1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 3

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 3)

Тогда множество Х называется частично упорядоченным, а элементы а и Ь. для которых имеет место соотношение а ( Ь или Ь ( а, называются сравнимыми. Множество Х называется упорядоченным 1или линейно упорядоченным), если для любых двух различных элементов а и Ь этого множества либо а ( Ь, либо Ь ( а. Подмножество )с частично упорядоченного множества навывается ограниченным сверху, если существует элемент Ь такой, что у ( Ь для всех у ~ у. Элемент Ь называется верхней границей множества у. Наименьшая из всех верхних границ называется точной верхней границей илн верхней гранью множества.

Аналогично определяется множество, ограниченное снизу, нижняя граница и точная нижняя граница илн нижняя грань мнохсестеа. ьтетРические пРОстРАнстВА (гл, ! Наконец, элемент гс~ Х называется максимальным, если в Х не существует элемента х + гв, удовлетворяющего соотношению га < х. Имеет место следующая весьма важная Лемма Цор на. Если в частично упорядоченном множестве Х для всякого упорядоченного подмножества Т существует верхняя грань, то в Х существует максимальный элемент гс. Упорядоченное множество называется вполне упорядоченным, если любое его непустое подмножество имеет минимальный элемент, т.

е. элемент, предшествующий всем элементам подмножества. Теорема Цермело. Всякое множество путем введения некоторого соотношения порядка можно сделать вполне упорядоченным. Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы Цермело опирается на так называемую аксиому произвольного выбора Ц е р мело, утверждающую, что если дана любая система непустых попарно непересекающихся множеств, то существует новое множество, имеющее с каждым из множеств системы по одному и только одному общему елене н т у.

Можно показать, что лемма Цорна, аксиома Цермело и теорема Цермело — эквивалентные друг другу утверждения. Подробнее об этом см, [5[ и [2![. П р и м е р. Пусть М вЂ” некоторое непустое множество н Т (г[ — совокупность его подмножеств г. Будем считать, что г, < гт, еслу г, ~ гв Очевидно, что введенное таким образом соотиошейие порядка удовлетворяет указанным выше трем условиям.

Ясно также, что когда М содержит более двух элементов, прн таком упорядочивании множество Т не будет упорядоченным (тем более вполне упорядоченным). Если 8 — любое подмножество Т, то оно ограничено сверху и его точной верхней границей будет множество =0 !Сз Б Т существует максимальный элемент; зто само множество М, рассматриваемое как подмножество, и лемма Цорна в этом случае очевидна. Теорема же Цермело утверждает, что Т можно сделать вполне упорядоченным, введя в ием иное соопюшенне порядка, но как зто сделать — нз теоремы не вытекает, так как доказательство ее носит неконструктивный характер.

МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 5 2. Метрические пространства В математическом анализе мы встречаемся с несколькими понятиями предела. причем в некоторых случаях для послеловательности одних и тех же математических объектов в связи с разий~ми аадачами вводятся разные понятия предела. 11режде всего мы встречаемся с понятием предела последовательности вещественных чисел. Это понятие непосредственно обобщается на последовательности комплексных чисел и и-мерных векторов.

Затем для последовательностей функций мы имеем ряд понятий сходимости: простой (неравномерной). равномерной, в среднем и т. д, Все этн понятия сходимости имеют большей частью то общее, что сходимость последовательности элементов х„ (являющихся числами, векторами или функциями) к влементу х означает неограниченное «сблнженне» х„ и х, неограниченное уменьшение «расстояния» между этими элементами при неограниченном увеличении номера п. И в зависимости от того, как мы понимаем расстояние между элементами х„ и х, мы получаем различные определения предела.

Но тогла представляется целесообразным для некоторых множеств элементов дать общее определение расстояния между элементами, которое охватывало бы рассмотренные частные случаи, а затем с помощью этого расстояния ввести в множество понятие предельного перехода и превратить это множество в пространство. Метрическое пространство. Множество Х называется л~етрическим пространством, если каждой паре его элементов х и у поставлено в соответствие неотрицательное вещественное число рх(х, у), удовлетворяющее следующим условиям: 1) рх(х, у) = 0 тогда и только тогда. когда х = у (анси алла тождества).

2) рх(х, у)=рх(у, х) (ансиома симметрии). 3) р„(х, у)+рх(у, а) )~рх(х. Е) (аксио.иа треугольника). Это число рх(ж, у) нааывается расстоянием между элементами х и у, а перечисленные три условия — аксаолзами метрики. Очевидно, что аксиомы метрики представляют собой формулировку наиболее общих свойств расстояния МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 1гл. 1 между точками обычного трехмерного евклидова пространства. В дальнейшем. если ясно, о каком метрическом пространстве Х идет речь, то вместо рх(х, у) будем писать просто р(х, у).

Элементы метрического пространства будем называть также и точками. Наконец, отметим, что всякое множество Г, лежащее в метрическом пространстве Х и рассматриваемое с теми же расстояниями между злементами, что и в Х, является само метрическим пространством и называется подпрост ранством пространства Х.

Предел последовательности. Элемент х метрического пространства Х называется пределом последовательности элементов х,, х,, ..., х„, ... из Х, если р(хп, х)-ь0 ПРИ П-ьоО. Будем писать в этом случае хп или Б го х„= х. п Относительно сходящихся последовательностей точек метрического пространства можно высказать несколько общих теорем. Т е о р е и а 1. Если последовательность точек (хп) метрического прост ранства Х сходится к точке х Е Х.

то и любая подпоследовательность (х„) последовательности (хп) сходится к втой же точке. доказательство очевидно. Т е о р е и а 2. Последовательность т очек (х„) метрического пространства может сходиться не более чем к одному пределу. Пусть х, — ь х и хп — ь у. Тогда, каково бы ни было г)0, р(х, у) (р(хю х)+р(хп, у) ч. г для достаточно больших п. Так как х и у — фиксированные точки, а в в произвольное положительное число, то это неравенство возможно, лишь если р(х, у)=0, т.

е. х =у. Те о рема 3. Если последовательность (х„) точек ил Х сходится к точке х Е Х, то числа р(хп, О) огра- МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 17 ничены длн любой фиксированной точки О пространства Х. В самом деле, по аксиоме треугольника для любого и имеем р(х„О) <р(х„, х)+р(х, О) ~<й+р(х, О) =К, нбо (р(х„, х)] как сходящаяся числовая последовательность ограничена и, следовательно, числа р(х„, х) не превосходят некоторой постоянной 7.. Назовем шаром (соответственно замкнутым шаром) с центром в точке а и ралиусом г совокупность точек х пространства Х, удовлетворяющих неравенству р(х, а) < г (соответственно неравенству р(х, а) < г).

Будем обозначать такой шар 8 (а, г) (соответственно 3(а, г)). Назовем, далее, окрестностью точки х любой шар с центром в этой точке. Легко видеть, что точка х является пределом последовательности (х„1 тогла и только тогда, когда любая окрестность точки х содержит все точки рассматриваемой последовательности, начиная с некоторого номера. Множество, лежащее целиком внутри некоторого шара, называется ограниченным. Иногда бывает, что в некотором пространстве непосредственно задано понятие предела последовательности элементов. Если в этом пространстве можно ввести метрику так, что определяемое ею понятие предела последовательности будет совпадать с уже имеющимся понятием предела, то говорят, что данное пространство можно метризовать. Замыкания.

В метрическом пространстве могут быть введены многие важнейшие понятия, с которыми мы встречались в теории точечных множеств, расположенных на прямой. Так, если дано множество М ~ Х, то точка а Е Х называется предельной точкой этого множества, если любая окрестность точки х содержит хотя бы одну точку множества М ', а.

т. е. если 8(а, г) П(М ', а) Ф Я для любого г. Множество, полученное присоединением к М всех его предельных точек, называется замыканием множества М и обозначается М. 1В метпические пРостРАнстВА х„-ьхо (хя «ос М) г'(х,) -ь г (ха). то Верно и обратное утверждение: если ,1(х„) -ьУ (ха) для любой последовательности 1«„) с М. сходящейся к хе~ М, то функция у'(х) непрерывна в точке хе. Локавательство этих утверждений точно такое же, как для вещественнык функций вещественной переменной. Нетрудно установить, что замыкания точечных множеств метрического пространства облалают теми же основными свойствами, что и замыкания числовых точечных множеств.

Характеристики

Список файлов книги