1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 15
Текст из файла (страница 15)
'8х — уйа — е(х — у„, Ь) — е(Ь, х — у„) +)е~а8Ь 'йт) а. Полагая (х — Г„, Ь) НЬ~Р получаем, что откуда Нх у Ь)Р <И!Р(д',— л) или )(х — у„, Ь)( <)(Ь(()/д„— г(. При Ь = 0 неравенство (5) также очевидно выполняется. Из этого неравенства для любого Ь Е Ь следует )(у„— у, Ь)) <((у„— х, Ь)(+)(х — у, Ь) ( < <(3/и. — и+ 3/~. — 4!! ц, и, полагая, в частности, Ь =у„— учн подучим Ь. — у ~! < У '„— ~+ 3/с( — ~(.
Поэтому последовательность (у„1 сходится в себе, а значит, в силу полноты Н и к некоторому элементу у С Н. Так как Ь замкнуто, то у ~ Ь. Переходя к пределу в неравенстве (5), получаем, что (х — у, Ь) =- О, и так как Ь вЂ” любой элемент подпространства Ь, то х — у ) Ь. Полагая х — у = г, получаем требуемое равенство Остается доказать единственность этого представления. Пусть х=у+х, х=у +2, 88 ЛИНЕЙНЫЕ НОРЫИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА [Гл. и где у, у'~Ь, г, г' ) Е.
Тогда у — у'=г' — г и ((у — у')!г=(е' — е, у — у') = О. (6) ибо у — у' ~ Е, а г' — г ) Е. Но (6) означает, что у = у', следовательно, также г — — г'. Теорема полностью доказана. Элемент у в разложении (4) называется проекцией злемента х на подпространство Е. Легко видеть, что совокупность М всех элементов, ортогональных надпространству С, есть также подпространство; в самом деле, то, что М вЂ” линейное многообразие, очевидно, а замкнутость его следует нз непрерывности скалярного произведения.
Поэтому можно сказать, что элемент г предыдущего разложения есть проекция элемента х на надпространство М. Это надпространство М называется ортогональным дополнением к надпространству Е и обозначается Н вЂ” Е; говорят также, что Н есть ортогональная сумма подпространств Е и М, н пишут Н = А+ М. Очевидно, ортогональная сумма есть частный случай прямой суммы. Теорема дает, таким образом, разложение элемента на проекции на два взаимно дополнительных ортогональных подпространства. Л е м м а 2. Для того чтобы линейное многообразие М было всюду плотно е Н, необходимо и достаточно, чтобы не существовало элемента, отличного от нулевого и ортогонального всем элементам многообразии М. Н е о б х о д и м о с т ь. Прежде всего очевидно, что из х 1 М следует х ) М.
Но по условию М = Н и, следовательно, х ) Н, в частности, х ) х, откуда следует, что х = О, и необходимость доказана. Достаточность. Пусть М не всюду плотно в Н. Тогда М~Н и существует элемент х~ М. По предыдущей теореме имеем х = у+ г, где у ~ М. г ) М, и так как х~ М, то гФО; но это противоречит условию, и достаточность доказана. Ортонормальные системы. Система ен е,, ..., е„, ...
элементов пространства Н называется ортонормальной системой, если (ео е )=б,р Ь 41 АБСТРАКТНОЕ ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО 89 где 6,! — известный символ Кронекера, равный единице при 1=/ и нулю при 1~/. Примером ортонормальной системы является системз [Е42а»2[, П=О, +1, Й2, ..., В КОМПЛЕКСНОМ ПрОСтраиетзс !. [О, 1[. Бесконечная система элементов линейного пространства называется линейно независимой, если любая конечная под- система этой системы линейно независима. Любую систему ЬР й», ..., й„, ...
линейно независимых элементов можно превратить в оргонормальную с помощью следующего процесса ортогонализации Шмидта. л, Полагаем е, = —. Пусть л» = йт — ст,ео Подберем [~и, [[ ' число с, так, чтобы лз было ортогонально еи Очевидно, для этого следует взять см — — (йт, е,). Полагаем ее= — ' А'2 [й2[' при этом [[д»[~ФО, так как в противном случае Р»=О и элементы й, и Ь линейно зависимы, что противоречит усло- вию. Пусть ен ее, ..., е», уже построены.
Возьмем »-1 д'» =й„— ~ с„»е, 4=! и подберем числа с», так, чтобы Р» было ортогонзльно ео е,, ..., е»,; для этого следует взять с»„— — (йю е,). Полагаем е»= — », причем снова ~д»[чьО и т. д. [1 й»[! ' П р и м е р. Если совокупность степеней 1, Г, Г», ..., !", ... ортогонализировать в вещественном пространстве Ь „[а, Ь) функций, суммируемых с квадратом с весом р(!), то мы придем к системе миогочленов )22 (!) = сопз!. !22 ОО Рг (О ° ° Г»а (!) ортогональиых с весом Р(!): » и (!) Р! (!) Л)(!) 4(! = Ь4!. а При р(!) на 1, а = — 1, Ь +1 мы придем с точностью хо постоянных множителей х системе многочленов Лежандра; при Р (!) е ', а:= — со, Ь =+ оо — к системе миогочленов 90 линеиные нормировлнные простРАнствА сгл.
!! Чебышева — Эрмнта; при р(С) е с, и О, а=со — к системе многочлеиов Чебышева — Лагерра. Пусть 1.— подпространство, порожденное ортонормальной СИСтЕМОй ЕР Е„.... Еи, ..., И Х ~ 7.. ДЛя ЛЮбОГО Е ) О СУШЕ- и ~1 ствует, следовательно, линейная комбинация,д~ а,е, такая, что х — ~ае, <е. Но и О х — ~с асе,~ = 1=1 =с!ссхс!2 — ~~~с ас(х, ес) — ~~.", ас(ес, х)+ ~~ ~~'.~~ асас(ес, ес)= Сос С=! 7=1 л и л =) х)с — ~~'„', а,е, — ~~.", а,е;+ ~ ~ас ~2, С 1 С 1 С 1 где с,=(х, е,).
Числа с, называются иое4стсициен рами Фурье элемента х относительно ортонормальной системы (ес]. Из последнего равенства получаем С о о о и 2 и л х — ч.", а,е, = ) х )2 — ~~~~ ! с, !2+ ~ ! а, — с, (2. и Отсюда следует, что норма разности х — ~ч'.~ а,е, принимает с 1 наименьшее значение, когда коэффициенты а, являются коэффициентами Фурье элемента х относительно системы (ес). В этом случае имеем л С2 и О < х — ~ч'' „с,ес~ = ) х )2 — лчи е', < е, (7) с=! Сос и так как е можно выбрать сколь угодно малым, то л со х = 1!ш ~', с,ес —— ~ с,ем к+ли С 1-1 и Из формулы (7) следует также, что ряд ~[с!~а сходится, 1 1 АБСТРАКТНОЕ ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО 91 % 4! причем ~~ ) с,)'=))х))1. 1 1 Пусть теперь х — любой элемент пространства Н. Обовначим через х проекцию х иа Е; тогда Л= Л4 С,ЕР 1=! где с, = (с, е,) = (х, в,) и ~~.", ) с, )т =)) «))1.
1 ! Так как х = в+ у, еЕС, у ) Б. то )) х)~ = ) г ))Я + ) у)~ )~)) л))1. Следовательно, для любого элемента х из Н справедливо неравенство О ~~'.) ) с,)'~~))х))'. (8) где с,=(х, в,) (1=1, 2, ...). Это соотношение называется неравенством Бесселя. Замкнутость в смысле Стеклова. В.
А. Стеклов, исследуя вопрос о разложимости функций по ортогональным системам, ввел важное понятие замкнутости этой системы. Пусть в пространстве Н дана ортонормальная система элементов )в,). Если не существует элемента х ~Н, отличного от нулевого и ортогонального всем элементам системы )в;), то эта система называется полной. Ортонормальная система )в,) называется замкнутой, если подпространство г-, порождаемое этой системой, совпадает с Н. Ряд Фурье по замкнутой системе, построенный для любого хГН, сходится к этому элементу и для любого х~Н имеет место равенство Парсеваля — Стеклова ~ с'1=))х)', 1 ! 92 ЛИНЕИНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА (ГЛ. 1Г Замкнутая ортонормальная система называется также ортонормальным базисом гильбертова пространства.
Если ортонормальная система полная, то она замкнутая. В самом деле. в этом случае не существует элемента, отличного от нулевого и ортогонального линейному многообразию 1., порождаемому системой. Но тогда в силу леммы 2 Х=Н и система полная. Обратно, замкнутая ортонормальная система )е,) полна, так как для такой системы '1 х))з = ~~'.) сзн г 1 и если х ) еР 1=1, 2, ...., т. е. с,=0, 1=1, 2, ..., То 1х)) = О, что означает полноту системы )е,). Примером полной ортонормальной системы является си. 1 ! 1 стема тригонометрических функций =, = соз Т, = з!п г 1Г2п $~гг ')Гп =сов 21, ... в вещественном пространстве Ц) — и, и).
' Легко доказать существование полной ортонормальной системы в любом сепарабельном гильбертовом пространстве. Пусть 0=)дн и,, .... л„, ...) — любое счетное всюду плотное множество в пространстве Н, причем все л „, л = 1, 2..., отличны от нуля. Полагаем е,= —, 1А1 и пусть Л, — одномерное подпространство, порожденное элементом еР Пусть и„,— первый элемент множества О, не пРинадлежащий ьи и ла — пРоекциЯ и„, на Н вЂ” АР Полагаем Аа ег = 1А,!' Пусть Ц вЂ” подпространство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
