1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Покажем, что для этого элемента справедливо неравенство (3). Рассмотрим отношение !! Х /! !!у!! и предположим, что это отношение не ограничено. Тогда существуют последовательности у„н х„такие, что )! х„!! !!!!у !! Так как Ху, соответствует, очевидно, минимальное решение Хх„, то без ограничения общности мы можем считать, что )) х„)) =1; тогда )) ул))-+ О. Так как последовательность )х„) ограничена и оператор А вполне непрерывен, то последовательность )Ах„) компактна и, следовательно, содержит сходящуюся подпоследовательность. Снова без ограничения общности можно считать, что (6) Ах„— ь хо. Но тогда, так как х„= — Ах„— у„, будем иметь ха « "0 и, следовательно, (7) Ах~ — ь Ахо Из (6) и (7) следует, что Ахе = хо т. е. хе ЕМ.
Но тогда, в силу минимальности нормы решения х„, будем иметь ))х„— х ))) !)х„)!=1, ЧтО ПРОтИВОРЕЧИт СХОДИМОСтн )Ал) К Ха. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ПЛ. Ч1 Итак. — ограничено, и если 11х1 1!у!! 11 х 11. а= зпр — ', 11у11 ' то требуемое неравенство доказано. Пусть теперь дана последовательность )ул)1=.Е, сходящаяся к уо. Переходя, если необходимо, к подпоследовательностн, можно считать, что 1 !1у — уо!! < — „ откуда Ь.
— У.!~< 2 . 1 Пусть х — минимальное решение уравнения Тх = у, и х„, и = 1, 2, ..., — минимальное решение уравнения ТХ = ул+1 ул. Тогда 1!х„!!< а!!у„+1 — у.!! < —,"„. Из этой оценки вытекает, что ряд ~'., хл сходится, и если х— л=1 сумма этого ряда, то л л Тх=Т(11ш ~ч'„хл) =!ип ~ Тх,= то о=о л о=о чл — !у+ !у у)1 — !' л л=! л и мы получили, что уог Е. Лемма полностью доказана. Теорема 1. Для того чтобы нрн данном уЕЕ уравнение (1') было разрешимо, необходимо и достаточно, чтобы У(у)=-О для любого линейного функ1!ионала у' такого, что А'у — у =О.
12*) Необходимость. Пусть уравнение Ах — х=-у разрешимо, т. е. у может быть представлен в виде у = ьл линейные опеРАтоРные уРАВнения 273 =Ахо — хо для некоторого хоЕЕ. Возьмем произвольный линейный функционал / такой, что А'à — 7 =О. Тогда 7(У)=-7(.4хо хо)=7(4хо) 7(хо)=А*У(хо) 7(хо) = = (А'7' — 7") хо = О, и необходимость доказана. До ст а точность. Покажем, что при выполнении условий теоремы спрзведливо включение у ~ Е = Т(Е).
Предположим противное, т. е. что уРг'.. Так как Ь ззмкнуто, то у находится от 7. На расстоянии й ) 0 н по следствию из теоремы Банаха — Хана существует линейный функционал То такой, что /о(у).=1 и То(з) =0 для любого я~ 7.. Последнее равенство означает, что Уо(Ах — х) =. (А*Уз Уо) х =- 0 для всех х ~Е, т. е. что А го .го= » Мы пришли к противоречшо, так как, с одной стороны, по построению уо(у)=1, а с другой стороны, по условию Го(у) = О.
Следовательно, у Е 1„н достаточность показана. 3 а м е ч а н и е. Уравнение Тх = у, обладающее тем свойством, что оно имеет решение, если 7'(у) = О для любого у', удовлетворяющего равенству Ту — - — О, называется нормально разреиги.ным. В предыдущей теореме, по сути дела, доказано, что для нормальной разрешимости уравнения Тх = у достаточно, чтобы 1. = Т(Е) было замкнуто. Можно доказать, что это условие является и необходимым (см. [34[).
С л е д с т в и е. Если соп рязкенное однородное уравнение А*у" — Т =.= 0 имеет лишь нулевое решение 7= — О, то уравнение Ах — х=-у разрешило при любой правой части. 271 ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [гл. щ Т ео рема 2. Лли того чтобы уравнение (2) ири данном и ~Е" было разрешимо. необходимо и достаточно, чтобы д(х)=О длн любого злемента х~Е такого, что (Н") Ах — х= О Необходимость очевидным образом следует из равенства и (х) = (А'/ — г') х = у' (Ах — х) = О. Докажем достаточность.
На подпространстве Ь определим функционал 7е (У) с помощью равенства Уе(У) =б(х) где х — один из прообразов элемента у при отображении Т (т. е. Ах — х = у). При выполнении условий теоремы опре- деление функционала Ге однозначно, так как если и — дру- гой прообраз того же элемента у, Лх — х =Аи — и, то А (х — и) — (х — и) = О, и(х — и) =О, и (х) = и (и).
откуда т. е. Аддитивиость и однородность функционала у' проверяется без труда. а его ограниченность доказывается следующим образом. Как было установлено при доказательстве леммы 2, по крайней мере для одного из прообразов х элемента у имеет место неравенство )(х)! (а~(у~~. Но тогда !Уе(УН =! й (х)! (!! Е~! ~! х~! (~! а~!а 0~!, и ограниченность г" доказана.
Продолжая ге по теореме Банаха — Хана на все пространство Е, мы получим линейный функционал Г" такой, что у(Лх — х) = у(у) =у' (у) = д(х), ЛИНСИНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 275 (А*у' — у) х = а (х). т. е. решение уравнения (2). Следствие. Если уравнение Ах — х= О имеет лишь нулевое решение х= О, то уравнение А"у — з =й разрешимо при любой правой части д. До сик пор мы исследовали связи между данным и сопряженным уравнениями. Теперь покагкем, что между разрешимостью однородного и неоднородного уравнений в одном и том же пространстве также существует тесная связь. Теорема 3.
Для того чтобы уравнение Ах — х= — у, где А — вполне непрерывный оператор, отображающий банахово пространство Е в себя, было разрешимо при любом у, необходимо и достаточно, чтобы соответствующее однородное уравнение Ах — х=О (1**) имело лишь тривиальное решение х=О. В етом случае решение уравнения (1) определяется однозначно, и оператор Т = А — г' имеет ограниченный обратный. Н е о б к о д и м о с т ь. Обозначим через М» надпространство нулей оператора Т .
Ясно, что из Т"х= О следует Т +~х=:О, т. е. гч'»г=Ж +и Пусть уравнение Ах — х= у разрешимо при любом у, н предположим, что однородное уравнение Ах — х= О имеет ненулевое решение хн Пусть хг — решение уравнения Ах — х = хп и вообще х» „— решение уравнения Ах — х=х», й= 1, 2, 3, Имеем г »-1 Т х»= х» г, ..., Т х» — — хгчьО Тх»= х„п ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫР ОПЕРАТОРЫ (гл.
ч! в то время как т х =тх,=О. Поэтому х»ЕМ», и х»(-М» и т. е. каждое подпрострацство И», будет правильной частью следующего подпространства Ф . Тогда по лемме Э 2 гл. П в подпространстве М» найдется элемент у» с нормой, равной единице. такой, что !!У» — х!!> 2 1 для любого хЕМ» н Рассмотрим (Ау»). Эта последовательность компактна, так как ((у»(!= 1 и А — вполне непрерывный оператор.
С другой стороны, пусть ур и уе — два таких элемента н р ) д. Так как Т~ (уе+ Тул — Туч) = ТР у»+ Т ул — Т уе = О, то у,+ту,— ту,Еи,, и потому !!Аул — Ау Ъ= Ъу — (у + Ту — Ту КЪ 1 Это противоречие возникло из предположения, что разрешимость уравнения (1) совместима с наличием у (1') ненулевого решения.
Необходимость доказана. Достаточность. Пусть уравнение (1') имеет лишь тривиальное решение. По следствию из теоремы 2 уравнение (2) будет тогда разрешимо при любой правой части. Так как А' также вполне непрерывный оператор и Е' — банахово пространство. то к уравнению (2) применима только что доказанная необходимая часть настояшей теоремы и уравнение (2') А'у' — т =О будет иметь лишь нулевое решение. Но тогда уравнение (1) по следствию нз теоремы 1 будет разрешимо при любом у, и достаточность доказана. 5 »1 ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРНЫЕ УРАВНЕНИЯ 277 Так как при выполнении условий теоремы уравнение (1) однозначно разрешимо, то сушествует оператор Т '=(А — Г) обратный к оператору А — Е В силу однозначности единственное решение в то же время будет и минимальным, и поэтому 11(А — у) у 11 ~~а1)у)!. Теорема полностью доказана.
Т е о р е и а 4. Уравнения Ах — х= О (1*) А*у — у =О (2*) с вполне непрерывными операторами А и А', отображакниими банахово пространство Е (соолсвелественно Е') в себя, илееют одинаковое число линейно независимых решений. Пусть х,, х,, ..., х„— базис подпространства АГ решений уравнения (1*) и уи гя, ..., у — базис подпространства ре~иений уравнения (2'). ПостРоим системУ фУнкнионалов есо еРН ..., <Рт биоРтогональных х,, ха, ..., х„, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
