1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 2

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 2)

Обобщение основных понятий математического анализа стало возможным потому, что в процессе развития различных его ветвей обнаружилось много общего в понятиях и методах, ВВЕДЕНИЕ которыми там пользуются, причем часто эти понятия и методы находят себе впало~ни в алгебре и геометрии. Так, метод последовательных приближений применяется для получения решения самых разнообразных задач алгебры и анализа. Далее, определение ф>нкционала, экстремума функционала и условия существования экстремума в вариационном исчислении аналогично определению функции (одной или нескольких переменных), экстремума функции и условия его существования в дифференциальном исчислении.

Оошеизвестны аналогии между теорией линейных обыкновенных дифференциальных н линейных разностных уравнений, с одной стороны, и теорией систем линейных алгебраических уравнений, — с другой. Еще более последовательно эти аналогии выявились в исторически позже возникшей теории линейных интегральных уравнений. Наряду с обобщением понятий анализа в математике прои сходил процесс обобщения геометрических понятий, начавшийся открытием Лобачевским неевклидовой геометрии.

Соз дание геометрии л-мерного пространства позволило геометрически толковать функции многих переменных как образы многомерной геометрии. Вместе с тем стали выявляться новые аналогии между анализом и геометрией, причем возникавшие новые возможности геометризации анализа требовали дальнейшего обобщения геометрических понятий. Приведем некоторые примеры. Совокупность решений линейного однородного обыкновенного дифференциального уравнения порядка л изоморфна л-мерному векторному пространству.

Для совокупности решений линейного однородного уравнения в частных производных геометрическим аналогом будет бесконечномерное обобщение и-мерного векторного пространства. Замечательный пример далеко ведущей н глубокой аналогии между понятиями анализа и геометрии дает теория разложений по ортогональным системам функций. Эти системы во многом сходны с системами ортогональных векторов евклидова пространства, что подчеркнуто их названием.

Разложению вектора по осям отвечает разложение функции в ряд Фурье, теореме Пифагора отвечает теорема Парсе- валя — Стеклова и т. д. При этом для геометрического изображения бесконечной ортогональной системы функций снова потребовалось бесконечномерное обобщение евклидова пространства. ВВЕДЕНИЕ С развитием математического анализа и геометрии не только увеличивалось число аналогий как между понятиями различных областей анализа, так и между понятиями анализа и геометрии, но также становилось ясным, что аналогии в развитых теориях являются следствиями родства в понятиях, лежащих в основе этих теориИ.

Такими понятиями являются понятия функциональной зависимости, предельного перехода. близости, расстояния. которые явно или неявно и в разных формах используются в этих теориях, Как уже указывалось, характерным для функционального анализа является не только обобщение, но и геометриэация основных понятий и методов клзссического анализа. Функции тех или иных классов рассматриваются как точки или векторы «функциональных пространств». Как мы уже говорили выше, такое рассмотрение потребовало дальнейшего обобщения геометрических понятий — бесконечномерных евклидовых, векторных и других пространств.

Это привело в конце концов к создани|о общих понятий метрических, линейных нормированных, топологических простракств, охватывающих как ранее рассматривавшиеся геометрические объекты, так и разные функциональные пространства. Введение абстрактных пространств позволило трактовать многие вопросы анализа в терминах геометрии. Такое геометрическое изложение аналитических теориИ широко применяется не только в математической литературе, но и в работах по физике и механике.

Многие факты были при этом угаданы по аналогии с фактами и-мерной геометрии, доказательства многих других были получены геометрическим путем. Таким образом, был обретен новый геометрический метод в анализе. Одновременно с обобщением геометрических понятий происходил процесс обобщения алгебраических понятий. С одноИ стороны, алгебраические операции над числами переносились на объекты более широкой природы (матрицы. операторы и т. д.).

Возникают и внедряются в разные отделы математики понятия группы, ~ ольда, поля и т. д. В связи с применением алгебраических понятий к анализу начинают рассматриваться алгебраические образования, в которых введен предельный переход. С другой стороны, всв более широко начинает использоватьсн тот факт, что опе» рации анализа являются предельными для алгебраических. вввдвннв И обобщения алгебраических понятий в функциональном анализе играют ту же роль, что и соответственные элементарные главы алгебры в обычном классическом анализе. Так, линейной алгебре отвечает теория линейных операторов, которой посвящена значительная часть этой книги.

Основной метод анализа — аппроксимапия нелинейного объекта линейным — переносится и в функциональный анализ (см. гл. Н1!1). Предельному переходу от многочленов числового аргумента к более произвольным функциям его отвечает предельный переход от «многочленов на кольцах» (кольца матриц, операторов и т. д.) к более произвольным функциям таких аргументов. На этом основаны такие важные дисциплины, как матричное исчисление, операционное исчисление, спектральная теория линейных операторов (см. гл.

НП). Развившись в большую самостоятельную математическую дисциплину, функциональный анализ и поныне продолжает ассимилировать и обобщать методы других. уже более новых математических дисциплин. Достаточно назвать интенсивно развивающиеся в последние годы теорию линейных топологических пространств, теорию представлений групп и некоторые другие современные разделы функционального анализа. ГЛАВА 1 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА 9 1.

Функциональная зависимость. Пространство. Упорядоченность Одним из основных понятий математического анализа является понятие функциональной зависимости. Напомиим опрелелеиие функциональной зависимости, даваемое в анализе: пусть Х и У вЂ” два множества вешествеииых чисел; если каждому числу я ~ Х по некоторому закону (правилу) ставится в соответствие единственное число у ~ У, то говорят, что иа множестве Х определена однозначная сбуннция у =г (х), область аиачеиий которой расположена в множестве У. Множество Х называют также областью оиределения функции.

Легко видеть, что для идеи функциональной зависимости ие является необходимым, чтобы Х и У были множествами вещественных чисел. Понимая под Х и У множества злементов различного характера, мы приходим к поиятию более обшей фуикциоиальиой зависимости, примеры которой имеются в разных ветвях математического анализа. Примеры. 1. Пусть у=у(хь хь ..., хи) — вещественная функция и вещественных переменных.

Тогда Х есть множество упорядоченных систем из и вещественных чисел, У вЂ” множество вещественных чисел. 2. Пусть у =у(х) — вектор-функция, относящая вещественным числам х и-мерные векторы у. Здесь Х вЂ” множество вещественных чисел, У вЂ” миожество и-мериых векторов. 3. В вариациоияои исчислеиии рассмзтриааются фуикциоиалы 12 МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА (ГЛ. 1 где Т вЂ” кривая, заданная уравнением у=у(х), в котором у(х) принадлежит классу С, функций, обладающих непрерывной производной, н проходящая через две данные точки А (а, у ) и В(Ь, уа). В атом случае Х вЂ” множество кривых с указаниымй свойствами, У вЂ” множество вещественных чисел.

4. В теории интегральных уравнений рассматривается выражение вила У(г)= ~ К(й 5)х(5)аз. е предполагается, что ядро К (й 5) определено и непрерывно в квадрате а < й 5 < Ь. Тогда написанное равенство можно рассматривать как некоторыйзакон, соглащю которому каждой функции х(Г), непрерывной на [а, Ь[, соотносится другая функция, непрерывная на том же отрезке. Здесь Х и У вЂ” множества непрерывных функций.

Введем теперь общее определение функциональной ззвисимости. Пусть даны два произвольных множества Х и У и дан закон (правило), согласно которому каждому элементу х ~ Х ставится в соответствие единственный, вполне определенный элемент уЕУ. Будем говорить тогда, что задан оператор у=,г (х) (пишут также у=Гх), определенный нз множестве Х, с областью значений, расположенной в множестве У*).

Говорят также, что задано олгобразкение множества Х в множество У. В том частном случае, когда значения оператора являются вешественными числами, оператор называется функционалом. Элемент у ~ У, соответствующий при отображении у =.— у (х) влементу х ~ Х, называется образом элемента х, а х— прообразом элемента у ~ У. Если отображение у =г'(х) переводит Х на У, то, очевидно, у каждого элемента у~У сушествует по крайней мере один прообраз х. В том случае, если у каждого у С У имеется только один прообраз х Е Х, отображение Х на У, устанавливаемое формулой у = /(х), называется взаимно однозначным. ') Условимся говорить, что нвкоторое обстоятельство имеет место на мнохеестее, если оно имеет место для всех элементов этого множества, и е множестве, если оно имеет место, может быть, не для всех злементов множества а и ФункциОнАльнАя 3АВисимОсть.

пРОстРАнстВО 13 Относительно свойств операторов, определенных таким весьма общим образом, почти ничего нельзя сказать. Поэтому введем дополнительные предположения. Наряду с понятием функциональной зависимости лругнм основным понятием анализа является понятие предела и связанное с ним понятие непрерывности. Множество. в котором тем или иным способом определено понятие предела последовательности, называется прост ранет еом.

Пространства, элементами которых являются функции или числовые последовательности, будем называть функциональными пространствами. Изучение некоторых классов операторов, определенных в функциональных пространствах, и составляет основное содержание функционального анализа. Остановимся еще на некоторых понятиях, используемых в функциональном анализе. Пусть в множестве Х объектов некоторой природы для некоторых пар элементов а, Ь, с, ... этого множества ввелено соотношение а (Ь. Предположим, что это соотношение удовлетворяет следующим условиям: 1) из а ( Ь и Ь ( с следует а ( с; 2) а(а; 3) из а ( Ь и Ь ( а следует а =Ь.

Характеристики

Список файлов книги