1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Из матричного представления операторов легко получаем, что !) (А+В)*= А'+В', 2) (АВ)* = В'А*, 3) (А ) =(А) если А существует. Впрочем, эти формулы легко установить и без предположения, что пространство обладает базисом. Скалярное произведение, ортогональиые элементы, биортогональные системы. Пусть х Е Е н у — линейный функционал на Е, т. е.
У ~ Е'. Рассмотрим выражение г (х) = (х, ! ) = (г, х). (12) Это выражение при переменных х и у' является билинейным функционалом относительно обеих переменных, т. е. линейным относительно каждого переменного. Этот билинейный функционал для случаи, когда Е есть гильбертово пространство и, значит. Е' =Е. превращается в скалярное произведение элементов х и г' (см. формулу (20) э 2). Принято и в общем случае, когда Е' + Е, называть выражение (12) скалярным (или внутренним) произведением х ~ Е и УсЕ'. Элементы х~Е и УЕЕ' называются ортогональными, если (х, у) = Д.
х) = О. Пусть х=е, т. е. $ =1, й»=0, для 1+ т. Тогда формула (11) дает а =!!ш ~л,~~ а»мс«= ~лг~~ а» с». л«ь ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 1ГЛ..1У Т е о р е м а 2. Пусть Хе есть собственное значение линейного опера тора А Е (Е-ь Е), хе — соответствующий собственный элемент. Далее, пусть )ье — собственное значение сопряженного опеРатоРа А*, Уз — соответствУющий собственный элемент.
Если ХьФ ре, то собственные элементы хз и Ге ортогональны. Эта теорема является обобщением теоремы об ортогональности собственных функций союзных интегральных уравнений. Пользуясь обозначением скалярного произведения, запишем связь между операторами А и А* в виде равенства (Ах, у)=(х, А*)"), справедливого при любых х ц Е. у ЕЕ'. Имеем по условиям теоремы Ахо=)"охо А го=)гаго. Отсюда и из вышеприведенного равенства получаем "о(хо Уо)=ро(хе Уо) или ()о — (ьо) (хо Уо) = б.
Но по предположению ХзФ ре, следовательно, (хз, Уе) =б. Как мы уже говорили ранее, последовательности (х„). ХпЕЕ и )Я, У„ЕЕ' называютсЯ биоРтогональными, если (хи У,)=б1р (13) тем самым х, и у) ортогональны при гчьу. В й б предыдущей главы мы рассмотрели пример биортогональных последовательностей. Это элементы базиса ео Ег, ..., Е„, ... И фуНКцИОНаЛЫ у'1, уг, ..., ую ..., Оиределяемые равенством /ь(х) = — $ь =Х$ а=1 В самосопряженном пространстве, например гнльбертовом, обе биортогональные последовательности лежат в одном з з1 СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА и том же пространстве.
Если у„=хи, то биортогональность переходит в обычную ортогональность. Пусть последовательности (х„) и Гул) биортогональны и элемент х представлен в виде ряда (14) х= ~'., ~;хн Г=! Имеем / л л (х Ул)=11ш~ 2~ Гмх~ Ул) =Гни Х $г(хн Ул). л .~=1 л При л)~й в силу равенства (13) л ~ ~, (хн ул) = Гл, ибо в этой сумме все члены обращаются в нуль, кроме члена ~ (х„, г'ь) =5„. Отсюда (х, Гл) =с», и равенство (14) примет вид х = ~~ (х, Г',.)хн (15) Аналогично, если (16) то Гл=(- „У) Ряды (16) и (16) называются рядами фурье по соответствуюшим биортогональным последовательностям.
Первые нетривиальные примеры биортогональных последовательностей функций были рассмотрены П. Л. Чебышевым и А. А. Марковым в связи с задачами интерполирования. Покажем, что для любой линейно независимой системы элементов (хн х,, ..., хл) ~ Е сУшествУет биоРтогональнаЯ ей система линейных функционалов Г~,, уз, ..., Гл1 ~Е*. Пусть Г.,=Г.(хз, хз, ..., х„) — линейное многообразие. порожденное элементамн хз, хз, ..., хл.'Так как х, лен<ит 210 1гл. щ лингпные етнкционллы на расстоянии д) О от сч (в силу линейной независимости элементов хи хю ..., х„и замкнутости Е,), то существует линейный функционал Л(х) такой, что Л(х) =О на Ен в частности на элементах хю хз, ..., х„, и Л(х,) = 1.
Повторяя эту операцию для многообразия Ез — — Е(хн х, ..., х„) и элемента хз и т. д., получим требуемую систему функционалов. ПУсть, наобоРот, дана система (Ун Ум ..., Я <= Е линейно независимых линейных функционалов, т. е. таких, что из Л,Л(х)+Л,уя(х)+ ... +Л„.г„(х) =О для произвольных х ц Е следует Л~ — — Лз = ... = Л„= О. Тогда существует система элементов (хн хю ..., х„( г=Е, биортогональная этой системе функционалов.
Пусть сперва и = 1. Так как Л (х) Чй О, то существует элемент хз такой. что у',(хз) = а Ф О. Тогда элемент х, = — ' а обладает требуемым свойством. Предположим, что утверждение доказано для и — 1 линейно независимых функционалов. Докажем его для случая и функционалов. Пусть (хм хз, ..., х„( — система элементов, биортогональная функционалам гм гз, ..., у'„.
Обозначим через М, линейное многообразие, определяемое системой уравнений /'з (х) = О, у'з (х) = О, ..., у'„(х) = О. Для любого х ~Е элемент и=х — ~ с,х, где с,=~,(х), 1=2 принадлежит этому многообразию. В М, сугцествует элемент хз такой, что Л (хз) = а чь О. В противном случае у,(и) равнялось бы нулю для всех и: л у', (х) — ~~а„с,у, (х,) = О, с я 211 СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА е У, (х) = ~ у', (х,) У, (х) для любого х ~ Е.
Это означало бы, что Л есть линейная комбинация функционалов г, уз...„у„, что невозможно по условию. Итак, сушествует элемент хо такой. что Л (хо) = а Ф О, г'а (хо) = Уз (хо) = ° = У„(хо) = 0 Полагая х, = —, получаем первый элемент биортогональхо а ной системы. Повторяя то же рассуждение для многообразия Ма = (х: г,(х)= О. Уа(х) = О, ..., ге(х) = О) и функционала Гз, получим элемент хз и т. д.
Сопряженное пространство к линейному комплексному пространству. Все понятия, введенные в этом параграфе. переносятся и на комплексные линейные пространства Е. Сопряженным пространством Е* мы назовем совокупность линейных комплексных функционалов на Е. Скалярным произведением (х,г), где х ц Е, г" ц Е", будем называть по-прежнему число Г(х).
Для того чтобы сохранить при этом свойства внутреннего произведении в комплексном гильбертовом пространстве, следует считать (х, г) линейным функционалом относительно х и сопряженно-линейным относительно г: (х. 1У) = Л (х, У). Тем самым определяется умножение на комплексное число е, в Е'. А/ есть такой линейный функционал <р на Е, что ~р(х) = е.4(х). Понятие сопряженного оператора А' к оператору А из (Е- Е) переносится и на случай комплексных пространств: А' есть оператор из (Е'-РЕ*) такой, что (Ах, у)=(х, А"у) при любых хЕЕ н ~ЕЕ".
212 (гл. гч лингиные синкционллы Все свойства сопряженных операторов переносятся непосредственно на комплексный случай с одним изменением: теорема об ортогональности собственных элементов хь и уо операторов А и А*, где Ахз = )"охо А Уо = РоУо имеет место, если )е+Рз В 4. Слабая сходимость последовательностей функционалов и элементов Пусть Š— линейное нормированное пространство.
Последовательность [Я линейных функционалов из Ь" называется слабо сходящейся к линейному функционалу Дь~Е*, если у„(х)-ьуз(х) для любого х ГЕ. Таким образом, для линейных функционалов понятие слабой сходимости совпадает с понятием точечной сходимости операторов. В терминах слабой сходимости теоремы 1 и 2 из начала этой главы могут быть сформулированы так: Те о р е м а 1. Последовательность линейных функционалов [Я, слабо сходящаяся в себе, слабо сходится к некоторому линейному функционалу Дь.
Т е о р е и а 2. Для того чтобы последова тельное ть [Я линейных функционалов слабо сходилась к линейному функционалу Дз, необходимо и достаточно, чтобы 1) последовательность [[[у„[[[ была ограничена; 2) У„(х) — ьДз(х) для любого х иэ некоторого мнонсества М, линейные комбинации элементов которого лелсат всюду плотно в Е. Отметим еше, что из теоремы 1 вытекает слабая полнота пространства Е', сопряженного к банахову пространству Е. Применение к теории квадратурных формул [13[. Рассмотрим в пространстве С[0, Ц функционал СЛАБАЯ СХОЦИМОСТЪ 2И где о(!) — некоторая неубывающая функцня.
Наряду с у(х) рассмотрим последовательность функционалов и У (х)= ~! с~"!х(ф!), и 1, 2, ..., а=! где с1,"! выбраны так, что у(х) и Ун(х) совпадают для всех много- членов степени, не превосходящей и: если х (!) = ~ арг». у (х) Ун (х), »=о Построенные таким образом функционалы Ув применяются для приближенного вычисления функционала /. Приближенное равенство У (х) Уе (х) являющееся точным для всех многочленов степени ..
и, называется квадратурной формулой. !!усть мы имеем последовательность квадратурных формул У (х) ж Ув (х), и = 1, 2, ... Естественно поставнть вопрос: будет лн последовательность выраженнй у (х) прн и -+со сходиться к значению у (х) для произвольной функцпн х(!) ~ С[0, 1]. Другнмн словами, будет лн последовательность функционалов (ув) слабо сходиться к функцно. папу у. Теорема 3. Для того чтобы имела место сходимоста иоследователаности квадратурных формул, т. е. чтобы а„ ! йщ )~~ с!еи'х(г!ае~) = ~ х(!) до(!) л а=! о для любой непрерывной функции х(!), необходимо и достаньочно, чтобы е„ чт (с!аи!! (К= сапа! а=! для всех и.
По определению функционалов У» мы имеем, что для всякого многочлена х(!) степени и ут(х) = у(х) прн т> и. Далее, очевидно, 1!Ун(1= ~ ~ с'„"! ~<К. а=! 214 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКНИОНАЛЫ !гл. ш ув (хь) = у (хь). 1 '~~~ ) с~" ') = '5" с'т = )ь' до = о (!) — о (О), Поэтому я мы находимся в условиях применимости предыдущей теоремы. Слабая сходнмость элементов пространства. Введем теперь понятие о слабой сходимости элементов линейного нормированного пространства. Пусть Š— линейное нормированное пространство, )х„)— последовательность элементов из Е и хо в элемент того же пространства. Если для льобого линейного функционала г" ~ Е' будет у (х„) †«,у (хо) при п -« со, то говорят, что последовательность )х„] слабо сходится к элементу хо, и пишут сь Хв ФХО Говорят также, что хо есть слабый предел последовательности элементов )х„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
