1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 32
Текст из файла (страница 32)
нлн т ~ х„(г)с[г-ь ~ х (г) дг о о для любого т Е [О, 1). Слабая сходимость в гнльбертовом прос т р а н с т в е. Так как в гильбертовом пространстве Н всякий линейный функционал Г'(х) есть скалярное произведение. то в этом пространстве си х„— 'ь хе слльля сходпмость означает, что для любого УЕ Н (х„, у)-ь(х, у). Ранее мы видели, что если х„-эхе. У» «Уе то (хв Ув) ь -ь(хе, ув), т.
е. скалярное произведение непрерывно по совокупности обоих аргументов относительно сильной сходимости. Если же х„— "ь хе. у„— '-'-ануе, то вообще (х„, у„) ть(хз. Уе). Так, например, если х„= у„= е„, где !е„! — произвольная ортонормальная последовательность, то е„— "ьб, а (е„, е„) = !! е !!з = 1 ть 0 =(О, О). Имеем !(х„, У„) — (х, Ув) !~(!(х„— х, У„)!+!(х, ӄ— Уз)! -( ~~ 'И!! хв хе!!+!(хо уа уо)!. и оба слагаемые справа стремятся к нулю.
Наконец, отметим, что если х„— ".ьхе и !!х„!1-ь!!хе!1, то х„— ьхе. так как !! х„— хе!!з=(х„— хе, х„— хе) = [(х„, х„) — (х . хе)1+ +Ихе хе) (хо хв)1+1(хо хе) — (хп хо)1 и все слагаемые справа снова стремятся к нулю. Однако если В самом деле, купности. Пусть х„хе, у„— "~уе, то (х,. У,)-ь(хе, уе).
в етом случае нормы !!у„!! ограничены в сово- ГЛАВА Ч КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА В МЕТРИЧЕСКИХ И НОРМИРОВАННЫХ ПРОСТРАНСТВАХ Более ста лет тому назад чешский математик Б. Больцано заметил, что всякое ограниченное бесконечное множество точек числовой прямой имеет хотя бы одну предельную точку, и обратил внимание на важность этой теоремы для строгого обоснования математического анализа.
Идея выделения сходящейся последовательности из некоторых множеств, состоящих уже не из точек, а из функций или кривых, была использована при доказательстве теоремы существования решения обыкновенного дифференциального уравнения, в вариационном исчислении и т. д., и это привело к общему определению компактности множества, расположенного в некотором пространстве.
В 1. Определения. Общие теоремы Множество К, расположенное в метрическом пространстве Х, называется компактным, если всякая последовательность элементов этого множества содержит сходящуюся подпоследовательность. Если пределы укаэанных последовательностей принадлежат К, то множество К называется компактным в себе, если же эти пределы принадлежат пространству Х, не принадлежа. может быть, множеству К, то К называется компактным а пространстве Х, илн относительно пространства Х. Ясно, что для того, чтобы множество К было компактно в себе, необходимо и достаточно, чтобы оно было компактно в пространстве Х и замкнуто. Если, в частности, каждое бесконечное подмножество пространства Х содержит сходящуюся к некоторому эле- Опивдвления.
Овщив тноппмы менту из Х последовательность, то пространство Х называется иолвиантиылг, Компактное метрическое пространство называют также иолвиаитом. Ясно, что компакт есть полное метрическое пространство. Примеры. 1. Пусть Х=[0, 1]. Очевидно Х вЂ” компактное пространство в силу теоремы Больцано. 2. Пусть Х = Е, — одномерное евклидова пространство (числовая прямзя).
Х некомпактно. В самом леле, его подмножество А( = (1, 2, 3, ..., и, ...) не содержит никакой сходящейся последовательности. Однако всякое ограниченное множество в пространстве Х компактно в силу теоремы Больцано. 3. Пусть Х есть и-мерное евклидова пространство Е„. Аналогично предыдущему имеем, что Х 'некомпактно, но всякое ограниченное множество элементов этого пространства компактно. 4. Пусть Х С [О, 1). Это пространство некомпактно и, более того, в С [О, 1) существуют ограниченные некомпактные множества (см.
стр, 226). 5. Пусть Х=(в. Это пространство некомпактна Более того, в этом пространстве имеются ограниченные некомпактные множества. Таким множеством будет, например, замкнутый единичный шар 3(О, 1) = Я. В самом деле, рассмотрим следующую последовательность точек из 33 е, ( 1, О, О, ...
), ев — †(О, 1, О, ... ). .. Имеем [[ег — е)[[ =)г2 прис+/. Поэтому последовательность [еД и любая ее поллоследовательность не сходятся, что и доказывает некомпактность 5. Нетривиальным примером компактного в пространстве 1, множества может служить так называемый основной параллелепипед координатного гильбертова пространства, представляющий собой совокупность У точек х = (ян ян ..., э»...
). 1 координаты которых удовлетворяют условию 0 (1» ( —. Компакта' ность множества У вытекает из общего признака компактности, который будет сформулирован ниже (стр. 248). Лля компактных множеств можно доказать аналог теоремы о вложенных шарах полного метрического пространства, при этом полнота Х не предполагается. Именно имеет место следующая Т е о р е м а (К а н то р а). Пусть дана последовательностьь Кт -э Кэ -э ... =з К„=> кОмпАктные множества !Гл. ч пепустых замкнутых компактных множеств метрического пространства Х.
Тогда пересечение К=ПК, 1=1 не пусто. В самом деле, выберем в каждом множестве К, по точке хн Получим последовательность !х1) г=. К,. Так как К, компактно, то иа (х1) можно выбрать сходящуюся подпоследовательность ~х1„). Пусть хе=!!шхг . га' Так как при любом фиксированном и, начиная с номера 1„ ) и.
все члены этой последовательности принадлежат К, и К„замкнУто. то ха~К„. Но тогда хеЕПК1, и теоРема !=1 доказана. Теоремы существования экстремума. Доказательство основных теорем о непрерывных функциях, заданных на отрезке, опирается на свойство его компактности. Некоторые из этих теорем можно распространить на непрерывные функционалы, заданные на компактных множествах произвольного метрического пространства. Например, имеет место следующая теорема, являющаяся обобщением известных теорем Вейерштрасса. Теорема 1.
Пусть К вЂ” компактное е себе множество пространства Х и У(х) — непрерывный функционал, заданный на этом множестве. Тогда 1) функционал г" (х) ограничен на К; 2) функционал у(х) достигает ка К своих точных верхней и нижней границ. 1. Покажем, что функционал г'(х) органичен сверху (аналогично доказывается, что у (х) органичен снизу). Допу* стим противное. Тогда найдется последовательность !х„~ точек из К такая, что у'(х„)) и. Так как К компактно в себе. то последовательность !х„] содержит подпоследовательность (х„„), сходящуюся к точке х„ЕК.
Тогда, с одной стороны, у(х„~) ) п„и, следовательно, г'(х„~) — + ОС прч й-+со. С другой стороны, в силу непрерывности функцно- 5 и ОпРеделения. овщие теопемы нала всюду на К н, в частности, в точке хе г (Х„) — ь Г'(Хв) При й -+ СО. Получено противоречие. Следовательно, ограниченность функционала у (х) доказана.
2. Пусть й = зпр у'(х). Это означает. что )'(х) < (1 для «;к всех х Е К и для любого е ) 0 существует такая точка хе 6 К, что У (хе) ) (1 — е. Следовательно, существует последовательность точек (хе) такая, что !1 — — < г(х„) <р. 1 (1) Так как К компактно в себе, последовательность (х,~ содержит подпоследовательность (х„ )Р сходящуюся к точке "ь> ' хе~ К. Тогда ! 0 — — „, <У(ххв) <Р и, следовательно, 1пп г (х„) =- (1.
С другой стороны, так как У(х) непрерывен во всех точках множества К и, в частности, в точке ха, то Ого У ( ) = У (хв) ь -э « Значит, г'(хь)= — (1, что и требовалось доказать. Аналогично доказывается, что если а=!п!у(х), то хе К найдется такая точка йз ~ К, что У(еа) = а. 3 а меч а н не. Следует отметить, что если непрерывный функционал у(х) задан на некомпактном в себе множестве М. то зпрУ(х) и !п(г(х) могулг не до- «ЕК «ЕК стигаться. Расслютрим, например, в С (О, 11 множество М всех функций х(г) таких, что х(0)=0, х(1)=1 и >пах)х(е)! <1. с КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА 1гл. ч Функционал Г(х) = ~ хз(1)Ш о непрерывен на Ат и не достигает на нем своей нижней границы.
В самом деле, если х(1)=1", то Значит, ! п1)' (х) = О. Но очевидно, что для всякой непрерывной кривой х = х(1), соединяющей точки (О, О) и (1, 1), г" (х) ) О (отсюда, в частности, вытекает, что рассматриваемое множество кривых некомпактно, хотя оно и является ограниченным и аамкнутым множеством в С[0, 11). Таким образом, прежде чем опираться на теорему 1, необходимо убедиться в компактности множества, на котором определен непрерывный функционал. Гипотеза о достижении точной верхней или нижней границы функционала на некомпактном множестве может привести к неправильным выводам, как показывает предыдущий пример.
В качестве второго примера того же рода приведем ложное доказательство пятого постулата Евклида. Известно, что пятый постулат Евклида равносилен гипотезе, что сумма углов хотя бы одного треугольника равна и. Можно совершенно строго доказать, что сумма углов треугольника не может быть больше и. Докажем. что сумма углов некоторого треугольника равна и.
Пусть к есть точная верхняя граница суммы углов треугольника, и пусть существует треугольник АВС (рис. 5), на котором сумма углов достигает максимальной величины к. Произвольную внутреннюю точку 0 стороны АВ соединим отрезком СО с вершиной С.
С0 разбивает наш треугольник на два треугольника АОС и 1)СВ, сумма углов каждого из которых не превосходит к. С другой стороны, сумма углов обоих треугольников равна 221 опопдяляния. Овщив теОРемы н+ и. Следовательно, к+и <2н. Но так как н не превосходит и, то отсюда следует, что Итак, существует треугольник, сумма углов которого равна и, и пятый постулат Евклида доказан. Ошибочным в атом доказательстве было предположение о существовании треугольника, у которого сумма углов достигает своей точной верхней границы (как мы С видим, зто равносильно пятому постулату Евклида).
В геометрии Лобачевского разность между и и суммой углов треугольника пропорциональна плошади д последнего и, если зта 22 разность стремится к нуРис. б. лю, треугольник стягивается в точку. Теорема 1 обобщается на случай так называемых полу- непрерывных функционалов. Функционал у (х) называется полунепрерывным снизу (сверху), если из условия х„-эх следует, что г'(х) ~(1пп 1(х„), у (х) )~ ! ! ш г' (х„). и соответственно Для таких функционалов имеет место Т е о р е ма 2. Функционал г'(х), полупел рерывный снизу (сверху) и определенный на компактном в себе множестве, ограничен снизу (сверху) на етом множестве и достигает на нем своей точной нижней (верхней) границы. Эта теорема имеет широкое применение в вариационном исчислении, так как важнейшие классы рассматриваемых в нем функционалов являются полунепрерывными.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
