1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 28
Текст из файла (страница 28)
В гильбертовом пространстве Н рассмотрим линейный функционал у (х). Так как Н вЂ” комплексное линейное пространство, естественно предполагать, что у'(х) может принимать комплексные значения. Прн этом комплексный функционал называется линейным, если он алдитивен, однороден и непрерывен (отметим, что для комплексных функционалов эти три условия независимы).
Пусть у (х) — произвольный линейный функционал, определенный в гильбертовом пространстве Н. Обозначим через 1. множество нулей этого функционала, т. е. совокупность элементов х ц Н таких, что у(х)= О. Легко видеть, что [.— подпространство. В самом деле, то, что ь' — линейное многообразие, следует из адаптивности и однородности функционала 1(х), а из непрерывности у (х) следует вамкнутость 1,. Возьмем произвольный элемент пространства Н, не принадлежащий 1., и обозначим через хз проекцию этого элемента на подпрострзнство Н Е.
Пусть у (хз) =а, причем. Л'о х,=— а Тогда У(х~)= ! Если теперь х — любой элемент пространства Н и /(х) =!!. то мы имеем г" (х) — ру'(х„) = 0 или у (х — рх,) = О. откуда х — рх,= г. где я~г'.. нли х=рх,+л. Это равенство показывает, что пространство Н есть ортогональная сумма подпространства ь и одномерного подпространства, порожденного элементом хн Так как х, ! х. то мы имеем (х.
х,)=р'й х,йа, или, так как р=у(х) Обозначив элемент — ' через и, мы получаем равенство бх, ла у(х)=(х, и). (! 4) т. е. выражение произвольного линейного функционала у'(х) в виде скалярного произведения элемента х на фиксирован- ный элемент и. Элемент и определяется по функционалу г однозначно. ибо если также г(х)=(х, о), (х, и — о)=0 то для,любого х~Н, откуда следует, что и=о. Далее из равенства (14) получаем ~~(х)~ = !(х, и)~ 4)(х(~~)и(~, % а! овщии вид лннвиных егнкцнонллов 195 очевидно. ачь О.
Положим 1гл. гу 196 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ откуда следует, что ![П < [[и!!. Так как, с другой стороны, у (и)=(и, и)= [[и[[а, то отсюда следует, что [[г[[ не может быть меньше, чем [[и[[. Итак, [[у[[=[[и[[, и мы получили следующую теорему: всякий линейный функционал у(х), определенный в гильбертовом пространстве. имеет вид у (х) = (х, и), где элемент и однозначно определяется функционалом г.
При этом [Я = 11 и [[. (15) Легко видеть, что и, обратно, при любом и ~Н соотношение (14) ояределяет линейный функционал у (х) с нормой (15). Таким образом, формула (14) дает общий вид линейного функционала в гильбертовом пространстве.
ф 3. Сопряженные пространства н сопряженные операторы Как уже было указано, совокупность всех линейных функционалов у (х), определенных на линейном нормированном пространстве Е, образует банахово пространство Е*, называемое пространством, сопряженным с пространством .Е. Пользуясь обшим видом линейных функционалов, в некоторых случаях можно указать реализацию пространства Е* с точностью до изоморфизма. 1.
Пусть Е = С [О, Ц. Рассмотрим множество функций й(г) с ограниченным изменением, определенных на [О, 1[ и обрашаюшнхся в нуль в точке с=О. Будем считать, что в точках разрыва т б(т) = и(т — 0). Очевидно, зто множество есть линейное пространство при обычном определении операции сложения двух функций и умножения функции на вещественное число.
Введем норму для функций с ограниченным сОпРяженные НРОстРАнствА 1 изменением, полагая [[с [[= Ч [и]. Нетрудно видеть. что все о аксиомы нормы выполняются. Полученное линейное нормированное пространство называется нространсогеом У функций с ограниченным изменением. Рассмотрим, с другой стороны, пространство Е* = С* [О, 1] всех линейных функционалов. определенных на С[0, 1].
Как доказано выше, каждый линейный функционал у~С'[О, 1] определяет однозначно некоторую функцию Е(С), у(О)=0, с ограниченным изменением и, обратно, каждой функции и (1), д (0) = О. с ограниченным изменением сооответствует функционал /~С*[0, 1]. Поэтому между множеством всех линейных функционалов из С*[0, 1] и множеством всех элементов пространства функций с ограниченным изменением существует взаимго однозначное соответствие. Так как очевидно, что сумме функционалов ~, +уг отвечает сумма с1 + йз соответствующих функций и функционалу ).у соответствует функция Ху(1), то соответствие между С'[О, !] и пространством функций с ограниченным изменением есть изоиорфизм.
Так 1 как, далее, [[У~[ = Ч [и] = [[ й [[, то это соответствие будет о также изометрическим. С точки зрения многих вопросов функционального анализа эти два пространства неразличимы; поэтому часто говорят, что пространство. сопряженное с пространством непрерывных функций, есть пространство функций с ограниченным изменением.
2. Пусть Е = Е [О, 1]. Рассмотрим, кроме того, пространство Е [О, 1], где о =- †. Так как каждому функ- 1 е =р — 1 цноналу у ~ Ер [О, 1] однозначно соответствует функция п(1)сЕ [О, 1] и обратно. то между пространствами Ер[0, 1] и Ее [О, 1] устанавливается взаимно однозначное соответствие. Как и раньше.
убеждаемся в том, что это соответствие изомоРфно н изометРично, т. е. бр[0, 1] =се [О. 1], понимаЯ это равенство с точностью до изометрии и ивоморфизма. В частности. при р= 2 имеем Ег[0, 1] =1.,[0, 1]. Поэтому нв ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ 1гл. 1У пространство Е [О, Ц называется самосопряженным лрос т ранг т вам. Э 3.
Легко видеть, что 1р —— 1ч и, в частности, 11=1; В Э 4 гл. !!1, стр. 147 мы видели, что пространство, сопряженное с линейным нормированным. Не обязательно полным пространством, есть банахово, т. е. полное линейное нормированное пространство. Так как Ар[О. 1[ есть пространство, сопряженное с Е [О, 1[, — + — =1. и 1 — со- 1 1 ч ' ' Р 1 ' Р пряженное с 1.
то как следствие из 2 и 3 мы получаем новое доказательство полноты пространств Ер[О, 1[ и 1р. 4. Линейный функционал в гильбертовом пространстве порождается элементом того же пространства. Гильбертово пространство является самосопряженным. По той же причине и н-мерное евклидова пространство является самосопряженным. Рефлексивные пространства. Пусть Š— ликейное нормированное пространство и Е' — сопряженное пространство.
Так как Е' также линейное нормированное пространство, то можно построить Е**=(Е")' н т. д. Рассмотрим подробнее Е . Это — пространство линейных функционалов Е, определенных на пространстве Е'. элементами которого являются линейные функционалы. определенные на Е. Рассмотрим линейный функционал г'(х). опрелеленный на Е. Здесь функционал / фиксирован, а х — переменный элемент из Е. Подойдем к выражению 7'(х) с другой точки зрения.
Будем считать, что х ~ Š— фиксированный элемент. а 7"— переменный элемент из Е'. Например, пусть 1 У(х) = ~ х(1) (п(1). о Фиксируя д(1) и меняя х(1), получаем первый случай; фиксируя х(1) и меняя д(1), получаем второй. При фиксированном х и переменном )' каждому элементу ~~Е' ставится в соответствие некоторое ве1цественное число. следовательно, выражение 7 (х) при фиксированном х и пеРеменном 7' можно РассматРивать как фУнкционал Рр, опРеделенный на пространстве Е*. Поэтому можно написать 7' (х) = Р„()'). 221 СОПРЯЖЕННЫЕ ПРОСТРАНСТВА !Р (г")! = !у(х)! с,!!х!!!!У!!. Отсюда следует, в частности, что !! Р, !!.4 !! х !!.
(1) Так как, далее, по первому следствию из теоремы Банаха— Хана для каждого х существует линейный функционал Уе с нормой, равной единице. такой. что уе(х)=!!х!!, и для такого функционала !Р.Ч,)! = !~е(х)! =!! х!!. или, что все равно. !Р,(ге)! =!!Уе!!!!х!! !!Рл!!) !!х!! то мы имеем Сравнивая (1) и (2), заключаем, что !!Р !!=!!х!!.
(3) Легко также видеть, что Р.„„В = Р., В+ Р„И Рь,(Л=) Рк(Л Таким образом, всякому х~Е естественным образом ставится в соответствие вполне определенный функционал Р„~Е, причем вто соответствие между пространством Е и множеством [Р„)~Е изоморфно и изометрично (взаимная однозначность соответствия между Е и !Р ! следует из (3)), т. е. Е«Е". В случае. когда при таком соответствии Е=Е, пространство Е называется рер3лексивным. П р н м е р ы. 1.
л-мерное евклндово пространство рефлексивно. Н самом деле, если Е есть л-мерное евклндово пространство, то Е"также л-мерное евялндово пространство, следовательно, н Е" есть и-мерное евклндово пространство. Но если одно л-мерное Нетрудно видеть, что Р— линейный функционал и, следо- вательно. Р ~Е'. В самом деле. Рл 01+12) (Л + Я (х) У1 (х)+Уз (х) Рх (Л)+Рм (Я и ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ [ГЛ. 1Ч пространство является частью друго~о, то они совпадают.
Поэтому из Ег=.Е'* следует Е = Е'*. 2. Пространство Ел[0, ц (р > 1) рефлексивно. В самом деле, Е",[О. Ц=[Е;[О, Ц)'=(Е,[О, Ц)'=Е,[О, Ц. 3. Пространство 1р (р ) 1) рефлексивно; зто получается аналогично предыдущему. 4. Пространство С[0, Ц нерефлексивно. Доказательство поведем от противного.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
