1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

л И(=! и, следовательно, и /д(и)"' — иГ), /< 1=! для и«. й)~ л« (е) и любого и. Отсюда и и-1 ииг' — ч) (3=/ й(ч"' — ч"),— х(и, ' — ч")' ) < 1 ! 1=1 <((» (1 ) — и«),((<-$/т,(! — и) ) $ < 2, и потому ! «)'и!) «)М) ~ ( 2е и л )(еи)) 1бз лннеиные опгялтооы <гл. <н и а~а (>)! -'> — т<<о>) е ( е < —. ! (4) для т .то(е) и любого и. Положим и е<ьо= т' т<,.'">е, <=! е<о> ~~ ><<о!е . <=! <. Учитывая неравенство (4), будем име<ь ~( е~„~~ — е<„> ~! ( 11 ео~<> — е'„<>11+ 2е для т) т,(е) и любых п и р > О.

Пусть теперь задано произвольное число Ь > О. Выберем Ь сперва е, а тем самым и то(е). так. чтобы 2е( —,, затем, 2 ' фиксировав т )~ то(е), возьмем по так, чтобы для п > ио и любого р > О (это возможно в силу сходи- мости ряда ~ т<<<м>е!). Тогда <=! <! <о> <о!>! для «)~по и любых р ) О, т.

е. ряд ~2~ т)!<ое <=! сходитса, и, следовательно, Уо= (>)>~>, тм>, ..., ф, ...) ~ Е . Так как, кроме того, из неравенства (4) получаем, что зиР ~1 (>1<и> — т<<<~>) е, (е дла т ) то, п « =! т. е. (1у„— уо11 (е для т )~ «<о, то полнота пространства Е, доказана. для «<, >я)~ то(е) и любого и. Следовательно, числовая последовательность 1><«>) сходится к некоторому пределу Ч<о', и зто имеет место для любого и.

л ' Перейдем в неравенстве (3) к пределу при <о -ь со; получим НРОстРАнстзо БАИАхл с БАзисОм $61 Очевидно, каждому х = Х В161 Е Е„ соответствует единственный элемент «х=й1. $,."" -:.." )ЕЕ„. Обратно, каждому элементу у = )611) ~ Ет соответствует един- ственный элемент хт~Ех, а именно: х, = ~ т11е1. 1=1 Таким образом, можно считать, что определен оператор х = Лу, взаимно однозначно отображающий Е на Е,. Легко видеть, что оператор Л линеек. Кроме того, оператор А ограничен. В самом деле, ОО й 1 и ))Ау)) = ))х)) = ~ тйег .<Зпр ~ 11,ег = ))у)). 1=1 6 Следовательно, мы имеем линейный оператор А, отображающий Ет на Е„ взаимно однозначно.

По теоРеме Банаха сУ- ществует обратный оператор у = Л х, который также является линейным ограниченным оператором. Пусть — любой элемент из Е,. Определим функционал уя. полагая уь(х)=вь. Очевидно, функционал уд аддитивен, Далее, ~~'„) 61 — ~ 6161 зеьа ~|661 1 21у,'! 2)) А 'х)) 2))А 1)) <2зпр Д Б1е1 — —— —— < ))х)), Зее~~ 1~ее~~ 1661~ зеа11 1=1 1то линейные опнРАТОРы 1гл, !ы откуда следует ограниченность н, следовательно. линейность /„, а также. что [!И <2 1[а 11 ° [[А ! [[ Строя для каждого й функционал /„. получим бесконечную последовательность линейных функционалов /н /,, ... .... /„, ...г=Е', причем любой элемент х ц Е можно записать в виде х = ~ч'.! /,(х) ео г=! Положим, в частности, х =е~.

Тогда [' 1. если 1=/, [ О, если гчь /. т. е. ( 1. если 1=/, ~ О, если 1~/. (б) Таким образом. мы получили две последовательности: элементов [е!] и функционалов [Я, удовлетворяющих равенствам (б). Такие две последовательности называются биортозональными. Возьмем теперь любой линейный функционал /цЕ'. Так как СО и х = ~~'„, /, (х) е, = 1! щ,)'„, /! (х) ео ! ! и 1=! то Обозначим /(г!)=с,. Тогда получим, что для люоого линейного функционала /цЕ' имеет место представление ОЭ / (х) = ~ч'„', с,/, (х).

! 1 или /=Х с,Л. 1~! (б) /(х) =!!щ Ь, / [/!(х) е![ =1нп ~ /,(х)/(е )=~~! /!(х)/(е!). в ю=! и ! ! г=! ПРОСТРАНСТВО БАНАХА С БАЗИСОМ б б! Представление (6), очевидно, однозначно. Ряд (6) схо- дится для каждого х Е Е. Пусть снова х — любой элемент из Е; тогда 00 л СО х = ~~'.~~ $ ее — ~ $,.е + ~ Це, 1=1 е=лн и каждому элементу х ~ Е можно поставить в соответствие два однозначно определенных элемента л ОЪ У„= ~~'.~~ $1е1 и ел= ~я~~ $ е~.

/=! у=ля! Эгими равенствами задаются два оператора у„=Е,х и хл=й„х. определенные на Е. с областью значений в том же пространстве. Очевидно. Ел и бс„ — линейные ограниченные операторы при каждом фиксированном п. В самом деле, линейность их очевидна, а ограниченность следует из неравенства и аналогично й)б„х~~~(2~~А ~~~ ~~хй, ГЛАВА 1Ч ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В втой главе мы рассмотрим подробно простейшие свойства линейных функпионалоз, определенных з линейных нормированных пространствах. Напомним прежде всего несколько теорем, доказанных выше и имеющих место как для операторов, так и для функционалов. и которые мы здесь сформулируем применительно к функционалам.

Те о рема (В а каха — Шт ей их ау с а). Еслипоследовательность линейных функционалов. определенных на банаховом пространстве Е, ограничена в каждой точке х~Е, то последовательность норм )))уь))) втих функционалов также ограничена. Т е о р е м а 1. Если последовательность линейных функционалов )Ях)) сходится в себе в каждой точке банахоеа пространства Е.

то сугцествует линейный функционал у(х) такой, что у„(х) -+ г (х) для любого х ЕЕ. Теорема 2. Для того чтобы последовательность )Я линейных функционалов сходилась в каждой точке х банахова пространства Е к функционалу ге, необходимо и достаточно, чтобы 1. последовательность )))у„))) была ограничена, 2. г„(х) — >Уе(х) для любого х из некоторого множества М~Е, линейные комбинации влементов которого лежат всюду плотно в Е. Т ео р е м а 3. Линейный функционал ге, заданный на линейном многообразии (., всюду плотном в линей- 4 и ггооямь влилхл — хаил и ее следствия пз ном нормировинном простринстве Е, и ограниченный ни нем, может бать продолжен ни все простринство без увеличения нормы и притом однозначно.

5 1. Теорема Банаха — Хана и ее следствия Нижеслелуюшая теорема показывает возможность продолжения на все пространство без увеличения нормы линейного функционала, заданного первоначально на линейном многообразии Ь линейного нормированного пространства Е. не обязательно всюду плотном в Е. Теорема 4 (Банаха — Хана). Всякий линейный функционал Г (х), определенный ни линейном многообризии Е линейного нормировинного пространства Е, можно продолжигпь ни все прост ринство с сохранением нормы, т. е. можно построить линейный функционил Р(х), определенный ни Е и такой. что 1) Р (х) = У (х) для х Е 1., ) !!~!!в !!У!!с' Возьмем элемент хЯ Е и рассмотрим множество (Е; хь)= Е, элементов вида х+Гхь, где хЕА, а ~ — любое вещественное число.

Очевидно, множество Ц есть линейное многообразие. Докажем. что каждый его элемент однозначно представим в виде х + Схе. Допустим, что имеются два представления элемента и Е ь,: и=х,+11хе и и= — хе+1,хе, причем ~,ф( (в противном случае из х,+з,хе=ха+1,хе получаем, что х,= хе. и представление единственно). Имеем х,— х, х~ хг (Сг Сг) хь н хь гг г! Но это невозможно, так как хьг-1., а х, и хг~Л.

Итак. г, = Гг, а значит, х, = хг, и однозначность представления доказана. Возьмем теперь два элемента х' и хь Е Е. Имеем у'(х') — у (хн) = у(х' — х") <!я !!х' — х"!! ( <у !! (!!х'+ «ь!!+!!хч+ хе!!!. 174 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКПИОНАЛЫ (гл. Нг Отсюда у(х') — !Ф! !!х'+ хз!! < у(хл) !-!!Л !!х" + хе!!. Так как х' и х" — произвольные элементы из Е, независимые друг от друга, то зпр !У(х) — !Щ !!х+хе!!! ~(1п1 !)(х)+!! У!! /!х+х !/!. «'С с л(с Существует, следовательно, ве1цественное число с, удовлетворяющее неравенствам епр (Е(х) — !Щ !!х+ха!!! ~(с ( «Ес ~(!и( (7 (х)+l!.г!! !!х+ хе!! ! (1) л«е Возьмем теперь любой элемент и Е Е,.

По доказанному выше он имеет вид и = х + где элемент х Е Е и вещественное число г однозначно определены. Введем новый функционал «р(и), определив его для элемента и = х+ гха равенством «р (и) = 7 (х) — гс, где с — некоторое фиксированное вещественное число, удовлетворяющее неравенствам (1). Очевидно, у' и «р на Е совпадают. Очевидно также, что «р(и) аддитивен. Покажем. что ф (и) ограничен и имеет ту же норму.

что и у (х). Рассмотрим два случая. 1) г) О. Из — ~ Е и из (1) получаем ! «Р (и) ! = С ! 7 ( Г ) — ~ ( г ~ !! Г !! 1! ++ х () ~ = =!!Л !!х+ (ха!!=!Л !!и !!. Итак, !«р(и)! (!!у!! !!и/!. (2) 176 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ (гл. Еч многообразии 1, равном объединению всех Е„, причем Продолжая затем функционал гр по непрерывности на все Е (теорема 3), мы приходим к требуемому функционалу Е. В общем случае доказательство теоремы Банаха — Хана завершается так. Рассмотрим всевозможные продолжения с сохранением нормы функционала у. Как показано выше, такие продолжения существуют.

В множестве Ф этих продолжений введем частичное упорядочение, полагая, что У' < У". если линейное многообразие ь', на котором определен /', является частью линейного многообразия Ь", на котором определен 1", и /'(х) =у"(х) при х ~ ь'. Ясно, что соотношение У' ( У" обладает всеми свойствами упорядочения. Пусть теперь ~Я вЂ” произвольное упорядоченное подмножество множества Ф.

Это подмножество имеет верхнюю грань, которой является функционал /., определенный на линейном многообразии Е„= Ц Ь„ где Е, — область опрея деления у,, причем / (х)=у (х), если х ~ Е, есть элемент Ь„к Очевидно, /,— линейный функционал и 8/„'8=8/'8, т. е. у,~Ф.

Таким образом, мы видим, что все условия леммы Цорна выполнены, и Ф имеет максимальный элемент Е. Этот функционал определен на всем Е, так как в гротивном случае его можно было бы продолжить и Е не был бы максимальным элементом Ф. Теорема полностью доказана. Замечание. Так как число с, удовлетворяющее (1), можно выбирать по-разному и максимальный элемент в множестве Ф может быть не один, то продолжение линейного функционала по теореме Банаха — Хана вообще не однозначно.

Характеристики

Список файлов книги