1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Мы докажем лишь достаточность сформулированного условия. Прежле всего замечаем. что У как компакт есть ограниченное множество, и, следовательно, все отображения семейства (С равномерно ограничены. 241 КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ Поэтому (;1~С (Х, )'), Так как С (Х, У) замкнуто в М(Х, 1'), то для доказательства компактности 1,1 в С(Х, 1') достаточно установить его компактность в М(Х, )). Для произвольного е > О выберем Ь > О так, чтобы р(/(х1) /(хз)) <— (2) при р(хн х,) < б сразу для всех /~ Я, что возможно в силу равностепенной непрерывности отображений.
Возьмем затем б конечную — сеть хн хм ..., хл в множестве Х, Введем множества Эти множества не пересекаются, дают в сумме все Х, и диаметр каждого Х, не превосходит Ь. Г1усть, далее, уи е Ум ..., У„есть — сеть длЯ компакта 1. РассмотРим всевозможные функции л (х) Е М (Х, 1'), принимаюпгие на множествак Хг постоянные значения ух Эти функции образуют конечную е-сеть для множества Я. В самом деле, возьмем любое отображение /' Е Я. Для произвольного х Е Х и любой л (х) имеем р(/(х), л(х)) ~(р(/(х), /(хг))+ +р(/'(х,), л(х,))+р(л(х,), л(х)).
где х, выбрано так, что х~ХР Г1оэтому, в силу (2) и так «ак х и х, принадлежат одному и тому же Хн р(/(х). /(х;)) < —, р(д(х), Р(х;))=-О, откуда р(/(х), К(х)) < 2 +р(/(х,), А'(х,)). Выберем теперь л(х) так, чтобы д(хг) =у. удовлетворяло неравенству Р(/'(х,), Уу) < —. Тогда для любого х Е Х р (/ (х), Р (х ) ) < е КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА 1гл. у н, следовательно, р(У, а) =вирр(г(х), й(х)) (е. Как подмножество полного метрического пространства М(Х, 'г), имеющее конечную е-сеть, множество Я ком- пактно, и теорема доказана. Критерии компактности в ер ]О,!]. Пусть х(г) ~ Ьр [О, 1].
Продолжим функцию х(г) за пределы отрезка [О, 1]. йолагая х(г) = О, если 1 лежит вне этого отрезка. Тогда для любого отрезка [а, Ь] числовой оси интегралы ь ь / ]х (г)] йг н ~ ]х (г) ] йг и е имеют смысл. Признак компактности в Ьр[0, 1] (теорема М. Рисса). Для того чтобы семейство функций А'=- ]х(г)] с=(р [О, 1] было компактно, необходимо и достаточно, чтобы функции семейства были равномерно огриничены по норме и равностепенно непрерывны в среднем, т.
е. чтобы ! 1. ~ ]х(г)[ейг (се, о 1 2. ~ ] х (г+ й) — х (Г) ]» 111 ч. Ел и ри 0 ( й С б (е) сразу о для всех функций семейства. Необходимость. Необходимость условия 1 очевидна. Докажем выполнение условия 2. Так как К вЂ” компактное множество, то при любом з) 0 для этого множества суще- ствует конечная — сеть х1(г), хг(1), ..., х„(г).
Так как ка1кдая функция из 1.р [О, 1] непрерывна в среднем, то для любого 1 найдется 01 такое, что КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ при 0 < л < Ь1. Пусть Ь = ппп Ь1. Тогда / 1,(~+~) —,()~ ~~<(-,) о при О < б < б и для всех 1= 1, 2, ..., п. Возьмем произвольную функпню х (г) Е К. Найдется функция х1(г) такая, что 1 / ( х (1) — х (г) (р и'1 < ( — ) о Имеем при 0<б<б 1 < 1 11 р ~~.(~+~) —.()~'~~/ < о 1 1 11 р <~~~х(Г+б) — х,(1+б)7Й~ + хо 1 ! 1 — 1 / ° 11р +(~~х,(Т+Л) х,(Г)~рг(Г) +~/ )х,(1) — х(г)~рШ~ < 1о 1 1 11 р < ~ ~х(С+б) — х1(С+6)~р/ + —,' То Но 1 ~ ~х(Ф+и) — х,(С+б)1~ 111= / ~х(а) — х,(з)1~11з < о и 1 < ! !.
()-. (и " ~3) о (здесь мы воспользовались тем, что х(г) и х1(1) равны нулю вне [О, !)). Из последних двух неравенств следует, что 1 1 ~ ~ х (г+ 'л) — х (1) ~Р и'г ) < е о 244 КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА 1гл. 1( при О < (( < Ь, и так как х (() — любая функция нз К, то необходимость условия 2 показана. Д о с тат о ч н ость. Рассмотрим средние функции Стеклова х» (!) = — ! х (т) (4т.
! 2» .( Имеем (»» !х»(01 =— 1 х (т) ((т < (-» 1 1 --'(т"Л (" "Г 1 1 <(2 ) / )х(т))~(!т (3) о и ((а~» )х»(8+ и) — х»(!)! = — / х(т)((т — / х(т)((т 1 (»и-» (-» (+» (+» 1 — х(т+ и)((т — ~ х(т)(!т < (-» (-» (+» ~( — ~ (х(т+и) — х(т)!(2т < ! (-» (+» 1 р <( — ) !х(т+ и) — х(т)~ (4т < (-» ! 1 ! —,/р ~р <( — „) 1 / )х(т+и) — х(т)!Р(й) .
(4) о Из условий 1 и 2 и неравенств (3) и (4) следует, что при фиксированном й функции семейства (х»(!)) для х(1) Е К равномерно ограничены и равностепенно непрерывны. Сле- 245 В г! КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ довательно, семейство [хи(1)[ компактно в смысле равномерной сходимости, а тем более в смысле сходимости в среднем с показателем р. С другой стороны, lчи [х (1) — хи (1) [ < — „~ [х (г) — х (т) [ а1т = 1 об и и = — / [ х (г) — х (г+ т) [ с[т < 1 -и 1 <( —,'„)' ~ / [ (1) — (1+ )[ й -и Отсюда и — - — -У, 1 я — я) ю< — „! / ) я — *юч-в~ и )л= 1 Р о о -и и и Л~ и ~ 1 Р [ 2И д =,„~1 ~[.„, .„,,[.„1„..! „=,.
-и 1 так как (в силу условия 2) [ [х(1+т) — х(1)[РЮ < ел, если о [т[ < б. [Таким образом, семейство [хи(1)[ образует е-сеть для семейства К, и так как эта е-сеть компактна, то по следствию из теоремы Хаусдорфа компактно и само множество К. !!риведем без доказательства еще два критерия компактности множеств в пространстве 1. [О, 1]. Теорема А. Н. Колмогорова. Мнолсество К~(. [О, 1[ комиактно тогда и толысо тогда, когда !) нормы функции х (г) Е К ограничены в совокупности; 2) для любого е) О найдется Ь > О такое, что ,'[х — хи[[ < е при 11 < 6 сразу для всех функций х(1)~К. комплктныя множкствл 1гл, ч Будем говорить, что семейство функций М = [х(г)[ имеет равностепенно абсолютно непрерывные нормы, если для каждого е ~ О можно указать Ь ) О такое, что [[х (г) у (г)~[ ( е всакий Раз, когда щезЕ(б (здесь Ул(г) — хаРактеРистическая функция множества Е).
Теорема М. А. Крас носе ль ского [16[. 11усть семейство Кс=ур [О, 1[ имеет равностепенно абсолютно непрерывные нормы и компактно в смысле сходимости по мере. Тогда вто семейство компактно в смысле сходимости в среднем. Критерий компактности в пространстве Ц. Рассмотрим совокупность кривых [о[, заданных уравнениями х = х (г), у = у (г), х = в (г), О ( 1 ( 1, (5) где х (г), у (1) и в (1) — непрерывные функции параметра. Если заданы две кривые о и р, то, записав их уравнения в виде равенства (5), будем относить друг другу точки кривых, отвечающие одинаковым значениям параметра.
Пусть Ф вЂ” максимум расстояний между соответственными точками обеих кривых. Число г( зависит от выбора параметрического предсчавления кривых. Будем считать расстояние рО1, р) равным точной нижней границе чисел Н при всевозможных параметрических представлениях обеих кривых, Легко проверить, что введенное таким образом расстояние между кривыми удовлетворяет всем аксиомам метрики. Полученное пространство будем называть пространством (г. Это пространство играет важную роль в вариационном исчислении.
Можно доказать, что 1',г — полное пространство. Т е о р е м а Г и л ь б е р т а. Совокупность К~Я, состоящая из спрямляемых кривых, расположенных в конечной части пространства и имеющих ограниченные в совокупности длина, компактна. Пусть длины кривых я~К не превосходят 1. Разобьем каждую кривую о ~ К на п дуг равной длины и соединим точки деления отрезками. Получим ломаную йю Каждая из луг кривой о и соответственно сторон ломаной др не превосхог лиг —. Расстояние между точками такой дуги и точками л стягивающей ее хорды — стороны ломаной о„— не превосхо- 247 КРИТЕРИИ КОМПАКТНОСТИ 2! дит — . Введем на д и о„ такие параметрические представления, чтобы вершинам ломаной г)„ отвечали в обоих д представлениях числа аида †, й = О, 1, ..., и, и чтобы, и 1й а+11 когда 1 пробегает интервал ~ —, — ), мы получали дугу )гп' и кривой о и соответствующую сторону ломаной о„.
Расстояние между точками линий о и ою отвечающими одинаковым 21 аначениям параметра, не превосходит —. Следовательно, и и 21 Р17 Рв) < — „° Таким образом, совокупность К„ломаных рв образует 21 — сеть для К. Но каждая ломаная определяется 3(п+ 1) и координатами ее и+ 1 вершин, По условию теоремы они ограничены в совокупности. Поэтоиу К„компактно. А тогда, по следствию 1 теоремы 3 9 1, компактно и К. Эта теорема используется для доказательства существования геодезических линий. Критерий компактности в пространстве с базисом. Т с о р е м а 3, Для компактности мнозкества К банахова пространства Е с базисом необходимо и достаточно, чтобы К было ограничено и чтобы для любого числа г) О существовал номер пе такой, что 11 1с„х~( < е длн и )~ па и любого х из К *).
Необходимость. Ограниченность множества К вытекает из следствия 3 теоремы 3 9 1. Докажем выполнение второго условия. Возьмем некоторое число т) ) О и построим конечную г)-сеть для К: 1хи ..., хв~. Для любого х~ К найдем х;, принадлежащий т1-сети такой, что ()х — х, ~! <т1. Будем иметь ь) !()7,х!~ = )~х — Я„х,'! < /(х — х,((-+,'(х,— Я„х,'! ( < ~1 х — х; ~! + (,'5„х, — о „х а + я 17„х;! ( < (1+ 11 А 11 ),'~ х — х, (~ + ~! Й,х, ~! < < (1 + 11 А 11 ) ц+ й 17„х, (!. ') Операторы 5 и 17 см. ва стр.
171, оператор А ' на стр. 169. 248 КОМПАКТНЫЕ МНОЖЕСТВА 1гл. ч Для каждого фиксированного х й„х — ьО прн и — ь >о. Поэтому найдется такое ив, что йгг„х;я (Ч при я) ив лля 1=1, 2, .... и. Поэтому )(/1„х(~ <(2+~(А )~)>1 для н )~нв. Достаточно теперь взять Ч= в 2+ 'ВА >'з чтобы получить требуемое неравенство, так как номер лв не зависит от того. какой х взят в множестве К. Д о с т ат о ч н о с т ь.
Докажем, что при выполнении условий теоремы существует лля любого е ) О конечная е-сеть для множества К. Для этого, имея заданным е, выберем яв так, чтобы З И„х (( < — лля всех х ~ К. Рассмотрим затем множество Кьн состоящее из элементов вида 5„,х, где х ~ К. Это множество К„„можно рассматривать как множество, расположенное в и;мерном пространстве Е„,~Е, определенном элементами ен ег, ..., е, . Так как, кроме того, в силу неравенства '8Ю„,х(( (11 А й ~(х(~ и предположенной ограниченности множества К множество К„, ограничено, то оно компактно, и поэтому в Е„, существует конечная — -сеть для Кт. Но эта же сеть будет, очевидно, 2 е-сетью для множества К, и требуемое доказано.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
