 ..!= У.
!'1 о С другой стороны, 1 ! !1(хп)! =У(А„) = ~ х„(1) а (1) от = / !х„(т)! !а(г)! Д11 > о о 1 1 1 Ч > / !х, (т)!!х„(т)! г 'г(г'= !' !х„д! о е 1 = ~ !х Я!" 111. о Следовательно 1 1 / 1 / !х„(т) !и а11' < !!у!! !! х„!! = !!)'!! Ях„д!л 116 о о О геюда 1 < 1 ~ !х,(т)! ггт ~( !!у!! ° о 11о, очевидно, !х„(г)! -+ !а(1)! прп п -ь оо почти всюду на. (О, 1), так как а (г) — суммируемая функция и, следовательно, обращается в бесконечность лннеиные егнкционллы 1гл. 1У с 1 '1 г [г [а(г)[" и'ггг) = [[у[[, о нли 1 < 1 [г ~[а(г)[.г~ <[[Л.
о (1 1) Отсюла следует, что а (г) ~ г. [О, ! 1. Пусть теперь х(г) — любая функция из г.„[0, 1[. Тогла су! ществует ~ х(г)а(г)Л. Лалее, пайдется последовательность о ограниченных функций [х (г)[ такая, что при и -э со. В силу неравенства Гельдера ~ х„, (г) а (г) ггг — э ~ х (г)а (г) и при т — а.со. Так как х (г) †ограниченн измеримые функ ции.
то 1 [ х„(г) а (г) ~гг = г (х ). о Следовательно, у (х ) — 1 х(г)а(г) ггг е лишь на множестве точек меры нуль. Переходя к пределу при л -~со, получаем 1 /(х) = ~ х(1)а(1)сУ. о (12) Итак. всякий функционал, определенный на Ьр [О, 1], можно представить с помощью равенства вида (12). Обратно, если [1(1) — произвольная функция, принадлежащая Ее[0, 1], то ! р (х) = ~ х (г) й (г) !11 о есть линейный функционал, определенный на Ар[0, 1]. В самом деле, аддитивность функционала очевидна, а ограниченность легко следует из неравенства Гельдера. Таким образом, формула (12) при произвольной фиксированной функции а(1)~Ад[0, 1] дает общий вид линейного функционала, определенного на Ел[0, 1].
Нетрудно найти норму этого линейного функционала. Из (12) имеем ! ]у(х)] = ~ х(г)а(г)!1г ( о ! ! ! ! '!л / /! ']о / /' '! о <(~.[х®] Н) [ []ц(1)[ и] =~ /'[а(1)]ож~ []х[[. !о о о Следовательно, ! / ! [[у'][( [ ] [а(1) [ог(г~ о (13) $ т! овщии- вид линщаных якнкционллов 193 при я! -ьоо.
С другой стороны, у (хм) -+ у (х). Но тогда получаем. что [ГЛ. 1У ЛИНЕИНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ Сопоставляя (13) и (! !), заключаем, что 1 1 '[ ч ]] г'[] = ~~ ] а (е) ] л1г) 'о Часто рассматривают пространство Е]0, 1] функций, суммируемых по Лебегу, в котором ][х[]= ~ ]х(1)] ч[!. о Общий вид линейных функционалов, определенных на Е (О, 1], дается формулой ! у(х) = ~ х(г)а(г) 1[е. о где а(г) — почти всюду ограниченная функция и [] Д = чга! щах ] а (!) ]. [О,Ц Общий внд линейных функционалов в гнльбертовом пространстве.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
