1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 16
Текст из файла (страница 16)
порожденное элементами е, и ет, и и„,— первый элемент множества О. не принадлежащий Ц. Пусть йа — проекция и„, на Н вЂ” 1.з. Полагаем Ьа з = — 1А,1 и т. д. Получаем ортонормальную систему ен еа, ..., епн $4! АБСТРАКТНОЕ ГИЛЬБЕРТОВО ПРОСТРАНСТВО 93 и так как каждый злемент Р„принадлежит некоторому 1. в силу построения этих подпространств, то подпространство, определяемое системой )ег), совпадает с подпространством, определяемым системой )д1), т. е. с Н. При этом система )е,) необходимо счетная, ибо если бы она содержала конечное число р элементов, то, как известно из линейной алгебры.
в Н не сушествовало бы р + 1 линейно независимых элементов, что противоречит аксиоме 4. Если )е1) — полная ортонормальная система, а х и у †элемен из Н с коэффициентами Фурье, соответственно с, и 411. 1 = 1, 2, .... то легко проверить, что (х. У)=Х С1(1. 4=! Изоморфизм гнльбертовых сепарабельных пространств. Рассмотрим сепарабельное гильбертово пространство Н, и пусть )е1) — полная ортонормальная система в этом пространстве.
Если х — некоторый элемент из Н, то этому элементу можно поставить в соответствие последовательность чисел )сн см ..., с„, ...), являющихся коэффициентами Фурье элемента х по системе [е1). Как было показано выше, ряд ~ (с,)' сходится, и, следовательно, последовательность )с,; см ... ..., с„, ...] можно рассматривать как некоторый элемент х комплексного пространства 1,. Таким образом, каждому элементу х ~ Н соответствует некоторый элемент х ~ 1м причем в силу условия полноты системы (!О) где нижний значок показывает, в смысле какого пространства берется норма. Далее очевидно, что если х~Н соответствует х~)в и у~Н соответствует у~)м то х+у соответствует хну.
Отсюда и из (1О) следует !! х — у !|н — — )х — у 11,. (1 !) йа лннеиныс ноемнговлнные пгостглнствл 1гл. н Пусть теперь е = Д) — произвольный и Рассмотрим в Н элементы г„= ~ ~,ео с ь Имеем элемент из 1г. и=1, 2, ° и потому 1г„— г ~(-+О при и, т -ь со. Таким образом, последовательность (г„) сходится в себе в смысле метрики пространства Н и в силу его полноты сходится к некоторому элементу л этого пространства. Так как (е, е,) =!!ш(х„, е,)=ьо то коэффициентами Фурье элемента х по выбранной ортонормальной системе являются как раз числа ~о Таким образом. каждый элемент х Е 1г соответствует некоторому элементу х ~ Н.
Тем самым мы имеем взаимно однозначное соответствие между элементами пространств Н и 1а. Формула (11) показывает, что это соответствие между пространствами Н и 1г есть соответствие изометрии. Так как, кроме того. очевидно, что если х соответствует х, то ),х соответствует Хх, то, учитывая ранее сказанное относительно сохранения операции сложении при рассматриваемом соответствии, получаем, что Н и 1, изоморфны. Таким образом, нами доказана Т е о р е м а 2. Всякое комплексное (вещественное) сепарабельное гильбертово пространство изометрично и изоморфно комплексному (вещественному) пространству 1т и, следовательно, все комплексные (вещественные) сепарабельные пространства изометричны и изоморфны между собой.
Отсюда, в частности, следует Теорема 3. (Рисс, Фишер). Вещественные пространства 1г(О, !) и 1 изометричны и изоморфны. $5! ововщвнныв пяонзводнын 5 6, Обобщенные производные и пространства С. Л. Соболева Во многих задачах математической физики целесообразно вводить обобщенные решения линейного дифференциального уравнения в частных производных. Совокупность обычных. решений такого уравнения, если ее рассматривать как функциональное пространство с некоторой метрикой, есть, вообще говоря. пространство не полное.
Пополняя это пространство, мы приходим к обобщенным решениям — элементам пополненного пространства. Так, например, совокупность решений задачи о свободных колебаниях бесконечной струны, описываемых уравнением д2и д2и а2 д22 дх2 ' имеет вид и(х, 1) = ф(х+ а()+ф(х — аг), (1) где ф и ф — дважды дифференцируемые функции. Пополняя совокупность таких решений, например, по метрике равномерной сходимости, мы приходим к совокупности обобщенных решений, также имеющих внд (1), где ф и ф являются уже произвольными непрерывными функциями, При построении обобщенных решений возникает понятие обобщенной производной.
впервые введенное С. Л. Соболевым. Ниже мы изложим для некоторых простейших случаев основы теории обобщенных производных и пространств С. Л. Соболева (30). Пусть Π— ограниченная выпуклая область на плоскости. Рассмотрим функции ~р(х, у), определенные и непрерывные вместе с производными до 1-го порядка включительно в некоторой области, содержащей в себе замыкание области О (в этом случае мы будем говорить. что у(х, у) непрерывна вместе с производными до 1-го порядка в О).
В множестве таких функций введем норму, полагая 1 М~= Я ~гр(х, у)~'д «у+,~ Я ...,~ дхду) а г,,п=г а Легко проверить, что все аксиомы нормы выполняются, и мы приходим к линейному нормированному неполному пространщ ству, которое обозначим )к'~р'. Пополняя это пространство во 96 ЛИНЕИНЫЕ НОРМИРОВАННЫЕ ПРОСТРАНСТВА 1ГЛ, 11 введенной норме, мы получим пространство С.
Л. Соболева )р'Р". ПУсть Де — элемент пРостРанства !Р'л, не пРинадлежа- (О щий Ур~. Это значит, что существует последовательность функций (ф„(х, у))<=Ур! такая, что 1фл — Уе()ат!Π— «О при н-«ОО. %' Отсюда следует, что '1фл, — фл/! 11! — »О, И, т — » СО, л 1Р т. е. ~ ) ~1р (х, у) — 1р„(х, у)!Рбхбу — «О о о 1,+1з=1, и, т-+со. 1д1фл(Х, у) 1 Таким образом, последовательности (фл(х, у)) и ! фл ' У 1 ( дх!' ду" из Ар(0) (см.
стр. 499) сходятся в себе в среднем с покааателем р. В силу полноты пространства 1.р(0) существуют функции фв(х, у) и ф!11 1и(х, у)Е1. (О), являющиеся пределами укаэанным носледовэтеиэностей. Отождествим- элемент уо с функцией фе(х, у), а функцию фел~1(х, у) назовем обобщенной производной 1-го порядка функции 1ре(х, у) и обоаначим, как и обычную производную, через фл( ' У) .
Так дх!' ду" как по определению )(Я =!Пп ))ф„)(, то норму элемента 1е, л илн все равно функции фе(х, у), мы можем записать в прежнем виде ововщгннын пвоизводныв где под знаком суммы стоят теперь обобщенные произволные )-го порядка функции фе(х, У) Итак, если функция ф»'»(х. у) Е Ь (О) есть обобщенная производная Р-го порядка от функции ~р»(х, у)ЕСл(0), тз существует в 0 последовательность непрерывно дифферепцируемых до )-го порядка функций ул(х, у), сходящихся в среднеи с показателем р к фе(х, у) и таких, что последог дЪл (х, у) вательность ) ", ', ) также сходится в среднеи с пока( дхл ду" вателем р к <реп Г»(х, у).
Из определения обобщенной производной вытекает ее однозначность как элемента пространства ь (О). Если функция щ (х, у) ~ьр(0) непрерывно дифференцируема в 0 до Г-го порядка включительно в обычном смысле, можно взять последовательность (~р„(х, у)), в которой Ф,(х у) = — 7е(х у) для всех и, и, следовательно, д Е, д Гл 1 — лЧ~л ~»(х, у) х~ дуп е ' дхд дуь т. е. в этом случае обобщенная производная совпадает с обычной производной.
Часто дается другое определение обобщенной производной. Пусть сперва ф(х, у) и ф(х, у) имеют непрерывные производные до 1-го порядка в О, причем ф(х, у) обращается в нуль в некоторой граничной полосе Огл состоящей из точек области, отстоящих от ее границы на расстоянии, не превышающем р. Тогда, применяя несколько раз формулу Грина, будем иметь / ь Ч~ (х, у) а'х л1у— ( ~)) )'ф(, ) о Пусть теперь ~р(х, у) — произвольная функция пространства Ер(0).
Если найдется функция )((х, у)~Ар(0) такая, ч~о для всякой функции ф(х, у), обладающей указанными 98 линепные нОРмиРОВАнные пРОстРАнстВА 1гл. н выше свойствами, справедливо равенство / /,, ф(х, у) дх ду= =( — 1)' ~ / ф(х, у)у(х, у) йх йу. о" то функцию )((х, у) будем называть обобщенной производной 1-го порядка функции ~р(х, у). Эквивалентность двух определений обобщенной производной. Чтобы доказать эквивалентность этих двух определений, нам понадобится ряд вспомогательных понятий и теорем.
Обозначим, как обычно, через г расстояние между точками Р(х, у) и (е(з, з)). Функция как функция от х и у непрерывна, имеет непрерывные производные всех порядков и обращается в нуль вне круга К„ радиуса )г с центром в точке АВЯ, т1). В силу симметрии озл(х, у; $, т1) относительно точек Р и Я все вышесказанное остается верным, если рассматривать сов(х, у; $, Т1) как функцию от а и т1 в круге Кз с центром в точке Р(х, у). Заметим при этом, что дифференцирование юв по х можно заменить дифференцированием по $, с заменой знака на обратный, и то же самое для у и т). Выберем, наконец, постоянную с» так, чтобы ~ ) ыв(» У ь з))йьпЧ вЂ” 1 Так как ~ ~ юв (х, у; э, т1) Щ йЧ = св ~ ~ е"-л' д~ дт) = «» «А тл л А ~в =со ) ~Врое'г А' г дг= 2псл ~ е' ы гдг.
о о о Овонщеннын пяоизводнып 99 б б) то б -! с„= — 1 / е"-"* гдг 0 откуда видно, что выбор са при данном Ь не зависит от положения точки Р (х, у) на плоскости. функция двух пар переменных х, у и й, Ч с описанными свойствами называется усредняюгцим ядром. функция ю„(х. у; $, Ч) представляет собой один из примеров усредияющего ядра. Пусть ф(х, у) — произвольная функция из Ер(0). Доопределим ее во всей плоскости, полагая !р(х, у)=0 для Р(х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
