1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 23
Текст из файла (страница 23)
е. пространство операторов полно в смысле точечной сходимости. Часто оказывается полезной следующая Те о р е м а 4. Для того чтобы последовательность (А„) операторов точечно сходилась к оператору Ав, необходилсо и достаточно, чтобы 1) последовательность ((~А„~() была ограничена; 2) А„х — «Аьх для любого х иэ некоторого множества Х, линейные комбинации элементов которого лежат всюду плотно в Е„. Необходимость первого условия есть не что иное, как доказанная выше теорема Ванаха — Штейнхауса, необходимость второго условия очевидна.
Требуется доказать лишь достаточность этих условий. Пусть М = зпр !)А„(~, л О,с,... и пусть Е(Х) — линейная оболочка множества Х. В силу линейности операторов А„и Аа и второго условия А„х — «Аьх для любого хЕУ.(Х). Возьмем теперь элемент $ пространства Е„, не принадлежащий Е (Х). Для заданного е ) 0 найдется элемент х ~ Е (Х) такой, что йй — хй < —. Имеем 4М ' ~~ А„$ — А Д )~ < (~ АД вЂ” А„х (~+)~ Алх — Аох ((+ (( Аох — Ао$ 1~.ц ~(ЕАлх — Аоха+(~!Аля+Ао'!)!!х — «а < аА„х — Аох)~+ 2.
В силу того, что А„х — «А„х. найдется номео пз такой. что йА„х — Аах~~ < —, для п)~ло. Поэтому для п)~па имеем йА„ф — А~Ц <е, и теорема доказана. 152 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1ГЛ. П1 Применения к теории интерполированию. Доказаннав выше теорема Банака — Штейнхауса имеет многочисленные прииенению В качестве примера такого применения приведем следующую теорему. Т е о р е и а 5. Пусть на от резке [О, Ц заданы точки, образующие бесконечную треугольную матрицу 111' О О 1 1(т' 1") О 1 2 т)з) 11з) 1)з) г з (2) Л,х = ~ х[тгп)) Рп) П), где 1(п)(1) Юп (1) (1) Ц Тг г) и)) ' (1) (1 1(п)) Какова бы ни была матрица Т, существует неирерывнап функции х(1), для которой интерполиционный многочлеи Лп.с ие стремится равномерно к х(1) при п-ьсо.
Будем рассматривать Лпх как оператор, преобразующий функцию х(1)ЕС [О, Ц в элемент того же пространства. Введем, кроме того, в рассмотрение величину Лп шахЛп(1), гле Лп(1)= ,'~~~~ф(1)!. Тогда нетрудно доказать [22[, что 1йп[=Л, С другой стороны, имеет место неравенство С. Н. Бернштейна )"и ~ = ° 1п п 8)г и Слеловательно, [С.п)[— прн п -+ со. Отсюда сразу следует сформулированная выше теорема, ибо если бы Ьпх-эх для всех хЕС [О, Ц, то нормы [ Лп[) были бы ограничены.
Для заданной функции х(1), определенной иа отрезке [О,Ц строится иитерполяциоиный многочлен Лагранжа Лпх, узлами которого являются точки п-й строки матрицы Т, ОБРАТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ $ б. Обратные операторы Определения. Мы уже ввели понятие обратного оператора и указали на важность этого понятия. С понятием обратного оператора связаны. как мы сейчас увидим, вопросы о существовании и единственности решения операторных уравнений вида Ах=у, где у — известный элемент линейного пространства Е, а х— искомый элемент того же пространства. Так как к уравнениям вида (1) относятся линейные алгебраические системы. линейные дифференциальные, линейные интегральные и дру гне уравнения, то очевидно, что нахождение оператора, обратного данному оператору, является весьма важным, Итак, рассмотрим уравнение (1) и предположим, что оператор А имеет обратный оператор А '.
Положим х=А у. Подставляя это аначение в (1). получим тождество АА у=у, т. е. у=у. Следовательно. х=А у есть решение уравнения (!). Допустим. что существует х, — другое решение уравнения (1): Ах,=у. Действуя на обе части этого равенства оператором А по- -1 лучнм -1 х,=А у=х. Следовательно, решение х=А у единственно. Если оператор А имеет правый обратный оператор С, то, как легко убедиться, х=Су есть решение уравнения (1).
однако вопрос о единственности остается открытым. Допустим, что оператор А имеет левый обратный В. Тогда, если уравнение (1) имеет решение х, т. е. Ах=у, ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [гл. Ия А 'Ах=х (2) для любого х ~ Е и АА у=у (2') лля любого у ~ Ер.
то операторы А и А ь называются взаимно обратными. Из этого определения следует, в частности. что (А ) =А. Если оператор А ' удовлетворяет лишь одному из предыдуших условий, то он называется левым, соответствеььььо правым. обратным для оператора А. Легко показать. что оператор, обратный к линейному, также линеен. В самом деле, пусть х=А '(у,+ут) — А у,— А ут.
Имеем в силу аддитивности А Ах=АА (у +у) — АА у,— АА уз= =(у, +у,) — у,— у,=о. то, применяя слева к обеим частям этого равенства опера- торВ, находим, что х=Ву, т. е. что решение единственно. Однако вопрос о существовании решения остается открытым. Анализ предыдуших рассуждений показывает, что обратный оператор (двусторонний, левый нли правый) мы применяем не к любому х~Е, а лишь к элементам вида Ах, т.
е. к образам элементов пространства Е. Совокупность этих образов есть некоторое линейное многообразие (часть пространства Е). Обобщая указанную ситуацию, мы приходим к следующему более общему определению обратного оператора. Пусть даны два линейных пространства Е и Е„ и оператор А, отображающий Е на Е„. Если существует оператор А ', определенный на Е, со значениями в Е такой. что ОБРАТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Отсюда х=А Ах=А 0=0, т. е. А (у,+уг)=А уг+А уг, и аддитнвность оператора А доказана. Аналогично устанавливается однородность оператора А . Однако из непрерывности оператора А в некоторой топологии, вообще говоря, не следует непрерывность обратного оператора в той же илн другой топологии, т.
е. оператор, обратный к линейному ограниченному, может не быть линейным ограниченным оператором. Теоремы об обратном операторе. Приведем несколько теорем, дающих достаточные условия существования обратного линейного ограниченного оператора. Предварительно сделаем одно замечание. Пусть линейный ограниченный оператор А отображает Е на Е» взаимно однозначно. Тогда существует обратный оператор А ' который является линейным. В самом деле. для любого у Е Е„ существует лишь один прообраз х ~Е .
Ставя в соответствие каждому элементу у ~ Е, его прообраз х ~ Е . мы получаем оператор А, который по смыслу своего определения удовлетворяет условиям (2), а из этих условий вытекает линейность оператора А Т е О р е м з 1. Пусть линейный опера тор А. отображающий линейное нормированное пространство Е на линейное нормированное пространство Е, удовлетворяет для любого х~Е, условию (3) т)0, 11АХ(()~т11Х11, где т — некоторая константа. Тогда существует обратный линейный ограниченный оператор А Из условна (3) следует, что А отображает Е на Е„ взаимно однозначно: если Ах, = у и Ахг — — у.
то А(х,— х,)=0 и согласно (3) т!~х, — хг(~~()~А(хт — хг)(! = О, откуда х, = хг. Поэтому, как показано выше, существует линейный оператор А . Этот оператор ограничен, что сразу ЛИНЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ (гл. Нг же следует нз (3): 1А «1 < — 11АА 'Н= — 11«11 для любого «ЕЕ„. Теорема доказана. Рассмотрим два линейных ограниченных оператора А и В, отображающих линейное нормированное пространство Е в себя.
Тогда имеет смысл произведение АВ. Покажем, что (4) )(АВ)~ (11А11 11В11. Имеем для любого х Е Е /!АВх// ()/А// !!Вх/~ ()!А)( !(В(! !!х!~, Последовательность 111 А„11 ~ есть сходящаяся числовая последовательность и потому ограничена, а )! А — А !)-» О и )(„— В)-» О. Поэтому ~ А„„— АВ !!-» О, и требуемое доказано. Творе ма 2. Пусть линейный ограниченный оператор А отображает Е в Е и !!А~ (о < 1. Тогда оператор г+А имеет обратный линейный ограниченный оператор. В пространстве операторов, определенных на Е, со значениями в том же пространстве, рассмотрим ряд У А+А, Аг+ +( 1)лА 4 (б) Так как !/ Аг '1 < 11 А 1Р ИА" И~ИАГ.
и аналогично откуда и следует наше утверждение. Пусть теперь А„, А, В„, В~(Е-»Е) и А„— »А, В„-»В в смысле равномерной сходимости. Тогда А„В„ -» АВ. В самом деле, $А„„— АВ,'~ <11А»В„— А„В11+ '11А„ — АВ,'~ < (((А„)~((Вл В()+ !)В)))(Ал А(). % з! ОВРАТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 157 то для частичных сумм Юи ряда (5) будем иметь Р.+Р— В. 1~ = 1)льгАл ег ~ ( 1)л+2Аи ет+ + ( 1)и+РАи Р ) < ~<)А)и" +(А!!"'2-4-... +) А1"+в~< <еле! 1 и+2 + + члеР О при п-ьоо, р.РО. Поэтому послелозательность частичных сумм ряда (5) сходится в себе, а значит, в силу полноты пространства операторов и к некоторому пределу, т. е.
ряд (5) сходится. Пусть 8 — сумма ряда (5). Имеем ВП+ А)=йтВл(У+ А)= и =На((+ А -)- Аг-+ ... + А" — А — Аг — ... — А'"') = и =! Пп (! — А" ' ') = Ь л т. е. 8=(7+ А) Легко видеть, что 8 — линейный оператор. Кроме того. он ограничен, так как Таким образом. (!+А) — линейный ограниченный оператор, и теорема доказана. Те р е о м а 3. Пусть оператор А Е (Е -РЕ„) имеет обратный А .и оператор ЬА таков. что ~ЬА)! <)А Тогда оператор В=А+ЬА имеет обратный В '.
п)тлеем (,: — А 1< ~,~ '1А 12. (6) 1 — 1А '11 АА) В самом деле, А )- ЬА .= А (! ~- А ЬА). ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1ГЛ. 1П Так как ЦА 'ДАЦ < 1. то оператор т'+А 'ДА имеет обратный (7~-А 'ДА) '=,'о ( — А-'ДА)". что и требовалось доказать. П р и м ер. Рассмотрим интегральный оператор 1 Ах = х(1) — Ц К(й з) х(з) 1(з о (7) с непрерывным ядром К(й а), отображающий пространство С[0,1[ в себя. Пусть Ко(й з) — вырожденное ядро, близкое к ядруК(йз), и Ао — интегральный оператор, соответствующий ядру Ко(й з): 1 Аох=х(1) — Ц Ко(г з) х(з) г(з (8) е Рассмотрим уравнения Ах у и Аос у. Положим е = шах ! К (й з) — Ко (( з) !. (7') (8') Если ЬА А — Ао, то легко видеть, что [АА!«~оь Как известно*), решение уравнения (8) с вырожденным ядром сводится к решению линейной алгебраической системы.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
