1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Пусть Е есть Е», то есть й-мерное евклндово пространство. к[ля элемента х = (Сг) этого пространства положим У(х)=сД,+с»С,+... +с»С», где сь с„..., с» — некоторые константы. Адднтнвность функционала у (х) снова очевидна. Так как х„ -ьх означает, что С)о[-ь С, для всех 1 1, 2, ..., », то »» Нт У (х ) = 1пп ~Ч~~ сто("[ = ~ЧР~ сД[ = У (х), л з и непрерывность / (х) доказана. Норме линейного функционала можно дать геометрическое истолкование.
Так как в )г-мерном евклидовом простра[гстве уравнение плоскости сД, +сД +... + с,Д» = — с можно записать в виде у(х)=с, е 4! ПРОСТРАНСТВО ЛИНЕИНЫХ ОПЕРАТОРОВ Щ то по аналогии назовем гиперплоскостью в произвольном линейном пространстве Е совокупность точек этого пространства, удовлетворяющих уравнению у(х)=с, где у — линейный функционал на Е. Гиперплоскости Г(х)=се и у(х)=с, естественно назвать параллельными.
Гиперплоскость У(х) = с делит пространство на два полупространсгва: совокупность точек х, в которых у(х) (с, н совокупность точек х, в которых у(х))~с. Назовем условно первое из этих полупространств лежащим влево, второе — лежащим вправо от гиперплоскости у (х) = с. Гиперплоскость /(х) = Цу 'Ц обладает тем свойством, что весь единичный шар цхц (1 лежит целиком слева от втой гиперплоскости (ибо для точек шара цхц (1 мы имеем г (х) (Ц/Ц). С другой стороны, никакая из параллельных гнперплоскостей у(х) = цу 'ц — е этим свойством уже не обладает.
По аналогии с теорией выпуклых тел к-мерного евклидова пространства мы назовем гиперплоскость )'(х) = цу ц опорной к шару цхц (1. $ ч. Прострвмство линейных ограниченных операторов Мы уже видели, что всевозможные линейные ограниченные операторы. определенные на одном и том же линейном пространстве Е, с областью значений, расположенной в линейном пространстве Е, образуют линейное пространство (Š— Е,).
Если дополнительно предположить, что Е„и Š— нормированные пространства, то в пространстве (Е -ь Е ) такьке можно ввести норму. В самом деле. для каждого линейного ограниченного оператора А, отображающего Е„в Е, определена норма (указанным в Ц 2 способом). Нетрудно показать, что эта норма удовлетворяет трем аксиомам нормы. Действительно, !) ЦА!1= епр !~Ах(~)~0. Если ЦАЦ=О (т. е. енр ЦАхЦ=О), Цкй~г Цкйа! то цАх~~ =0 для всех х таких, что 1!хЦ (1.
Но тогда. ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ !гл. гп и силу однородности оператора, Ах = О для всех х, и, следовательно, А = О. 2) )!ЛА)) = внр ))ЛАх)) = )Л) з~р ))Ах)) =)Л)))А(). !!х!. <1 !!к!!К! 3) )) А+В))= зир )) Ах+Вх)) ( зир )) Ах))+ зир )) Вх )) = Пх!!с! !)х!!с! !!кпс! = )) А !) + )) В!). Таким образом, пространство линейных ограниченных операторов есть линейное норльированное пространство. В частном случае, когда Е„= гт — множеству вещественных чисел, т. е. когда мы рассматриваем пространство линейных функционалов, определенных на Ех, это пространство линейных функционалов называется пространством, сопряженным с Е, и обозначается Е„. Теорема 1. Если Е„полно, то пространство линейных ограниченных операторов дудепг также полным пространством и, следовательно, пространством типа (В). Пусть дана последовательность линейных операторов )А„), сходянгаяся в себе по норме в пространстве линейных операторов, т.
е. такая, что )!А„— А )) — >О при и, т-ьОО. Тогда для любого х ))А„х — А х)) ())А„— А,„)) ))х!) -ьО при и, т-ьОО. Поэтому для каждого фиксированного х послеловательность (А„х) влементов пространства Е„сходится в себе. В силу полноты пространства Е„последовательность )А„х) имеет некоторый предел у. Итак. каждому х ~ Е ставится в соответствие у Е Е„. и мы получаем некоторый оператор А, определяемый равенством у=Ах.
Этот оператор аддитивен: А(х,+ха)=йтА„(х + х ) =г!т А„х,+!ПпА„хг= В и л = Ах, +Акт. Покажем. что А — ограниченный оператор. По условию )) Ап Ан!) + О $41 ПРОСТРАНСТВО ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 147 для всех и. Следовательно, )!Ах~! =1Нп (!А„х)( <К!)х((, л и ограниченность оператора А доказана. Так как А, кроме того, аддитивен и однороден, то А — линейный ограниченный оператор. Докажем, что А есть предел последовательности 1Ал) в смысле сходимости по норме з пространстве линейных операторов. )Гля любого е ) О найдется номер пз такой, что А„+рх — Алх)) < е (1) для и) пз, р ) О и всех х с нормой ))ха < 1.
Переходя в неравенстве (!) к пределу при р-4 Оз, получим, что ()Ах — А„х(( (е с нормой, пе превосходящей единицы. апр )((А„— А)х~! <е. ели<1 для и )~ пз и всех х Поэтому для п)~по ЕА„— Ал Следовательно, А=йтА„ л в смысле сходимости по норме в пространстве линейных ограниченных операторов, и полнота этого пространства доказана. Следствие.
Лространство Е*, сопряженное с линейным нормированным пространством Е, есть банахово пространство. Равномерная и точечная сходимос(ь операторов. Будем называть сходимость последовательности линейных ограниченных операторов в смысле сходимости по норме в пространстве при и, т-+со. Отсюда ! !) А л (! — )! А,„)! ) -ь О при п, т — ьсо. т.
е. числовая последовательность ЙАл111 сходится в себе и, следовательно, ограничена. Поэтому существует такая постоянная К, что ОА„~) (К для всех и. Отсюда )!А„х(! (К)!х,'( 148 линепные опвглтовь (Гл. !ы линейных операторов равномерной сходимостью. Это название оправдывается тем, что если А„— » А в смысле сходимости по норме, то А„х — «Ах равномерно во всяком шаре !)х)~ (г. В самом деле, для заданного е > О выберем ле так, чтобы при п)~ле 1~Аз — А~1< —, Тогда яА„х — Ахя <)!А„— А)~(!х1~( — г=в для всех хЕЯ(0, г), н требуемое доказано.
Обратно, если А„х — «Ах равномерно на некотором шаре !1х(~ <г, то А„х-»Ах равномерно и в единичном шаре, а отсюда, как только что было показано, следует ~~А„— А!(- О. В пространстве (Е, — » Е ) линейных ограниченных операторов мы вводили и другую сходимость последовательности операторов. Именно, последовательность линейных ограниченных операторов (А„) называется точечно сходящейся к линейному оператору А (в себе), если для каждого фиксированного х последовательность (А„х) сходится к Ах (в себе). Очевидно, что из равномерной сходимости последовательности (А„) следует точечная сходимость этой последовательности. Обратное неверно, как показывает следующий пример. Пусть Š— гильбертово пространство Н с ортонормальным базисом (е!, е,, ..., е„, ...).
Пусть А„есть оператор прое ктирования на подпространство Н„, порожденное элементами е,, ез...., е„. Для любого хЕН л СО А„х=~(х, е ) е!-»~~Р(х, е )е, =х г=! г=! и, следовательно. А„ -« !' в смысле точечной сходнмости. С другой стороны, для ее < 1, любого л и р > О имеем (~Але„,! — А„+, е„+,)! = )(е„+!)! = 1 > ее. и, следовательно, равномерная сходимость последовательности )А„) в единичном шаре ((х(~(! пространства Н не имеет места.
$41 ПРОСТРАНСТВО ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 149 Теорема 2. Если пространства Е» и ЕР полные. то пространство линейных ограниченных операторов также полно е смысле точечной сходимости. Так как для каждого х послеловательность )Апх) схо дится в себе, то для каждого х существует у =1'пп Апх и и мы получаем оператор у=Ах, опрелеленный на Е„, с областью значений з Е . Как и выше, уоеждаемся, что А — линейный оператор.
Доказательство ограниченности оператора А вытекает из следующей теоремы: Теорема 3 1Банаха — Штейн хауса). Если последовательность линейных ограниченных операторов сходится е себе в каждой точке х банахова пространства Е„, то последовательность норм (((Ап)() втих операторов ограничена. Предположим противное. Тогда множество (() А„х)() не ограничено на любом замкнутом шаре !)х — хе)((е.
В самом деле, если )(А„х)( ( с для всех и и всех х из некоторого ш,ра 8(хе, е), то для любого й ~ Е элемент э +хе )61 принадлежит этому шару и, слеловательно. ()Апх)!(с, п=1, 2, ..., или (!')! ((М)( — ((А»хе()-~(( ~~~~~ '1пь+Апхе(( (с. Отс юла )! 1 ~<(( с+)Апхп) ((~(( Так как в силу сходимости последовательности )Апх„) последовательность норм )))А»хе))) ограничена, то !)А,Д(((с,(($((, и=1, 2, . 1бп лнньгшые Опсгатогы 1гл. иг и. следовательно, ((А„((-(сп в=1, 2, ..., что противоречит сделанному предположению. Пусть теперь 5~1хв, ев) — любой замкнутый шар в Е;, на неи последовательность (((А„х,'(( не ограничена и потому существуют номер и, и элемент х, ~оз такие, что ((А,р,(( > 1.
В силу непрерывности оператора А„, это неравенство выполняется в некотором замкнутом шаре 5,(хн е,)с=Яз. На 5~ послеловательность (~(Алх(~) снова не ограничена и снова найлутся номер л, и > ао и элемент ха~В, такие, что ((А,,х, ~( > 2. В силу непрерывности оператора А„, это неравенство сохраняется в некотором замкнутом шаре 8~(хж еа)<=5, и т. д. Можно счнтать, что е„ -ь 0 при и — ь со. Тогда будет существовать точка х, принадлежащая всем шарам 8„(х„, е„). В этой точке ((Ав х(()~й что противоречит условию, что последовательность (А„х] сходится для всякого х ~ Е .
Теорема, таким образом, доказана. Возвращаясь к оператору Ак=11ш Ачх л из неравенства ((А„х)(~(М((х((, в=1, 2, . вытекающего из теоремы Банаха — Штейнхауса, в пределе при и — ~оо получаем ((Ах(((М)(х((, т. е. ограниченность оператора А. 3 а м е ч а н и е. В формулировке теоремы Банаха — Штейн- хауса вместо сходимости в себе последовательности операторов (А„) в каждой точке х ~ Е„ можно потребовать ограниченности этой последовательности в каждой точке пространства. При этом доказательство теоремы не изменится. Ф с1 ПРОСТРАНСТВО ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ 161 Итак, существует предел любой точечно сходящейся в себе последовательности линейных ограниченных операторов, который также является линейным ограниченным оператором, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
