1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Н. Колмогорова). Длл того чтобы линейное топологическое пространство Х было нормируемыхб необходимо и достаточно, чтобы в нем суа(ествовала выпуклая ограниченная окрестность нуля. Пусть У вЂ” окрестность нуля пространства Х, обладающая укззанными свойствами. Без ограничения общности можно считать ев симметрической. Положим для любого х ~ Х (! х (! = (п! А>а,хЕЛО Покажем, что введенная таким образом норма облалает всеми необходиммми снойствами.
Прежде всего 80((= О, так как 0~ АУ прн любом Л > О. Пусть — 1 1 х~О. Тогда для некоторого п, х С вЂ” У. В самом деле, если х ~ — У ло л для любого л, то уп=лхЕУ для л=1,2...,, 1 и потому последовательность (у„) ограничена. Отсюда — ув -ь О, Но это невозможно, так как 1 — у„= х~ О. л — 1 Итак, хС вЂ” У, поэтому по 1 ~(х(~> — > О, и, и первое свойство нормы установлено. х Пусть теперь !(х((=и, !,'у(!=8; х, у=,АО.
Тогда ~! — (~ =1 а и, следовательно, — '~(!+.) У а при сколь угодно малом е > О. Аналогично У б(1+г) У. б Л. А. Люотеоыяк. В. И. Соболев вй ЛИНЕЙНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА !ГЛ. Н В силу выпуклости У, а значит и (1+е) У, будем иметь а х О у п+() а и+() — + — — Е(1+.) и, нли — ~ (1+е) К а+)3 х+ у ~ (а + й) (1+ е) К (! х + у !! ~ (а + р) (1 + а), Следовательно, Отсюда н так как е > 0 произвольно, то будем иметь )(х+у!! (а+() =!!х!!+!(у(!. Если же либо х, либо у, либо оба этн элзмента равны нулю то равенство !! х+ у !! = !)х!!+!! у!1 очевидно.
Следовательно, второе свойство нормы также доказано. В силу симметрии из хСЛУ следует — х~ЛУ и обратно. Поэтому !! — х 1! = !! х !1. Рассмотрим элемент ах, где а > О. Пусть х~ЛУ, Тогда ах~аЛУ н. обратно, из ах~аЛУ следует х~ЛК Поэтому !!ах!!= !и! р= !и! аЛ=а !и! Л=а!!х!!. ах(РП Еатп х;1П В общем случае !!ах !=!1 ~ |а! х!!=!! ) а|х)(= (а) !)х(! С другой стороны, единичный шар !!х!!<1, очевидно, входит в окрестность У, откуда шар //х!!<г войдет в гУ, а тем самым и в окрестность нуля У(0). и третье свойство нормы доказано.
Для завершения доказательства теоремы достаточно показать, что для любой окрестности нуля )г(0) пространства Х найдется шар !!х!! < р, попадающий целиком в Ъ'(0), н обратпо1 ДлЯ л1обого шара 1)х!!< р найдется окрестность нуля йг(0), целиком входящая в этот шар. Возьмем произвольную окрестность нули )г (0). Так как окрестность нуля У, с помощью которой вводилась норма, является ограниченным множеством, то найдется число г > 0 такое, что гис! (О).
ай австэлктнов гильввгтово пиостглнство 63 Пусть, обратно, дан шар зха <р. Из определения нормы следует, что в этот шар войдет целиком окрестность нуля р'У, где р — произвольное число, меньшее чем р. Достаточность условий теоремм полностью доказана. Доказательство необходимости не вызывает затруднений. 5 4. Абстрактное гильбертово пространство В и-мерном вещественном (комплексном) векторном пространстве Е„. помимо операций сложения векторов и умножения вектора на вещественное (комплексное) число, определено скалярное (или внутреннее) произведение векторов етого пространства.
Именно. скалярное произведение векторов х = ]$ц 3,, ..., 5„] и у = ]т)п Чп ..., т4] пространства Е„ есть число и (х, у) = Х $Л. Норма. или длина, вектора х = ]Си С,, ..., $„] выражается через скалярное произведение следующей формулой: л ]]х]]= ~]С ]'= у'(х, х). ~=1 В анализе широко применяется скалярное произведение функций. Естественно поэтому рассмотреть класс линейных пространств, в которых определено скалярное произведение элементов. Такие пространства называются гильбершоеылеи и задаются с помощью следующих аксиом. Аксиомы абстрактного гильбертова простр а н с т в а. Пусть Н вЂ” множество некоторых элементов х, у, х„..
Предположим, что 1, Н вЂ” комплексное линейное пространство. 2. Каждой паре х и у элементов нз Н поставлено в соответствие комплексное число (х, у), называемое скалярным лроизеедением этих элементов, удовлетворяющее условиям: а) (х, у) = (у. х) (в частности, (х, х) — вещественное число); 84 линеиные нОРмиРОВАнные пРОстРАнстВА 1гл. н б) (х,+ х, у)=(хн у)+(хы у); в) ()х, у)=) (х, у) лля любого комплексного числа ).; г) (х, х))~0, причем (х, х)=0 тогла и только тогда, когда х=О; число [[х[[= )~(х, х) пазовом нормой элемента х. Ниже (стр. 85 — 86) будет показано, что эта величина удовлетворяет всем требованиям нормы линейного нормированного пространства.
3. Н полно в смысле метрики р(х. у) =[[к — у[[. Цри выполнении этих трех аксиом будем называть множество Н унитарным пространством. и-мерное унитарное пространство есть комплексное евклидова пространство. Если пространство Н удовлетворяет, кроме того, аксиоме 4. В Н для любого натурального числа и найдется и линейно независимых элементов, т. е.
Н является бесконечномерным, то оно называется абстрактным гильбгртовым пространством; в дальнейшем мы будем называть его просто гильбгртовым пространством. П р н м е р ы. 1. Комплексное пространство 1, становится гильбер1овым, если для любых двух его элементов х Дь йэ ..., а»,...) " у (гп Чь ° °" ц», ...] положить (х, У) - ~', й)Ч1. гРЛ Сходимость этого ряда для любых х и у из 1» вытекает из неравенства Буняковского для рядов. 2. Комплексное пространство 1,т „[О, )[.
Это в пространство комплексных функций, определенных и измеримых на отрезке [О, Ц и таких, что ~ р(1) [х(1) [г й1 <+со, е где р(1) вещественно и р(1)~О почти всюду на [О, Ц, причем р (1) > 0 иа множестве полной меры.
1. [О, Ц будет гнльбертовым пространством, если положить для х, у ф(.г р 1 (х, у) ~ р (1) х (1) у (1)»1. в Существование етого интеграла пря любыл х(1) н у (1) из 1т в [0, Ц вытекает из неравенства Буивковского дла интегралов. В частно- Ф 4! АбСТРАКТНОЕ ГИЛЬВЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО 66 Стн, ПРН Р(!)мм1 ПОЛУЧаЕМ КОМПЛЕКСНОЕ ПРОСтРаНСтВО Г.! СО СКа- лярным произведением (х,у)= ~ х(г)у(г)!(а е Аналогично определяется вещественное гильбертово пространство.
При этом скалярное произведение двух элементов должно быть вещественным. Вещественные пространства (м Ьхр, Ц являются вещественными гильбертовыми пространствами. Рассмотрим вкратце некоторые простейшие свойства гильбертовых пространств. Прежде всего легко выводим из аксиом 1 — 3, что (х, у!+ уа) = (х, у,)+ (х.
у!), (х,Лу) = Л (х, у). Из последнего следует, я частности, что ((Лх,'(=)Ц ~)х~(. Установим теперь для скалярного произведения неравенство Буняковского — Шварца. Для любых х, у Е Н, учьО, и любого комплексного Л имеем (х+ Лу, х+ Лу) ) О или (х, х)+ Л(х, у)+ Л(у, х)+(Л|т(у, у) )~ О.
Полагая Л= — ( 'У (у. у) получаем, что или (2) )(х, у)( (~(х!)!)у,'(, что и представляет собой требуемое неравенство. Для случая у = О неравенство (2) тривиально. Далее получаем !!х+у~К=(х+», х+у)=(х. х)+(х. у)+(у. х)+ + (у, у) (~)х )~а+ 2(~х~( !~у!)+!!)у (Р =(()х ~)+ ~)у!~)т, или ~)х+ у~) (((х)!+ ()у(~. 66 линеиные нОРмиРОВАнные НРОстРАнствА 1гл.
и Аксиома 2, г) и формулы (1) и (3) показывают, что введенная с помощью скалярного произведения норма удовлетворяет всем аксиомам нормы линейного нормированного пространства, а следовательно, введенное с помощью этой нормы расстояние удовлетворяет всем аксиомам метрического пространства. Легко доказывается Лемма !. Скалярное произведение есть непрерывная функция относительно сходимости по норме.
В самом деле, пусть х„— «х и у„— «у. Тогда ч:щла ~~х„11 и Еу„а ограничены; пусть М вЂ” их верхняя граница. Имеем ~(х„, у„) — (х. у)(=!(х„, у„) — (х„, у)+ (х„, у) — (х, у)/4, (/(х„, у„) — (х„, у)/+/(х„, у) — (х, у)~= =Их„, у„— у)!+!(х„— х, у)~ ( (//х„// ~/у„— у/~+!~х„— х// )/уЯ ( ( М!/у„— у/~+~/у// /~х„— хЦ, Гак как ~,'х„ — х)!-« 0 и ~/у„ — у/!-« 0 при и †« ОО, то и !(хл уа) (х, у)(-« О при п †» ОО, что и требовалось доказать.
Ортогональность. 11ва элемента х и у ~ Н называются ортогональными (в этом случае записывают х 1 у), если (х, у)=0. Элемент х называется ортогональным надпространству 1.~Н, если х ортогонален любому элементу уЕ 1.. В этом случае записывают х ( 1.. Имеет место следующая весьма важная Т е о р е м а 1. Если х ~ Н и Š— некоторое надпространство пространства Н, то где у ЕЕ и я ( 1.. Указанное разложение единственно. Если х ~ Е, то, очевидно, у = х, а = О.
Предположим поэтому, что х ~ Е. Пусть д = 1п1 6 х — у йг ась % и АБСТРАКТНОЕ ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО 87 и (у„) — последовательность из Ь такая, что Г(д=йХ вЂ” У„)~т — ь~( ПРИ П вЂ” ьСО. Пусть, далее, Ь вЂ” любой элемент из /., отличный от нуля. Тогда у„+ еЬ ~ Ь для любого комплексного е, и потому 1~х — (у + БЬ) йа > Ф, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
