1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 19
Текст из файла (страница 19)
)((х, у) является обобщенной производной порядка (1 — 1) от функпии ср(х, у), и существование обобщенных производных (1 — 1)-го порядка доказано. В свою очередь из существования обобщенных производных (1 — !)-го порядка вытекает существование обобщенных производных (1 — 2)-го порядка и т.
д., и первая часть теоремы доказана. Возьмем формулу (15), выражающую (! — !)-ю обобщенную производную через 1-е обобщенные производные и саму функцию Воспользовавшись очевидным неравенством (ас+ая+ ... +а„)Р~(т'(алс+аз+ ... +а,"), ас ) О. получим В силу неравенства Гельдера имеем ГЛАВА Ш ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Одним из важнейших н наиболее хорошо изученных клас сов операторов является класс линейных операторов, одре. деленных в линейных пространствах. ф 1. Линейные операторы Определение. Пусть даны два линейных топологическнх пространства Е„и Е„одновременно вещественных или комплексных и пусть дай оператор у=А(х), определенный на пространстве Е„с областью значений, расположенной в Е„.
Будем также писать у = Ах. Оператор у = Ах называется линейным, если 1) втот оператор аддитизен, т. е. для всех хг и хэ из Е А(х,+х )=Ах,+Аха; 2) оператор А однороден, т. е. для всех л~Е и любых вещественных (если Е„вещественно) или комплексных (если Ел комплексно) Л А (Хл) = ХАл. В дальнейшем будем обозначать через (ń— ьЕ ') множество всех линейныд непрерывных операторов, отображающих Е, в Е .
Очевидно, что для случая метрического пространства непрерывность оператора А означает, что для любого е>0 найдется Ь > 0 такое, что совокупность образов элементов шара 5(х, 6) лежит в шаре 5(Ал. е). ЛИНЕПНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Примеры 1. Рассмотрим квадратную матрицу л-го порядка (а!»), 1, » * 1... „и. Равенства « 11, = ~~~~ д!»1», ! = 1, ..., л, » 1 определяют, очевидно, некоторый оператор у Ах, переводящий элемент х (11, Ет,..., й«) л-мерного евклидова пространства йч в элемент у (1)„т),, ..., Е„) того же пространства.
А — линейный непрерывный оператор. В самом деле, алдитнвность оператора А следует иа равенства ~~!' а!»(Е»!+Е»!)= ~~~~ а!»Е»п!+ ~~~' и!»Е»н, ! 1, ..., п, »«1 » 1 » 1 эквивалентного равенству А(х, +х,) Ах, + Ах!, однородность его очевидна, а непрерывность вытекает из нера- венства « г ° ° г ° Х (ц! ' — Ч!)'< $»г Х Х а!» $уг Х Ф' — (»)' ! 1 ! 1»«1»-! где х,„(ф~), ум = Ах = [т)!и!), х -ь х, получающегося очевидным образом с помощью неравенства Буняковского для сумм. 2. Положим у (!) «в ~ К(г, з) х(з) с!з, э где К(0 з) — непрерывная в квадрате 0<г, »~1 функция.
Если х(!)~С[0, Ц, то, очевиднгь и у(!)ЕС[0, Ц. Следовательно, оператор у Ах отображает пространст)1о С[0, Ц в себя. Легко видеть, что А — линейный непрерывный оператор. В самом деле, 1 а) А (х, + х,) * ) К (й з) [х,(з) + х, (з)) !(з 1 1 = ~ К (й з) х, (з) !Гз+ ~ К (з, з) хэ (з) !(з * Ах, + Ахи о е н условие аддитивности выполнено, б) однородность оператора А очевидна, 124 линепные опе лтоеы 1гл. гп в) пусть [кэ (Г)] сходится к к (Г) в смысле сходимости в С [О, 1], т. е. равномерйо на [О, 1].
Так как в случае равномерной сходи- мости можно переходить к пределу под знаком интеграла, то г ! '„.Х" " "=Х ' . "' э е т. е. Кш Ак„= Ак, и непрерывность оператора А также доказана. 3. Пусть ń— пространство функций, заданных и непрерывных на замкнутой плоской кривой Г с непрерывной кривизной, метрика в котором определяется равенством р(кь к,) шах]к,(Ф) — к,(1)]. г Пусть далее ń— пространство функций двух переменных, заданных и непрерывных в замкнутой области О, ограниченной кривой Г, метрика в котором лается равенством р (и„и,) = шах ] и, (Э, т)) — и, (Э, т)) ].
о каждой функции к(1)ее» отнесем функцию и(э, п)~еэ, являющуюся решением задачи Лирнхле для области 0 при граничном условии к(Г). Как известно, при сделанных предположениях эта задача однозначно разрешима. Полученное соответствие определяет некоторый оператор и=Ак. В силу известных свойств гармонических функций А есть линейный непрерывный оператор, определенный на Е» с областью значений, расположенной в Е .
4. Пусть Е С[0, 1]. Рассмотрим в этом пространстве оператор у = Ак, определяемый равенством у (Г) = ~ к(т) йт. э Очевидно, А — линейный непрерывный оператор, определенный на всем Е. Рассмотрим в этом же пространстве другой оператор, у = Вк, определенный равенством у (г) — к (г). г(г Этот оператор определен уже не для всех к(Г)ЕЕ, и если Вк существует, то не всегда у ~Е. Однако если за область определения оператора В принять линейное многообразие функций, имеющих непрерывную производную (лежащее всюду плотно в С [О, 1]), то область значений оператора В будет аежать также в С [О, 1]. Оператор В, очевидно, аддитивен и однороден.
Но в области определения этот оператор не является непрерывным, так как производная от предела равномерно скодяшейся последовательности лингиные опгвятовы функций может н не равняться пределу проиэводныя функций этой последовательности, если даже все этн производные суи~ествуют и непрерывны. Простейшие свойства. Пусть А — линейный непрерывный оператор. Положим х ='+(и, следовательно, ь= х — й. ТОГда АХ = Аз+ АЬ"= А$+ А(Х вЂ” С), Отнупа А (х — с) = Ах — Ать. (2) Положим в (2) х= с. Тогла А(0) = Ах — Ах =О.
Положив в (2) х = О, получим А( — с)= — Ай. Те о рема !. Аддитивный оператор у=Ах, определенный ни линейном вещественном пространстве Е . с областью значений е линейном вещественном пространстве Ею непрерывный в одной точке хеЕЕ, непрерывен ни всем пространстве Е,. Пусть х — любая точка из Е, н х„-ьх. Тогда х„— х+ + хэ-эхе, и так как А непрерывен в точке хз, то 0 а А (х„— х + хе) = А хе.
я А (х„— х Ф хэ) = Ах„— Ах+ Ахв Но по свойству аллнтнвности. Поэтом . 1нп Ах„— Ах+ Ахе = Ахе, э Пусть г= т — целое отрицательное число. Тогда А (т х) = — А ( — тх) =' — ( — т) Ах = тАх. откуда и следует, что Иа Ах„= Ах. л Те о рема 2. Аддитивный и непрерывный оперотор Ах, определенный в вещественном пространстве Е„. однороден. Пусть сперва г'=п — целое положительное число. Тогла А (пх) = Ах+ Ах+ ... + Ах = пА х. ЛИНСПНЫЕ ОПЕРАТОРЫ !гл, Пг Пусть г= — — рациональное число.
Имеем гл л А ( — х) = тА ~ — х) . 1 Положим — х=$. Тогда х =л$ и л Ах = А(л~~) =лА' =лА ~ — х), /! Г! 1 1 откуда А ! — х) = — Ах. Следовательно, 1л ) л А ( — х) = тА ( — х) = — Ах. Пусть, наконец, г — любое вещественное число. Необходимо рассмотреть лишь случай иррационального !. Найдется последовательность рациональных чисел (г„) такая, что гл-ьс. Поэтому !!шглх=тх, и так как А — непрел рывный оператор, то А (Гх) = А (! ! ш глх) = ! ! ш А (глх) = ! Пп гл Ах = гАх. л л л Пространства операторов. В множестве линейных непрерывных операторов, определенных на линейном пространстве Е . с областью значений в линейном пространстве Е, можно ввести алгебраические операции, Пусть А и В будут такие операторы.
Определим сложение этих операторов посредством формулы !А+В) х = Ах+ Вх и умножение линейного оператора на число — посредством формулы Р,А)х=ЛА . Очевидно, что при таких определениях все необходимые аксиомы будут выполнены и рассматриваемое множество линейных операторов будет линейным пространством. В частности, нулем этого пространства будет такой оператор О, что для любого х~Е имеем Ох=О. Определим в линейном пространстве операторов предел последовательности, полагая, например, что Ал -ь А, если для любого х ~ Е» имеем !Нп Алх = Ах.
л ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Мы рассмотрим более подробно это пространство несколько позже при некоторых дополнительных предположениях относительно пространств Е„и Е„. Кольцо линейных непрерывных операторов. Возьмем теперь некоторое линейное пространство Е и рассмотрим множество (Š— ь Е) всевозможных линейных непрерывных операторов, определенных на Е, с областью значений, расположенной в этом же пространстве. Как показано выше. эти операторы образуют некоторое линейное пространство. Определим произведение операторов А и В из (Е-ьЕ) формулой (АВ) х = А (Вх).
Легко видеть, что это снова линейный непрерывный оператор. По индукции определяется произведение любого числа операторов. В частности, пишут АА Аэ АзА Аз и т. д. Легко видеть, что (АВ)С=А(ВС), что (А+В)С= = АС+ ВС, а также С (А+ В) = СА+СВ и что существует единичный оператор /, определяемый равенством lх=х для любого х н такой, что А! = 1'А = А для любого оператора А. Таким образом, множество (Š— Е) образует кольцо с единицей, причем некоммутативное, так как, вообще говори.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
