1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Предположим, что С[0, Ц рефлексивно. Тогда любой линейный функционал Р (у), определенный на пространстве функций с ограниченным изменением, должен иметь вид Рл (у)=у (х) прн подходяще выбранном влементе х~С[0, Ц. Принимая во внимание общий вид линейных функционалов У (х), определенных на С[0, ц, получаем, что любои линейный функционал Р(у) имеет вид 1 Р (У) = Р(х) = / . (П лУ РВ (4) о (через /(1) мы обозначили функцию с ограниченным изменением, соответствующую фуннционалу У (х) из С' [О, Ц ).
Рассмотрим функционал е.,(у) =у(1,+о) — у(1,— о), который каждой функции у(1) с ограниченным изменением ставит в соответствие скачок втой функции в точке 1,. Аддитивность этого функционала очевидна. Далее. ! ]Е„(У)] =]У(1,+О) — У«,— О)] ~Ч [У] =]]У]]. о Следовательно, Р (Д ограничен и имеет нориу, не превосходящую единицы. Кроме того, очевидно, что Р (у) ил О.
В самом леле, достаточно рассмотреть Е (у!), где -(. О, дла 0(т< ти Л(1) = 1, для тз <1(1. В силу (4) должна существовать неперерывая функция х,(1) такая, что ! Р,(У) = ~ » (т) Ч(П (б) о рассмотрим теперь функцию уз (1) ~ ха (т) Вт. в сОпРяженные простРАнствл Имеем Р,(/о) =О, ибо /о (1) непРеРывна на [О, Ц. Но, С дРУгОИ стороны, из Р (/),=нО следует хо(Г)ФО и 1 1 Рл,(/о) = ~ хо(Ц!Г/о(т) = ~ хо(т) !тт ~ 0' о о Итак, мы получили противоречие.
Это противоречие возникло в силу предположения, что всякий линейный фувкционаа РС С"*[О, Ц имеет вид Р„, т. е. что пространство С [О, Ц рефлексивно. Следовзтельио, пространство С [О, Ц иерефлексивно. А. И. Плесиер доказал, что при естественном соответствии либо Е = Е**, либо все пространства последовательности Е, Е', Е , Е*л",... рззличны.
Подробнее об этом см.[!0]. Сопряженные операторы. Рассмотрим линейный ограниченный оператор у = Ах, отображающий линейное нормированное пространство Е в линейное нормированное пространство Е„. Пусть !р(у) — линейный функционал, определенный на Е„. Тогда !р(у) определен для у = Ах, где х — любой элемент из Е„ и мы имеем для у = Ах !р (у) = — 1р (Ах) = / (х), где /(х) — функционал, определенный на Е . Очевидно, что /(х) линеек.
Тем самым мы получили, что кажлому функционалу 1р ~ Е, ставится в соответствие функционал / С Е,. Таким образом, построен некоторый оператор, определенный иа Ет, с областью значений, расположенной в Е . Этот оператор обозначается через А" и называется операторои. совряокеиныла с оператором А. Равенство !р(у) =/(х) записывается в виде Примеры. 1. Рассмотрим л-мерное пространство Е и оператор А из (Е-ь Е). Тогда оператор А определяется матряцей и-го порядка (а!1) и равенство у=Ах, гте х= [й! $1 ° . бл] У= [т!!, Чт... т)л], записывается з виде л т!! = ~ а!/$Р рассмотрим линейный функционал /С Ел.
Имеем /=1 л /=(Л /2.. ° /л). /(х) = 2. /!б!. (гл. тв линнинын о!националы Поэтому у (Ах) = ~ч ', у!т) = ~и~ ~у' ~ а, у! !=1 1=! у=! л л л ( л л ~~~', ат)утц = и', ~ ч', а!!у!) "с = и.", д'4 ! 1/=! у! 1! /! где 81 ~л'.! а!.~!' Е=! Вентор а (К! Кт, " , йл) есть элемент пРостРанства Е' и полУ- чен из вектора у (Г„ у„ ..., ул) того же пространства линейным преобразованием л Алр; где А' порождается матрнцей, транспоннрованвой н матрице А.
Следовательно, переход н сопряженному оператору в и-мерном пространстве означает переход н транспоннрованной матрице. 2. Рассмотрим в К![О, Ц оператор ! Ах = у (!) ~ К (К 8) х (8) ((5, 0 где К (й 8) — непрерывное ядро. Произвольный линейный фуннционал /(у) в ьт [О, Ц имеет вид У(у)=(у,У) =~у(!)У(!)ж, У(!)~У-т[О,([. о Поэтому ! 1 к!л >-!" кк! )" к!к ! !*!л[ко е ! 1 -!"*!*! !" кл !кк)а~ ° е о Х (8) а (8) К(5, о где К (!) ~ К (8, !) У (8) 4 .
о СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Таким образом, переход к сопряженному оператору в данком случае означает перестановку переменных в ядре (ядро К (е,с) называется транспонироеанкым по отношению к ядру К(й в)). Теорема 1. Оператор А*, сопряженный с линейным ограниченным оператором А, отображающим линейное нормированное пространство Е в линейное нормированное пространство Е, есть также линейный ограниченный оператор, и !! А* !! = !! А !!.
Прежде всего очевидно, что оператор А* аддитивен. Далее, !(А'ф) (х)! = ! У(х)! = !ф(Ах)! (!!ф!!!! Ах!! (!!ф!!!! А!!!! х !!. откуда !! А*ф!! (!! А !!!! ф!!. Следовательно, А* — ограниченный оператор, причем !!А'!!-( !! А !!. (6) Пусть хз — какой-нибудь элемент из Е . По первому следствию из теоремы Банаха — Хана существует такой функнионал фо~Е' с нормой )!ф !)=1, что фе(Ахо)=((Ахо!!.
Отсюда получаем, что !! Ахе !! = фо(Ахо) = Уз (хо) (!!Уо!! !! хо !! = = !! А"фо !!!! хо!! ( !! А* !!!! фо!!!! хо !! = !! А* !! !! хо !!. Следовательно, (7) !!А!! (!! А*!!. Из (6) и (7) следует, что !! А*!! = !! А !! и теорема доказана. Понятие сопряженного оператора можно ввести и в том случае, когда исходный оператор А является линейным неограниченным оператором, определенным на линейном многообразии Е, всюду плотном в линейном нормированном пространстве Е , со значениями в пространстве Е„.
Пусть А— такой оператор и ф ~ Ею Рассмотрим ф(Ах) = у'з(х), х ~ т-„. линвиныв фгнкционллы 1гл, пи Тогда Г (х), очевидно, алдитивный и однородный функционал, определенный на Е„. Для произвольного функционала ир из Е' функционал у не будет вообще ограниченным. Но У если для некоторого ир ~ Е" функционал у' ограничен, то его можно продолжить по непрерывности до линейного функционала У, определенного на всем Е . Мы получаем, таким образом, что на некотором многообразии Е„ ~ Ет определен оператор А, ставящий в соответствие линейным функционалам ир ~ Е„ линейные функциопалы ~ЕЕ„. Этот оператор и называется оператором, сопрллсенным с линейным неограниченным оператором А.
Нетрудно проверить, что т'.„ — линейное многообрааие и что А' — линейный оператор на этом многообразии, вообще не ограниченный на нем. П р н и е р. В пространстве ьч (О), где Π— ограниченная измеримая область на плоскости, рассмотрим оператор дифференцирования ди А=...
1,+(,-й дх' дуи' опред.ленный на линейном многообразии Езс: ь (О) ( раз непрерывка дифференцируемых функций, обращающихся в нуль в некоторой граничной полосе области О. Многообразие йз всюду плотно в Е (О) н оператор А на ием дистрибутнвен н не ограничен. Значения оператора будем считать принадлежащими тому же пространству йя (О). /1 1 пусть для некоторой функции в(х, у)сьр(О) 11 — + — 1) Р ий имеет место равенство / ~ ' У о (х, у) дх аиу ~~ / / Аио аих и(у ~ ~ / ив дх иту при любой функции и (х, у) ~ам где в (х, у) йа .
Функционал у(и)=~ ~ и(х.у)в(х,у)дхду о как функционал, определенный на а, с-ач(О), очевидно. днстрн- бутивен и, кроме того, ограничен, так как сии-/(/ и*е1аи и~и ь я Р СОПРЯЖенные ПРООТРлнствл и мы можем продолжить его на есе г.ч(6). Тем самым мы получаем оператор А*, А*Р = ю. сопряженный к оператору А, определенный на некотором множестве функций Р(х, у)~Ар(0), со значениями в том же пространстве. Вспоминая второе определение обобщенной производной, д!Р мы видим, что А'е отличается от обобщенной производной— дх' ду" лишь множителем ( — 1)'. Таким образом, операцию обобщенного дифференцирования можно рассматривать также как оперзтор сопряженный к оператору дифференцирования, опредеиенному на множестве 1 раз непрерывно дифференцируемых функций, обращающихся в нуль в граничной полосе области О. Матрнчнап форма оператора в пространстве с базнсом. Пусть в банахозом пространстве Е с базисом задан линейный ограниченный оператор А, отображающий Е в это же пространство.
Возьмем хЕЕ. Тогда х =1!а х„, л где х„= ~ч'., с!е!. Е=! Следовательно, у = Ах = А (В щ х„) =! Пп ~~я й!Ае!. л л !=! Так как Ае, — снова элемент нз Е, то он может быть разложен по элементам базиса Ае! = ~я аь!ее! л=! тогда (8) Но у ~ Е и, следовательно, также может быть разложен по элементам базиса У= ~ т1.е„. (9) «=! ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ !гл. !ч Пусть теперь !/!] — последовательность функционалов, биортогональная к последовательности !е!). 'Тогда из (8) и (9) получаем и / аа з1„=/ (у) =/' 11!ю ~ $! ~ ~ч'.; а«!е« !и«! «! — ° .(й ь(Х.„..) ~- = йю '~Р! $! ~я~~~ а«!/;„(е«) = 1! п! ~~~д а„,Д, = ~ч'„', амДИ (1О) п!! «! и ! ! ! ! Равенство (10) показывает, что оператор А однозначно определяется бесконечной матрицей (а,) (с помощью этой матрицы по компонентам элемента х однозначно определяются компоненты элемента у = Ах).
Рассмотрим теперь сопряженный оператор А*, отображающий Е' само в себя. Пусть /=А'ф, т. е. для любого хЕЕ <р(Ах) =/(х). Пусть, далее. ° о !р = ~~'„~~ с!/'! ! 1 «л У=2 /!/'! ! ! Имеем !р(Ах) = !р ~ ~ а«Д! е« и /ао и /аа =1ни<р~ ~ ~~ а«Д,) е«)=йп! ~ ~~~~! а«Д! ф(е,)= п!«=!!!л«! л /ао ао / л =1!ю ~~„', ~ ~ а«Д!) с« =!!в ~ ( ~ а„,с„ и «-! с! л!! «! С другой стороны, ао ао ф(Ах)=/'(х)= 3 а!!/«(х) = Х /Д!. ! ! ! ! СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА Следовательно, СО со Г' л ~ дД, =1!ш ~~'.~ ~ ~ а«,с„ 1=1 ль» «=» (!! ) Полученное равенство показывает, что матрица, соответствующая сопряженному оператору, является транспонированной матрицей по отношению к матрице, соответствующей исходному оператору. Такое представление операторов и им сопряженных имеет место, например, в пространстве !з.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
