1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Г. А. Сухомлинов ч) обобщил теорему о распространении функционалов на случай пространств с комплексными и кватернионными множителями. С л е д с т в н е 1. Пусть Š— линейное нормированное пространство и хаФΠ— любой фиксированный элемент из Е. ~) Метем. сб. 3 (45), 1938. $ и теоиео!А БАнАхА — хАнА и ее следствия 177 Тогда существует линейный функционал у(х), определенный на всем Е и такой, что 1) !!Л= 1, 2) У(хо) =~!~а!. Рассмотрим множество элементов (!хо) =7., где 7 пробегает всевозможные вещественные числа. Множество является подпространством пространства Е, определяемым элементом х .
На Е определим функционал ф(х) следующим образом: если х = !хо, то ф(хо) =7!!хо~!. (3) Очевидно, 1) ф(хо) =~~хо~1, 2) 1<р(х)~ = !г!)/хо~1=!~х((. откуда 1~~р~(=1. Продолжая функционал ф(х) на все пространство без увеличения нормы, получим функционал Г (х). имеющий тре- буемые свойства.
Следствие 2. Пусть в линейном нормированном про- странстве Е заданы линейное многообразие Е и элемент хо ~ 1., находящийся на расстоянии д) О от Е(~7=!и1!)хо — х~)~. хе с Тогда существует функционал /(х), определенный всюду на Е и такой, что 1) г (х) = О для х Е 1., 2) У (хо) = 1, 3) ~!Л= 1 . Рассмотрим множество (7.; хо). Любой его элемент одно- значно представим в виде и = х + !хо, где х Е Е и г— вещественное число.
Построим функционал ф(и) по следую- щему закону: если и = х-+8хо, то ф(и) =7. Очевидно, ф(х) — — О, если ха!., и ф(хо)=!. Найдем ((<р((. Имеем !ф(и)!=!г)= ! !! и !! /! и й /! и !! ~( — +хо(~ ()хо — ~ Г )~~ !78 линейные экнкционллы 1гл. щ откуда 11ф11 < —.',. далее, существует последовательность !х„1с=Е такая, что (4) 11щ11х„— »011=А е Имеем ! р(х хо)1<11ф!111» »011' И так как 1ф(х„— хо)1 = 1ф(х„) — ф(хо)1 = 1.
то 1 <11ф1111х„— хо!1. Переходя к пределу, находим 1 <1!ф11с1 или 11ф!! > Сравнивая (4) и (5). получаем 11ф11 = — „. Продолжив ф(х) на все пространство с сохранением нормы, получим функционал г" (х), имеющий требуемые свойства. Первое следствие доказывает существование в любом линейном нормированном пространстве функционала, не равного тождественно нулю.
С другой стороны, из етого-следствия вытекает, что если для некоторого злемента х линейного нормированного пространства Е выполняется равенство у (х) = О для любого линейного функционала из сопряженного пространства Е'. то х = О. Этому следствию можно дать также геометрическое истолкование. заключающееся в следующем: Через всякую точку хо, расположенную на новар»- ности шара 11х11 < т, т. е. такую, что 1!хо!!= г. моэкно провести опорную плоскость к етому шару, Эта теорема есть обобщение предложения.
доказанного для а-мерного пространства Г, Минковским. ац ТЕОРЕМА БАНАХА — ХАНА Н ЕЕ СЛРДСТВНЯ 179 В самом деле. уравнение опорной плоскости к такому шару должно иметь вид Г (х) =г))у)). Но для точки хе можно построить функционал уе с нормой 1, для которого УО («0) )) «О)) (б) Плоскость УО(х)= г является опорной и проходит в силу (6) через точку хе.
Второе слелствие интересно для выяснения вопроса о возможности аппроксимирования заданного элемента хе линейными комбинациями другнк заданных элементов )хн хм ..., х„, ...) ~Е. Именно, из второго следствия вытекает, что для того, чтобы хе был пределом некоторой л последовательности линейных комбинаций вида ~ с,хо 1=1 необходимо и достаточно, чтобы у («О) = 0 для всех линейных функционалов г, обращающихся в нуль на элементах хи х,,....
Действительно, пусть из у'(х,)=0, 1=1, 2, ..., следует 1(«О)=0. Тогда хе не может находиться на расстоянии с1 ) 0 от линейного многообразия Л, порождаемого элементами )х;), ибо в противном случае по второму следствию существовал бы функционал уе такой, что уе(х,) = О, 1= 1, 2, ..., а УО(«О) = 1. Но, если и'= О, то это означает, что или хе есть предельная точка линейного многообразия 1., или хе ~ Л, и, следовательно. хз может быть л аппроксимирован элементами вида ~ с1«1. 1=1 Обратно, пусть хе есть предел последовательности элементов из 1, и пусть г («1) = 0 для некоторого функционала )'.
Тогда, полагая "л хе — — Ва $„, $„= ~ с1Л1хг, л 1-1 найдем, что г (ф ) = ~~Р~ с)л1у (х,.)= 0 и, следовательно, у(«О) =У(11аВО) =11аУ(9.) =О 1ЗО лингиныг екнкционалы !гл. !и 5 2. Общий вид линейных функционалов в некоторых функциональных пространствах Для многих конкретных функциональных пространств мо!кно указать общий вил линейных функционалов, опреде- ленных на этих пространствах. Знание общего вида линей- ных функционалов может оказаться полезным при различных исследованиях функциональных пространств, Линейные функционалы в и-мерном пространстве Е„. Пусть г" — линейный функционал определенный иа Е„. Для л х= ~аз,е,цЕ„, 1=! где (е!, ем ..., е„) — базис в Е„, имеем / и ) !! Р У (х) = Х ~ 2„' эге! ~ = ~ э!/(е!) = ~ "-: у ! !=! 1-! !=! Обратно, выражение вида а у (х) = ~, 1!)!, где у! — произвольные числа, есть, очевидно, линейный функционал на Е„.
Таким образом, выражение (1) дает общий вид линейного функционала, определенного иа и-мерном пространстве. Так как у! можно рассиатривать как компоненты и-мерного вектора /, то пространство Е„, сопряженное с Е„, есть также и-мерное пространство с метрикой, вообще говоря, отличной от метрики Е„. Пусть, например, 11х)1= щах1$!1; тогда и и ( и ~!!*!!- д!!, <д!ьал~ <(< ~л~)~!*! откуда и < Х~.у,) (2) С лругой стороны, если взять элемент ю ла = э з(йп У! е, Е Е„, ! ! Е »1 овшии вид линейных екнкционллов 181 то <<хе<1 =! н 1 л <! й у(х,) = ~э» я!дп у! ° у! = ~ )я = < ~1! <( <~х„<1, и потому и У<1 ~ Х!л~.
Из (2) и (3) следует, что /! у(! = ~, < г.! !=1 Если в Е„ ввести евклилову метрику, то легко убелиться, что в Е' метрика также будет евклидовой. Согласно терминологии, принятой в тензорной алгебре, элементы пространства Е„называются «о«траеарианл<ными, а элементы пространства Е'„— «оварианл<ныл<и. Линейный функционал Г'(х) представляется в виде скалярного произ- веления /(х) =(х, г") тле х~Е„, У~Е„. Общий внд линейных функционалов в л.
Пусть Г'(х) — линейный функционал, заданный на е (см. стр. 24). Положим е„=<й<ьй, где Э<"1=1 и $<"1=0 для 1+ а, и и < ! и пусть г (е„) = а„. Так как сходимость в пространстве е есть сколимость по кооРдинатам, то лла элемента х = 1$<, йз,... . э„, ... ) имеет место равенство х =1<<и ~ $»е = ~ч.'~ ~ е„. и»=1 Отсюда в силу непрерывности функционала г(х) получаем у (х) = ~р~ с»у (е„) = ~ а»э». »=! »=1 Так как этот ряд должен сходиться лля любой числовой послеловательности Д»1, то а», начиная с некоторого номера, должны быть равны нулю н, следовательно, у'(х)= ~ а»с».
»=1 182 липспныв фкнкционллы 1гл. щ и У (х) = .~~ аа8 . а=1 Числа а и аю й = 1, ..., и, однозначно определяются функционалом )". Общий вид линейных функционалов в С[0, 1[. Теорема Рисса. Пусть на С[0, 1[ задан линейный функционал у (х). Так как каждая непрерывная функция, ааданная на [О, 1[ ограничена и так как для непрерывной функции зцр х(г) = щах х(г), о<с<1 о<!<1 то пространство С[0, ![ можно рассматривать.как подпространство пространства М [О, 1[, где [,'х[~ =р(х, О)= зцр [х(г)[. о<г<~ Заданный в пространстве С[0.
1[ функционал у(х) продолжим с сохранением нормы на все пространство М [О, 1[; продолженный функционал обозначим через Р(х). Рассмотрим функции 1 для 0 (с(С О для г (с (!. Очевидно, Пусть и, Я) Е М [О, 1[. Р [и,(с)[ = д(1). Докажем, что й'(Е) — функция с ограниченным изменением.
Разобьем [О, 1[ на части точками Г,=О(Г,<Г,« ... Г.,<1.=1. Построим сумму Л Х [а(1,) — а(г,,н ыы Так как, обратно, такое выражение для любых вещественных чисел аа и любого натурального и есть линейный функционал в пространстве г, то мы получаем: общий вид линейных функционалов, определенных на пространстве г. дается равенством $21 овпгигг вид линелных егнкцноналов 183 и положим Тогда е, = з1пп [д (~,) — и (Г,,)!. .ь ! К (г~) у (Уг — ~)! = Х е~ !К (1Э вЂ” К (Гг - )! = с=в ! †! и л = ~„еД~Г(и, ) — Р(н,, )! = Р ~Уе,.(л, — и,, ) Отсюда Х~<и — <О-И<»П $'(г,— °,,Ц<И. так как !!П = !!Л и Итак л Х!айаг) — а'А- )! < !й! и, следовательно, л'(Г) — функция с ограниченным изменением.
Возьмем любую непрерывную функцию х ((), заданную на !О, 1), и построим функцию г„(1) = ~ х( — ) (и а(г) — и.а ~ (дт, л л г„(Г) есть ступенчатая функция. Имеем "=Х.(-.'И (-")- (', 'П Иоэтому и 1 1нп Г (и„) = 1нп ~ х ( — ) ~у ~ — ) — д ~ ) ! = / х Я г)д Щ. «=! о С другой стороны, при и — э со последовательность (ал(1)! равномерно сходится к х(1), т. е. !!г„— х!!-+О, а так как функционал г (х) непрерывен, то Р(га)-+Р(х). 184 ЛИНЕПНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ (гл ъч Поэтому р(х) = ~ х00йд(т).
о Но р(х) = у (х) для непрерывной функции х(1). Поэтому 1 у (х) = ~ х (1) йй'(1). (4) о При этом функция д(() может быть заменена на функцию д'(т), совпадаюшую с ней в точках непрерывности и полу- непрерывную слева: К(т — 0) =й(1) Итак, приходим к теореме Ф. Рисса. Теорема (Ф. Рисса). Всякий линейный функционал, заданный в про:транстве С ]О, П, выражается с помощью интеграла Стильтьеса по формуле (4), где и(г) — функция с ограниченным изменением, определяемая по функционалу /(х).
Легко видеть, что и, о ьратио, функционал р(х) = ] х(Пйй(г). о где Ь(г) — любая функция с ограниченным изменением. является линейным функционалом в пространстве С]0, 1]. В самом деле, аддитивность гр(х) очевидна, а непрерывность следует из того. что при равномерной сходимости последовательности функций можно переходить к пределу под знаком интеграла Стильтьеса. Таким образом, убеждаемся, что формула (4) дает обший вид линейных функционалов в пространстве С(0, 1] в том смысле, что втой формулой при всевозможных функциях с ограниченным изменением й(1) выражаются все линейные функционалы в С(0, 1].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
