1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 8
Текст из файла (страница 8)
Так как множество Мг нигле не плотно, то внутри шара Т(а!, г,) 1 найдется шар Ь'(аг, гг) радиуса гг ( —,, не содержащий точек множества Мг, и т. д. Получим последовательность замкнутых шаров 3(а!, г,), 3(аг, гг)... „5(а„, с„), ..., каждый из которых вложен в предыдущий и радиусы которых стремятся к нулю. При этом шар 5(а„, г„) не содержит точек множества Ми Мг, ..., М„. По теореме 1 существует точка аз~Х, принадлежащая всем шарам.
С другой стороны, эта точка ие не принадлежит ни одному из множеств М,; поэтому а ЕХ=ЦМ„. в=1 Мы получили противоречие, которое и доказывает теорему. 5 7. Принцип сжатых отображений Хорошо известен метод последовательных приближений, или итераций, широко применяющийся для доказательства теорем существования решений алгебраических, дифференциальных, интегральных и других уравнений. Большое значение этого метода заключается, кроме его широкой применимости, также в том, что он может служить для получения приближенных решений уравнений. Метод последовательных приближений для различных типов уравнений укладывается в рамках функционального анализа в общую схему и 1тп.
! МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА приволит к прин нину сжатых отображений (сформулированному польским математиком С. Банахом). Теорема 1. Пусть в полном метрическом просвьранстве Х дан оператор А, переводящий элементы пространства Х снова в элементы этого пространства. Пусть, кроме того, длп всех х и у из Х р(А(х), А(у)) <пр(х, у), (1) где а<1 и не зависит от х и у. Тогда существуепь одна и только одна точка хз такал, что А(хе)=х„.
Точка хз называется неподвижной точкой оператора А. Возьмем произвольный фиксированный злемент х Е Х и положим х,=А(х), ха=А(х), . ° . хи=А(хи-ь) Покажем. что последовательность [хл) сходится в себе. Лля второ заметим. что р(хи хз)=р(А(х). А(х,))~(ар(х. х,)=пр(х, А(х)), р(хз. хз)=р(А(х,), А(хт)) <ор(хи хз)~(а'р(х, А(х)), р(хл, хл,)~(а"р(х, А(х)), Далее р(хл, х,+ ) <р(хл, хл+,)+ +Р(тлло хила)+ ' ' ' +р(хллр-Р «и+р) < (ил +ил+ь+ +ил+э-ь)р(х А (х) ) аи — аи Ь и р(х, А(х)), (2) Так как по условию а < 1. то р (х„хи „) < —" р (х, А (х) ), откуда в свою очередь следует, что р(х„хльр) — ьО при п -и со. р ) О. Значит, последовательность (х„] сходится в себе.
В силу полноты пространства Х сушествует злемент хз Е Х. являвшийся пределом этой последовательности. ха — — 1нп х,, и ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОЗРАЖРНИЯ Докажем, что А(хе) =хе. В самом деле, Р(хо А(хо))«(Р(хе хл)+Р(хл' (хе))= = р (х, х„) + р (А (хл,), А (хе) ) «( (р(хе, хл)+ар(х,, хе).
Но при любом заданном е > О н достаточно большом л е л о(хе хл) ( 2 Р(хе хл 1) ( Следовательно, р(хе А(ха)) (е. Так как е) О произвольно, то р(хе, А(хе))=О, т. е. А (хе) = хе, что и требовалось доказать. Предположим, что существует два элемента хв, узЕ Х такие, что А(хо)=хо А(уо)=уе Тогда Р(хо Уо)=Р(А(хо) А(уо)) (ао(хе, уе).
Если допустить, что р(хе, уе) ) О, то из предылущего следует, что 1 «(а, что невозможно в силу условия. Если перейти в формуле (2) к пределу при р-+со, то придем к оценке ошибки и-го приближения ал Р(хл .Хе) «( 1 р(х, А(х)). 3 а м е ч а н и е 1. Построение последовательных приближений хл, сходящихся к неподвижной точке хе, можно производить, исходя из любого элемента х ~ Х. Выбор элемента х бУдет сказыватьсЯ лишь на быстРоте сходимости (хл) к своемУ пределу.
Замечание 2. Иногла приходится рассматривать отображение А такое, что неравенство (1) выполняется не во всем пространстве, а лишь в некоторой замкнутой окрестности 5(х, г) какой-либо его точки х. Тогда принцип сжатых отображений можно применять при дополнительном условии, что оператор А преобразует этот шар в себя и потому последовательные приближения не выходят из рассматриваемой окрестности.
Пусть, например, в дополнение к нера.- 1гл. ! МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА венству (1) удовлетворяется неравенство р(х, А (х)) ~ (1 — а) г. Если х~У(х, г), то и А(х)ЕУ(х, г), так как р(А(х), х) ~(р(А(х), А(х))+ р(А(х), х) ~( Сор(х, х)+р(х, А(х)) ~(аг+(1 — а)г =г. Поэтому можно рассматривать А как оператор, действующий в полном метрическом пространстве 5(х, г) (см. стр. 30) и удовлетворяющий в этом пространстве условию 1. Но тогда по доказанному оператор А будет иметь в Я(х, г) единственную неподвижную точку.
Приведем несколько примеров применения принципа сжатых отображений. Решение систем линейных алгебраических уравнений методом итераций. Рассмотрим арифметическое п-мерное пРостРанство. Если х = )Е!, $з, ..., $„), У = )т1И !)з, ..., т)„), то положим р(х, у) =п!эк )$! — Т;). Легко доказать, что определенное так метрическое прост ранет во гв„полное. Рассмотрим в этом пространстве оператор у=А(х), заданный с помощью равенств т)г= Х а!)$)+Ь! г=1 2 " и. /=1 Имеем р (у,, уз) = р (А (х ), А (х,) ) = шах) П!!П вЂ” т)!!з! ) = ! я я = шах ~ ~ а! (~~Р— $С~з!) < !пах ~ ) а, ) ) $~'~ — ~<~>)~~ ~( шах ~ ) а! ) шах) $!!! — $<з! ) = ! у=! ч = шах ~~.", ) а!!) р(хи ха).
! )=! поинцип сжлтых отовялжвнип Если теперь предположить, что л 1~а„! <1 (4) для всех Е то мы окажемся в условиях применимости принципа сжатых отображений и, следовательно, оператор будет иметь единственную неподвижную точку. Таким образом, мы получили теорему. Т е о ре м а 2. Если мат рици (агу) такова, что и ~~~ !аг~~ < 1 для всех Е то система уравнений у=! и ~! —,~~ а!4.=дг, (=1, 2, ..., н, /лу имеет единственное решение хе= ($!!"!, $!г!..... $Ю!~ Это решение можно лолучить методом итераций, исходя из произвольного вентора х= Я!. йг, ..., !„!. Условие (4) есть достаточное условие сходимости метода итераций для рассматриваемой системы. Если в и-мерном пространстве ввести другую метрику, то получим другое условие сходимости.
Пусть, например, / и Р (» у) = $/ Х (В! Ч!) При такой метрике р(у,, уг) =р(А(х,), А(хг))= / и л Поэтому условием сходимости метода последовательных приближений будет на этот раз неравенство л л ~г ~~'., а'! < !. г=! у=! МВТРИЧНСКИЕ ПРОСТРАНСТВА ~гл. ! Существование и единственность решения интегрального уравнения. Пусть К(1, г) — действительная функция, определенная и измеримая в квадрате а ( г, а ( Ь и такая, что ь ь ~ ~ К'(~, а)Жь(з(+ со, и пусть /(1)ЕЕТ[а, Ь[. Покажем, что тогда интегральное уравнение ь хЯ=[(Г)+ ) / К(С з)х(а) й О имеет при 'каждом достаточно малом значении параметра Х единственное решение х (1) ~ ьа [а.
Ь[. Рассмотрим оператор ь Ах = У (1) + Х / К (Е, г) х (а) ~й. ь Покажем. что этот оператор переводит каждую функцию х(О~Аз[а, Ь[ н функцию, принадлежащую снова тому же пространству. Так как У(~)ЕЕ~[а, Ь[, то достаточно доказать. что оператор ь А (х)= [ К(Г, з) х(г)гй О переводит каждую функцию х (Ь) Е Ц [а, Ь[ в функцию из того же пространства. Из условия (5) и теоремы Фубнни (см..
например, [21[) следует, что Ка(г, з) интегрируема по г на [а, Ь[ для почти всех Ь из [а, Ь[. Отсюда вытекает для почти всех г из [а, Ь[ существование интеграла К (г, а) х (8) па — у (г). ь ПРИН11ИЯ, СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЯ Тогда по неравенству Буняковского ь ь ь ут(~) = [ ~ К (С, г) х (а) й) ( ~ К2(С, а) 1й ~[ х2 (2) й. а а а Так как функция ~ х2(2)ьЬ а постоянная, а [ К2(Р, г)гга интегрируема по 1 на [а, Ь[ в силу условия (5) и теоремы Фубини, то ут(г) также интегрируема по г на [а, Ь[, причем ь ь ~ у2(1),УГ ~~ ~ ~ Кг(ь а) ДХ~ .2(а),( Оценим теперь р(А(х), А(у)). Имеем р(А(х), А(у)) = ьу ь = ~~) ~К(~, а) а а — ~1~([([«й.
ь ь <~)~~~ ~к (~, а а ь ь = [). [ ~ ~ [" д (~, а а 1 Ь ')2 '[2 х (г) 1й — Х / К (г, г) у (а) гй~ ь(г ~ а ! г)[х (г) — у (2)[ гй И ( 1 1 — ) ь 12/ '1 2 г) гь'1 гЬ ~ [х (г) — у (а)[2 122 й 1 '1 2 а) аггда [ р(х, у). МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА [ГЛ. [ Если (6) а Ь Ь ~ Кт(й а)Л[ла а а то мы находимся в условиях применимости принципа сжатых отображений.
Поэтому существование и единственность решения рассматриваемого интегрального уравнения при зна- чениях А, удовлетворяющих У неравенству (6), доказаны. Применение к уравне- ниям в частных производ- Р м ных. В качестве третьего примера рассмотрим задачу Коши для квазилинейного гиперболического дифференциального уравнения второго 4' тт порядка с двумя независимы- 0 ми переменными. Пусть в плоскости хОу Рис.
!. (рис. !) задана гладкая кри- вая АВ такая, что любая прямая, параллельная оси х или оси у, пересекает ее не более чем в одной точке. Требуется найти функцию и(х, у), удовлетворяющую внутри криволинейного треугольника АВС уравнению ит=у(х, у, и, и„и ) итакую, что и, и = — р и и =д принимают вдоль АВ заданные непрерывные значения. Без ограничения общности эти значения можно принять тождественно равными нулю (см. (9), т. П, гл. Ч, 9 5). Известно, что решение этой задачи Коши сводится к решению нелинейного интегрального уравнения и(х, у) = ~ / [ (с, т[, и($, т!), и„(з, т!), и„(е, т!)) с[$ с[т[.
Рассмотрим пространство Х, элементами которого являются функции и(х, у), определенные в замкнутом криволинейном треугольнике АВС, непрерывные в этой области и имеющие Ь 71 ПРИНЦИП СЖАТЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ непрерывные частные производные первого порядка. Расстояние зададим формулой р(и, о)=тах] и(х, у) — о(х, у)]+ лвс +пах] и (х, у) — о (х, у)]+~пах]и (х, у) — о„(х, у)]. Авс лвс Легко проверить, что при таком определении расстояния Х будет полным метрическим пространством, сходимость в котором означает равномерную в АВС сходимость последовательности функций и последовательностей их производных к предельной функции и ее производным.
Предположим теперь, что в пространстве независимых переменных х, у, и, р, д при условии, что точка М (х, у) не выходит из АВС, а переменные и, р, д подчинены ограничению ]и] <а, ]р]ч а, ]д] <а, где а — некоторая константа, функция Г'(х, у, и, р, д) непрерывна по совокупности переменных и, более того, по переменным и, р, д удовлетворяет условию Липшица ] г'(х, у, и, р. д) — г'(х, у, и, р, д) ] ( .<А]] и — й]+] р — р]+]д — д]!, где б — некоторая константа.
Из этого, в частности, следует, что г"(х, у, и, р. д) ограничена в рассматриваемой области. Введем в пространстве Х оператор о(х, у) = У(и) = ~ ~,Г ($, т), а, и,ь и ) афй). м~ о Замечая, что О„(х у) = ~ т (х, гь и, и„, и„)тгть ом От(х, У)= ~ У(~, у, и, и„, и )тгь, РМ получим ]о(х, У)] <КгЬЬ, ] о„(х, У)] (Кг(, ]тт (х, у)] <К,Ь где К=апр]у(х, у, и, р, д)] 52 [Гл. т МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА при йт(х, у)ЕАВС и [и~~(а, [р!~4а. ~б~ <а. а б — наибольшее из расстояний АС и ВС. Если предположить, что выполнены соотношения Кб'<З и Кб<З то оператор У переводит замкнутый шар 8(8, а). где 0(х, у) — функция тождественно равная нулю, пространства Х в себя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
