1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Л. Соболев). Пусть м(х) задана на отрезке [О, 1[, и предположим. что она имеет на этом отрезке обобщенную производную Х(х). Тогда для любой функции ф(х), непрерывно дифференцнруемой и обращающейся в нуль на концах отрезка, вместе со своей производной, будем иметь ~ ф (х) ф' (х) и'х = — ~ Х (х) ф (х) пх. ч а Пусть гз(х)= [ ХЯ)г(й. Имеем, очевидно, О э Ь вЂ” ~ Х (х) ф (х) Их = / гэ (х) ф' (х) а~х, откуда ~ [ф(х) — ы(х)[ф'(х)ах=О, а 110 линейные нОРмиРОВАнные пРОстРАнстВА )гл.
Й Так как ф(х) — произвольная непрерывно дифференцируемая функция, обращающаяся в нуль на концах отрезка, то из последнего равенства следует, что ф(х) = ы (х) +с, а так как е)(х) есть неопределенный интеграл от суммируемой функции, то ы(х) абсолютно непрерывна. Теперь, чтобы гюлучить требуемый пример, достаточно взять любую не абсолютно непрерывную функцию, имеющую почти всюду производную. Легко привести пример функции, имеющей обобщенную производную высшего порядка и не имеющую обобщенной производной низшего порядка.
Пусть Р(х, у) = )'(х)+у(у), где г(х) — функция, не имеющая обобщенной Производной. Тогда Р(х, у), очевидно, не ииеет обобщенных производных первого порядка. Однако Р(х, у) имеет обобщенную производную второго порядка. В самом деле, для любой функции ф(х. у) с необходимыми свойствами /'Р(х, у),, ° ~у= дач) о ) ) к (х) л «) 6(х(к+ / ) к (У) а а ахар.
а о Но / / у (~) — г(~ ))у = а А ч (к) ь ~ г'(х) / — )гу)гх= / У(х) Я г(к=О, а я, )к) а ч, )к) так как ф' (х, ф)(х)) =ф„'(х, ф (х))=0, где ф)(х) и фа(х)— граничные значения ординат области О. Аналогично ~ ~ У(у),'~ (~,(у=о. а оьовшвнные пвонзводные и потому Л дтф ) Р(х, у) — е(хну =-О = / / О ° ф(х, у) е(ха'у, о о дтр т.
е. — существует и равна тождественно нулю. дх ду Значительно более глубоким является следующий факт: если функция У'(х, у)цсбр(0) имеет все обобщенные производные 1-го порядка, то она имеет также все обобщенные производные (1 — 1)-го порядка. Для того чтобы установить этот факт, нам понадобятся некоторые предварительные рассмотрения. г Пусть и (х, у) непрерывна в области 0 вместе с производными до 1-го порядка включительно. Выведем ин тегр альку о Гл-6 формулу С.
Л. Соболева, выражающую и(х, у) через произ- Ряс. 2. водные 1-го порядка этой функции. Рассмотрим на плоскости две точки: Р(х, у) и й (ь, т|) (рис. 2). Обозначим через г расстояние между этими точками, а через Π— угол, образованный радиусом-вектором, идущим от точки Р к точке |;), с положительным направлением оси х. Имеем, очевидно, $ = х+- г сов О, т| = у + г в|и О. Поэтому и д, т|) = и (х+- г соз О, у + г а| и О) = о (х, у, г. О). или, короче, и(Я) =о(Р, г, О).
Ясно, что ,(Р, О, О)=и(Р). Выберем произвольную внутреннюю точку области 0 за начало декартовой системы координат, и пусть Ки — круг некоторого радиуса гс с центром в этой точке, расположенной 112 линейные нОРмиРОВАнные пРОстРАнстВА 1гл. н целиком внутри области О. Введем функцию се л' '*, если г(Й, л(()) =-- (г2 22 + 212) 9, если г )~ )с. Константу с выберем так, чтобы ~ ыл (!',)) Е2$ г(21 = 1. Отметим, что юл(!')) — бесконечно непрерывно дифференцнруемая функция.
Рассмотрим интеграл / / иЯ)ыл(Я) Щ кл и преобразуем его с помощью некоторого интегрирования по частям. Пусть Р(х, у) — другая произвольная точка области О. Заменим в интеграле и(()) через О(Р, г, 9), ыл(Я) — через уц(Р, г, 9) и перейдем к полярным координатам с центром в точке Р и полярной осью. направленной по осн х.
Получим / ~ ел Я) и (Я) й(е = ~ ~ е!ЛЩ) и Я) !1(~ = кл о =~~хи(Р г 9) (Р. г. 9) 'ИЧ= о 2л со = ~ л!9 ~ Р(Р, т, 9))(л(Р, г, 9) гй. о о Заметим, что фактически все интегралы у нас собственные. Обозначим ~ РКЛ(Р Р О) !2Р г 11Э ОБОБШЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ через х (г). Функция х(г) будет первообраэной для гул(Р, г, О) и, интегрируя внутренний интеграл по частям, получим / / и (® и (Сс) в/вс = ггл 2л л» О(Р, г, 0)х(г)~ — 1 ' ' х(г)с/г'а'О= до(Р, г, О) ./ дг о о 2л «О 1 = / О(Р, О, 0) / ру,(Р, р. 0)др~дО+ о о гл О» В- / / в' ' / вх ВР. в. в)вв]» вв. Но о (Р, О, О) = и (Р), 2л св / р)(л (Р, р, 0) в/р ав9 = ~ / ыи Я) гЦ = 1, о о и мы находим и(1')= / / ия)ов, Я) авО— о — / /' ~",,'в —,' /'вв,Вл, в, вВ + вв. о о г или и(Р) = / / и(Я)овиф) в/(/— ру,(Р.
р,О)др с%. /' /' да О;/) 1 ~ /' дг г ~./ О Полагая для сокрашения записи — ~ руд (Р, р, О) ар = С (Р, Я), г 114 линейные нОРмиРОВАнные пРОстРАнстВА !Гл. н будем иметь и(Р)= ~~'и(Ю)ы,(())д(~+ ~~ —,"-'С(Р, О)д~. Функция С(Р, (,!), очевидно, ограничена для Р, !',) ~ О, и нетрудно видеть, что она непрерывна при Р~!',1, а при Р— ъь1 имеет различные пределы в зависимости от величины угла О. Так как — = — соз(г, х)+ — соз(г, у), ди ди ди дг дх ' ду то предыдущая формула принимает вид и(Р)= / ~ иЯ)гол(Я)гй~+ + / / ( Аго (Р' ® дх + Ао! (Р, Я) ду ~ ой~. (7) о Здесь ААг,(Р, Я), 1!, (я=О, 1, имеет вид А!!,'!!, (Р, (')) = — ВЦ, (Р, Я), ди ! !' ди дх,/,/ дх Л("г) ()+ о + (/ г( А!о (Р' Я) д, + Ао! (Р' (з) дх ду )(«(гс' о — - ~' !' — Л(~) ~%+ ду,l .! ду 'о + / / ((Аго (Р, (е) д д + Ао! (Р, !Е) ду, ~ л!е.
о (8) (9) где В);!г,(Р, Я) — ограниченные функции. Применим выведенную формулу вместо функции и(Р) ди ди к ее частным производным — и †, Получим две формулы дх ду ' ововгпвнные ппонзводныв Подставляя выражения производных из (8) и (9) в равенство (7), меняя порядок интегрирования и вводя обозначения ~ А11,'(Р, Я) Ф !=С!,1,(Р), (10) будем иметь и(Р) = / / иЯ)е!л(Я)~И'!+ + ~~~„С1!1(Р) / ~ д" (Ст)д(З ( 1,+1,=! О +,'~„' ~~ '',!',(Р. ()) —"," „((). Здесь ~~~ означает суммирование по всем значениям индек1,+1,=а сов 1! и (а от 0 до Ф таким, что сумма 1!+Е =й.) Продолжая так далее, приходим к формуле а (Р) = ~ / и (!~) гол Я) 1йт + о + '~' С11,!(Р) / / "" „(Д),Ц1~ ( 1,+1~=! +,', Т.(Р) ~~,„",,, "п,(ада+ ... + ~~~~ С! (Р) ~ ~ га М) Ж2+ 1,+1,=1-! о + ~~1ч~ /' /' !л ® д1и 1,+1, 1О и формулам для С)7,(Р) и 4, 1!,(Р, Я).
аналогичным (10) и (11). ИЕ лнняиныя новмняовлнныя -пяостялнствл (гл. и Из фоРмУл (1О) и (11) можно вывести, что Аеееее,(Р. 'Я) удовлетворяют неравенству ! ~А~ ~~с, (Р, Я) ~ 4 а1п г + р, где а и Р— константы, а функции А),ье(Р, Я) для й ) 2 огра- ничены и непрерывны при Р чь (,е (см. например 120]). Функции С),с,(Р) будут непрерывны в области О. ю Так как функция юлей) бесконечно непрерывно диффе- ренцнруема и обращается в нуль на границе области О, то, применяя формулу Грина, можно написать деи дев ° / е дхлд ее УУ дхе'д Ц о о и мы приходим к окончательной формуле и(Р)= / ~ иЯ)ыи((;))лц,г+ о +,~~ ©(Р)~~ ий) и %+ дем + )~~~ Се~,е',(Р) ~ ~ и(Я) и, сй'„1+ а+ее=2 о дхЕ' дув л+ег е — е о е,+й го В несколько ином виде и для более общего случая эта формула была получена С.
Л. Соболевым 1301. Чтобы распространить эту формулу на функции, имеющие производные не обычные, а обобщенные. нам понадобится следующая Лемма 3. Пусть А(Р, е)) есть функция вида (Р. О) Г А(Р, (~) = В (Р, Я) (а 1п г + р), овогнпннныв пноизводныв где В(Р, Я) — ограниченная измеримая функция. Пусвга ч)(Р) = ~ ~ А (Р, 9) и Я) с(Я.
Тогда иэ сходимости о в среднем !! и„(Р) — и(Р) !!с -ь0 вытекает сходимостз е среднем ол (Р) — о(Р) !!ср 0 В самом деле. для первого случая имеем !о„(Р) — о(Р) ! < М / ~ ! и„(ьс) — и(о)! г ' % = 1 1 = М ~ ~ !и„Ю) — и(О\!г ег е а)(Р< < л(((( .(е — (ч)г - «ч)' Ц( -'«ч)«. (( о ,(' )( о Здесь М= знр! В(Р, Я)!.
Вводя полярные координаты с полюсом в точке Р, находим. что 1 '«ч! <(2 л , о где с( — диаметр области О. Таким образом, 1 1 ( «) — (Р)/ <«((2 «) () ) ( ««(ч) — (О)( '«ч! (( о Отсюда 1 1!о„(Р) — о(Р) !лдР < о Р <м(«а«)«) ) ~) ) ( (ч) — (ч)/ - «Ч!«Р= о ( о Р = «( (« г )« )" ( ( ( .. (ч) — (чи" ) ( - «г! «ь о о иа линеиные ноРми~овлнные пРОстРАнстВА !Гл.
и н снова ~ ~ г 'йР~(2пд. а если ввести полярные координаты, но теперь уже с полюсом в точке Я. Таким образом, ~ ! О„(Р) — и (Р) )Р йР ~( а Р+! ~( М(2л4ч ~ ~ ~и„Я) — и Я))ла(1, (!2) а н лемма доказана. Аналогично проводится доказательство для функции А(Р, Сг) второго вида. Пусть теперь функция !р(Р) имеет все обобщенные производные 1-го порядка.
Найдется последовательность! раз непрерывно дифференцируемых функций (гр (Р)1 такая, что !р (Р) сходится в среднем к !р(Р), а †, , сходятся в средд чгггг д! дх!' ду!' нем к, для всех 1П 1!=0, 1...., 1, 1,+1з=1. По дгз дх' ду' формуле С. Л. Соболева 1-1 дам р у»='~~ ",)' Сф(Р) / / р (1;!), н, д!2+ 1,1-!г=! В силу леммы мы можем перейти к пределу под знаком интегралов, входящих в вту формулу. и будем иметь 1-! длм Р(,У) ~ ,'~, Са,,(Р)/ / Р(В, дС)+ а-о 1,+1,-а а +,')", ~~А!!В1,(Р, В-~' —,- Ц. (И) !+1,1 а Таким образом, мы распространили формулу С.
Л. Соболева на функции, принадлежащие пространству грр. !! ововшянныи пвоизводныв 119 Теорема вложения. Теорема (С. Л. Соболева), Пространство»гр' при любом й <1 вложено в пространство Ф'~,~, т. е. любая функция у(х, у), имеющая все обобщенные производные»-го порядка, имеет также при»г <1 все обобщенные производные й-го порядка, причем !!<р!!вц»> <С»!! р!! нн л Пусть ~р(х, у) Е ~ю" и (ц»,(х, у)) — последовательность раз непрерывно дифференпируемых функдий такая, что джей гр,(х, у)-э»р(х, у), " — э»ри '>(х, у) дхлдув д'-'е„ по метрике пространства».р(0). Применим к „" нптедх"'ду»' гральную формулу С. Л. Соболева д~ »'р» I » д» 1~р „, =Оюя()),, „Ж+ дх»'ду"' дх»' ду"' + ')~ / / А)п,(Р, д),~~"„„ж~.
Преобразуя первый интеграл по формуле Грина, будем иметь (14) В силу леммы 2 правая часть равенства (!4) стремится к не- которому пределу (~)=ОК(э,„„,д'щ ~а+ + ~) / »~ АД,(Р, (с)юр~ '+ " '+'"(Я)аЯ. (15) ц+и» а 129 линепные нОРмиРОВАнные НРОстРАнстВА сгл. н Ал сос дк-нср„сл со> Но это значит. что ср„(х, у) — ьср(х у) а дхс' дус' -ь)((х, у), т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
