1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Покажем, что одна и та же последовательность не может слабо сходиться к двум разным пределам. Допустим, что х„— "-«хо и х„— "-«Эо, т. е. для любого линейного функционала г Е Е* у(х„) у(хо) и г(х„)-«у(эо). Следовательно, г'(хо) =Уфо) нлн у(хо — со) = В откуда следует, что, хо=со. Легко видеть, что если х„— "«хо, то и любая подпоследовательность (х„„) слабо сходится к хо. Сходимость Такич образом, последовательность функционалов (ув) сходится к функционалу у на множестве всех многочленоз, всюду плотном в пространстве С [О, !), я нормы функционалов ув ограничены.
Но тогда доказываемая теорема непосредственно следует нз теоремы 2 настоящего параграфа. Теорема В. А. Стеклова. Если все коэффициенты с!ьсч квадратурных формул положительны, то последовательность квадратурных формул у(х) т ув (х), и = 1, 2, ..., сходится для любой непрерывной функции х (Г). В самом деле, для любого п и хь(Г) =1 имеем 215 сллзля сходимость по норме в данном пространстве будем теперь называть сильной сходимостью. Очевидно.
что из сильной сходимости послеловательности (х„) к элементу хз следует слабая сходимость этой последовательности к тому же элементу. Обратное утверждение неверно. Последовательность махает слабо сходиться к некоторому элементу, но не сходится к нему сильно. Например, рассмотрим в Ц [О, 1] последовательность элементов (з!и нлг). Вводя обозначение х„(Г) = з!и ллГ, имеем для любого линейного функционала 1 (х„) = ) э[и ллГ и (1) дг. о где а (Г) — функция с сумм ируемым квадратом, однозначно определяемая по функционалу Г.
Очевидно, у(х„) есть л-й коэффициент Фурье функции а(Г) по системе (з!пнлГ). Следовательно, г (х„) — «О при н — » со. Отсюда вытекает, что х„— '~-» О при и -» со. С другой стороны, легко видеть, что (х,) не сходится сильно. В самом деле. 1 () х„— х,„))з = ~ [э| и илг — з! и алГ]з дГ = 1. о Однако имеет место Т е о р е и а 4. В нонечномерном прост ранетве сильная сходимость совладает со слабой. Достаточно доказать, что в конечномерном пространстве из слабой сходимости последовательности к некоторому элементу вытекает сильная сходимость ее к тому же элементу. Пусть Š— конечномерное пространство и пусть дана последовательность (х„), х„ †"-«хз.
Так как Е конечномерно, то существует конечная система линейно независимых элементов ен ез, ..., е„ такая, что всякий элемент х ~ Е может быть представлен в виде х = С,е, + $зез + ... + аьеь, где $, — вещественные числа. Пусть Х„=Цл1Е,+$ООЕ + ... +~ОИЕ, хз ь! ег+ьз ез+ ° ° +ьь ьь.
216 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ !Гл. Ев Рассмотрим фущкционал Л Е Е* такой, что . У, (е,) = 1. У,(е )=О для /чь ю'. Имеем У,(х ) =$~т и 7,(хо) = ыо> 1 1 2 )с Но так как 7 (х„)-ьу'(хо) для любого линейного функционала 7, то и 7,(х„) -ьЛ (хо), т. е. чьоп~ уо~ Но в конечномерном пространстве покоордииатная сходимость влечет за собой сходимость по норме. Слеловательно. х„— ь хо сильно. Существуют и бесконечномерные пространства, в которых сильная и слабая сходимости совпадают. Таково, например.
пространство ! последовательностей фн зо, ..., Ею таких, что ряд ~ (е„( сходится. п=1 М. И. Кзлецу принадлежит следующий интересный результат: Если пространство Е сепарабельно, то в нем можно ввести такую эквивалентную норму, что в новой норме иэ слабой сл сходимости х„— >хо и 1хпд-ь 1хо!1 следует сильпан сходимость последовательности (х„) к х,. Т ео р ем а 5.
Если последовательность (х„( слабо сходится к хо, то существует последовательность ьп линейных комбинаций [ бл сонх, сильно сходящаяся их. Иными словами, хо принадлежит замкнутому линейному многообразию, порожденному элементами хн хо, ..., х„, ... Предположим противное, т. е. что хо не принадлежит замкнутому линейному многообразию Е, порожденному элементами хи хт, .... х„, ... Тогда по втоРомУ следствию нз теоремы Банаха — Хана (стр. 177) существует линейный функционал 7 ~ Е' такой, что 7" (хо) = 1, 7 (х„) = О для и= — 1, 2, ... Но это означает, что У(х„)~ь У(хо), что пРотиворечит условию х„ — ьхо.
Т е о р е и а 6. Пус ть А — линейный ое ра яичек ный оператор, определенный на линейном нормированном пространстве Е„с областью значений, расположенной в линейном нормировакном пространстве Е . слльлн скодпмосль 217 Если последовательность [х„) с: Е„слабо сходится к хеЕЕ, то последовательность [Ахь) с Е слабо сходив»си к Ахо Е Е».
Возьмем любой функционал гр~ Е, Тогда ф(Ах„) =7 (х„), где У Е Е . Аналогично ф (А хе) = 7 (хв). Так как х„— ьхе, то У(х ) У(хв) т. е. ф (Ахи) ь ф (А хе), Поскольку ф — произвольный функционал из Е», то Ах„— '"-ь А хе. Таким образом, всякий линейный ограниченный оператор является не только сильно, но и слабо непрерывным. Теорема 7. Если последовательность [х„) слабо сходится к хь, то нормы элементов этой последовательности ограничены. Будем рассматривать элементы х„, и = 1, 2, ..., как элементы пространства Е**.
Тогда слабая сходимость последовательности [х„) к элементу хе означает, что последовательность функционалов [х„) с= Е" сходится к функционалу х„ Е Е*' для всех элементов ~ ~ Е'. Но тогда в силу теоремы Банаха — Штейнхауса последовательность норм [))х„[!) ограничена, что и требовалось доказать.
3 а м е ч а н и е. Если хе есть слабый предел последовательности [х„), то [)хо[! <1т[[х.)! » причем существование нонечного нижнего предела выте- кает из предыдущей теоремы. 21В [гл. Йт ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ В самом деле, допустим. что !! АО!! ) !НП !! Хи !!. и Тогда существует число с такое, что !!хо!! ) с ) !!ю !!хи!!. и Следовательно, найдется такая последовательность !х„,), что !!хо!! ) с ) )! х„, !!. Построим линейный функционал го такой. что !!,го!!=1» Уз!хо)=!!хо!!) с. Тогда Ь(х,) <!!Я!!~ хл,(!= !! хи, (! < с для всех 1. Следовательно, .ГО (Хи) УФ.ГО (ХО) что противоречит условию, что х,— 'эхо. лл Возможны случаи, когда осуществляется строгое неравенство !!хо!! < !!щ !)хи(!, л как вто видно пз следующего примера, В пространстве Е~!О, 1! рассмотрим функции х„(1) = ~/2 а!пплС. Имеем !! хи )! = 1, так что и Вш !! хи !! = 1.
и С другой стороны, для любого линейного функционала / получаем 1 ~ (хи) = ~l 2 ~ а (С) з!и ЛЛС г!С = '!I 2 си, о сллвля сходимость 219 где с„— коэффициенты Фурье функции а(1) ЕА~(0. и. Таким образом, /(х„)-+О при и-ьоо для любого линейного функционала У. т.
е. х„— '-"-ьО. Следовательно. хе=О и )) хь 11 = 0 < 1 = И ьп 11 хр 1). Теорема 8. Для того чтобы последовательность (х„) слабо сходилась к х, необходимо и достаточно, чтобы !) последовательность ) ~)х„11) была ограничена; 2) у(х„)-ьг(хе) для любого г из некоторого множества Г линейных функционалов, линейные комбинации влементов ььоторого лежат всюду плотно в Е'. Эта теорема представляет собой частный случай теоремы 2 настоящего параграфа. Чтобы убедиться в этом, следует только заметить, что слабая сходимость последовательности (х„) с=Е к элементу хецЕ, очевидно, равносильна слабой сходииости этой же последовательности, но рассматриваемой как последовательность линейных функционзлов, определенных на Е*, к хе, также рзссматриваемому как линейный функционал на Е*.
Слабая сходимость в конкретных пространствах. Слабая сходимость в Теорема 9. Аля того чтобы последовательность 1х„) влементов х„=(Цп') иэ 1р слабо сходилась к хо=(ЦеЬ) ~1, необходимо и достаточно, чтобы 1) последовательность 111х„~() была ограничена; 2) ЦЮ-ьЦеЬ ььри п-ьсо для всех 1 (вообьце говоря, неравномерно). Для доказательства заметии, что линейные комбинации элементов уь=(0, О, ..., О, 1, О, ...), 1=1, 2, ..., лежат Ф всюду плотно в 1 =1р. Поэтому в силу общего критерия.
для того чтобы х„— '-'-ьхе, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось первое условие и чтобы г (х) ЦпЬ ье (х) ЦО) для любого 1, Можно сказать, таким образом, что слабая сходимость в 1р означает сходимость по координатам в соединении с ограниченностью норм. ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ [гл. ЕЧ Слабая с х о д и м о с т ь в Те о р е м а 10. Длл того чтобы последовательность [х„(г)) ~ Ар[0, 1) слабо сходилась и элементу хв(г) ~Ее[0, 1), необходимо и достаточно, чтобы 1) последовательность [)[х„[)) бы.га ограничена; ! 2) 1 х„(т)бт — ь ~ хе(т)дт длп любого гЕ [О, 1).
е ч Первое условие совпадает с первым условием обшего критерия. Рассмотрим второе условие. Положим 1 для 0~(г (т, ,(г) = 0 для т<г <1. Тогда линейные комбинации функций а,(г), т. е. суммы ,г с, 1 , (г) — , (г)1, тле О=те < т, « ... т,, < т„=1, лежат всюду плотно в Ц[0, 1)=Ар[0, 1). Следовательно, чтобы х„ (г) †"-ь хь (г), необходимо и достаточно, чтобы выполнялось первое условие и чтобы при и — ь со ) х„ (1)а, (г) дг -ь 1 хь (г)а, (г) агг.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
