1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 10
Текст из файла (страница 10)
4. Если Лх=[гх и хФО, то Л=р. В самом деле, если Лх=йх. то Лх — Ох=0 или (Л вЂ” р)х= О. Отсюда. если предположить, что Л ~ р, х= (Л вЂ” )1)х= О=О, 1 1 что противоречит условию. Отметим. что если Š— линейное пространство, то коммутативность сложения является следствием остальных аксиом.
Действительно, (х+ у) — (у + х) = (х+ у) + ( — 1) (у + х) = = х + у + ( — 1) у + ( — 1) х = х -+ [у+- ( — 1) у[+ ( — 1) х = = х + О+ ( — 1) х = х+ ( — 1) х .=- О. Будем говорить, наконец, что два линейных пространства Н и Е' изохорфны, если между элементами этих пространств можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняюпгее алгебраические операции, т. е. такое, что если х ч-»х' и уч-»у', то х+ у ч-» х'-[- у' и Лх ч-» Лх'.
В линейных пространствах можно ввести понятие линейной зависимости и линейной независимости элементов. Элементы 1' х2' '''' ~в линейного пространства называются линейно независимыми, если из равенства Л1хг+ ) зхз+ ° ° + ) „х„= 0 60 линейные нопмиговлнные ппостплнствл !гл. н следует, что ),, = )!, = ... = ).„= О. Если.
наоборот. сушествуют такие не все равные нулю Х1, Лз.. Х!х!+артха+ ... +Х„х„=О, что л! л ! х = — — х,— — х — ...— =х л„ ~л Л и— или, полагая — — = ао ! л„ х„=а,х, + азха+ ... -+а„!х„! В этом случае говорят, что элемент х„есть линейная комбинации элементов х,, хт, ..., х Линейные многообразия. Непустое множество ь элементов линейного пространства Е называется линейным многообразием, если вместе с элементами х,, х,, ..., х„множество Е содержит любую линейную комбинацию а!х!+ атхз+ ...
-+а„х„ этих элементов. Отметим, что всякое линейное многообразие содержит нулевой элемент О. В самом деле, так как 7. не пусто, то оно содержит некоторый элемент х. Так как 1 в линейное многообразие, то оно содержит и элемент — х=( — 1) х, а следовательно. и х+( — х)=О. Рассмотрим элементы хн хт, ..., ха линейного пространства.
Совокупность всевозможных сумм ~.', а!хн оче!=1 видно, образует некоторое линейное многообразие 1е в Е. то элементы х,, хт, ..., х„называются линейно зпаисимыми. Пусть в этом последнем случае. например, Х„чь О. Тогда % и ЛИНЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 61 В самом деле, если элементы уг имеют вил л у = ~а!х1, 1=1 то любая линейная комбинация этих элементов в силу равенства л )"1У1+ )"туг+ ' ' ' + )'дул Х ргх! 1=1 имеет тот же вид.
Построенное линейное многообразие Ц есть, очевидно, наименьшее линейное многообразие. содержащее элементы хн хя, ..., хл (наименьшее в том смысле. что всякое другое линейное многообразие Е, содержащее элементы хн хт...., х„, содержит Ав). Определение наименьшего линейного многообразия. содержащего заданные элементы, нетрудно распространить и на случай бесконечного, например, счетного множества элементов. В самом деле, пусть )хн хм ..., х„, ...) — счетное множество элементов из Е.
Наименыиим линейным многообразием !'.в, содержащим эти элементы, будет множество всевозможных сумм вида ~~З~ ).!х!. где не только 1=1 ).! — произвольные числа, но и й принимает произвольные натуральные значения. Наименьшее линейное многообразие. содержащее заданные элементы, называют также линейным многообразием, порожденным данными влементами, или линейной оболочкой этих элементов.
Если линейное многообразие Е пространства Е определяется конечным числом элементов, то оно называется конечкомерным. Если Е определяется элементами х„ хм .. „х„и эти элементы линейно независимы, то и называется числом измерений линейного многообразия Е. В этом случае совокупность элементов хн хм ..., х„называется базисом Ь ч). Если же элементы хн хт, ..., х„линейно зависимы, то числом измерений линейного многообразия Ь называется максимальное число линейно независимых элементов из совокупности х,, хз, ..., х„.
") Определение базиса для некоторых бескоиечиомерных пространств булет дано виже. Иными словами, Е будет п-мерным, если в Е существуют и линейно независимых элементов, а всякий (и-+ 1)-й элемент этого линейного многообразия линейно зависим, Если в пространстве Е (лннейном многообразии Е) для любого числа и существует и линейно независимых элементов, то пространство Е (линейное многообразие Е) называется беснонечномернмм.
Например, легко видеть, что пространство С [О, 11 бесконечномерно. Прямые суммы. Введем понятие о разложении линейного пространства в прямую сумму двух или нескольких линейных многообразий. Пусть Š— линейное пространство и ЕР Ез, ..., ń— принадлежащие ему линейные многообразия. Если каждый элемент х ~ Е однозначно представим в виде х=х,+ха+ ... +хи, х,ЕЕ1, 1=1, 2, ..., и, (1) то говорят, что пространство Е есть прямая сумма линейных многообРазий ЕР Ея, ..., Ел, а выРажение' (1) называют разложением элемента х по элементам из ЕР Е2' ' " '' Ел' Будем писать в этом случае и Š—,", Щ Е1. Легко видеть; что если и!! а Е1= ~ Я Е!А1, и=! Е=~ !Д1ЕР то Ф! Е=Х БЕЕ"! 1=! А=! В самом деле, тогда каждый элемент х ~ Е представим в виде и и х= ~ х,= ~'.~ (х~!'~+хдзо+...
+х~„'!), х, ЕЕН х!А!ЕЕ!а! ° 1=! 1=! и это представление однозначно, ибо если л и х= ~.", х, = ~'„',(х~!'!+ х!з'!+ ... +х1п,) 1 ! 1=! 62 линеиные нОРмиРОВАнные ИРостРАнстВА !Гл. !г ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА — лругое такое представление, то в силу однозначности разложения элемента х ~ Е по элементам линейных многообразий 1.)...., с.„ имеем ХС=ХС +Ха +... +Хт =ХС +Ха +,, +Хм) = ХС ° сс> сс> п> -сс> -«) -сс) а в силу однозначности разложения элементов хс~йс по влементам линейного многообразия Ес, 1.з, ..., Ет имеем Сн П) Сс> тс хсьо = х~с>, С = 1, 2, ..., и; й = 1. 2, ..., т,.
Нетрудно доказать, что если Е=1.)ЩЕН то Ес и Ез имеют общим лишь нулевой элемент пространства. В самом леле, если бы 1.) и Ес содержали другой общий элемент и, то для элемента х~Е, имеющего представление х=у+«. у61ч, «ЕЦ. мы имели бы также представление х = (у — и)+ («+ сс), у — и ~ Е,, «+ и ~ 1м отличное от первого, что по условию невозможно. Обратно, если любой элемент Х~Е может бысль иредстаелен е виде х=у+«, уЕЕ). «Е~м (2) и Ес ПЕа — — О, то Е=1> ® Цш Для доказательства этого утверждения достаточно установить однозначность разложения (2).
Но если х=у+«=у+«у й~с ««Е~з то у — у=« — «у — убью> « — «Е~з. В силу сделанного предположения отсюда следует. что у — у= « — «=О. т. е. у =у, «= «, что и требовалось доказать. В ряде случаев оказывается полезным понятие о прямой сумме двук .или нескольких пространств. Пусть Е,, Ем ..., Е„ — линейные пространства. Рассмотрим множество Х всевозможных упорядоченных систем х = (хн ..., х„) элементов данных пРостРанств (х, ~Ее.
64 линейные нОРмиРОВАнные пРОстРАнстВА 1гл. 11 1=1. 2, ..., П). ЕСЛИ даНЫ таКИЕ СИСТЕМЫ Х=(ХР Хя, ..., Хн) и у=(у,, уя ..., у„) и скаляр Л, то положим х+у==.(х,+ун ха+уз, .... х„+у„) и Лх=(Лх,, Лхм ..., Лх,). Легко проверить, что для определенных так операций сложения и умножения на скаляр все аксиомы линейного пространства выполняются, так что множество Х рассматриваемых упорядоченных систем является линейным пространством. Если все пространства Е, являются метрическими пространствами, то Х можно метризовать, полагая, например, р(х, у) =п1ахр(хн у,) или / и р(х, у) = $/:~~ рз (хн уг).
тле р(хг. у,) — расстояние между точками х, и у, пространства ЕР Из полноты пространств Е,, Е,, ..., Е, следует полнота пространства Х. Доказательство этих утверждений предоставляем читателю. Пример. Пусть Е1 для любого 1 — числовая прямая. Тогда п ч~ч щ Еь метрнзованное вторым способом, есть и-мерное евклндоно 1=1 пространство. Факторпростраиствп. Рассмотрим линейное пространство Е и некоторое линейное многообразие Ае, принадлежащее Е.
Пространство Е как группа по отношению к операции сложения распадается на классы смежности по отношению к подгруппе Ее. Именно, пространство Е распадается на множества Ь такие, что два элемента х, и хз принадлежат одному и тому же множеству О тогда и только тогда, когда х, — хя принадлежит Ц.
Если х' — произвольный элемент из Ь, то всякий другой влемент из Л представим в виде х = х'+ хе1 где хе ~ Е, ФН ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА Можно поэтому сказать, что Е образовано «сдвигом на х'» линейного многообРазиЯ 2'.о Построим факторгруппу Егьа. Элементами ее являются множества Ь, образованные сдвигами линейного многообразия Е . Операция сложения в ЕГт.о определяется следующим образом: пУсть хч и Ео — элементы из Е)йо; тогда сУммой хч.+ Ех называется класс смежности, образованный из всевозможных сумм х,+хх, где х,це1, х,~Ц, 11+Аз есть действительно класс смежности, так как если х, + х и х,'+ х'— два элемента этого множества, то (Х1 + х,) — (Х1'+ хо) = (Х1 — х,')+ (хо — х,') = хо+ уо Е Ео так как хо, уоЕЕо и Ео — линейное многообразие.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
