1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 42
Текст из файла (страница 42)
Затем выберем по настолько большим, что при пс) пк [[Ах — А„х [[< 3 равномерно на 5 н, в частности, для всех х„,. Тогда для п,)~по= шах(п', и") будем иметь [[Ахо хо~[ < е. Так как е ) О произвольно, то это возможно, лишь если Аха= хе. т. е. если хв есть неподвизсная точка оператора А.
Принцип Шаудера доказан. В качестве примера применения принципа Шаулера докажем известную теорему Пеано о существовании решения обыкновенного дифференциального уравнения. Теорема 2. Пусть срункция у(д х) непрерывна по совокупности переменных е области [с — ть [<а, [х — хе [< а, и [) — максимум [У(б х) [ в втой области. Если Ь ш!в(а, — ), ' р то на отрезке [ть — Л, Ге+ Ь[ существует хотя бы одно решение уравнения — =у (С, х), дх (2) удовлетворяющее условию х (Гв) хи (3) Уравнение (2) вместе с начальным условием (3) эквивалентно интегральному уравнению , (с) х,+ / /(т, х ОО) бт.
(в) ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ сгл. ч! Рассмотрим оператор А, определенный равенством с Ах=х,+ ~ /(т, х(т)) ест па шаре [[х — ха[[< Ь пространства С [Сэ — й, Се+ йф Покажем, что оператор А вполне непрерывен на атом шаре. Прежде всего, если последовательность [х„(П), принадлежащая шару [[х — ха[[( Ь, равномерно сходится к фуйкцни х(Ь), очевидно, прннадлсжащей тому же шару, то в силу непрерывности функция 1(С, х) будем нметь у (с, х„ (ь) ) - ь у (с, х (м) ). равномерно на [Сз — й, се+ Ь[. Отсюда в силу возможности предельного перехода пол знаком интеграла прн равномерной скодимостк Ах„-ь Ах, т.
е. оператор А непрерывен на шаре [[х — ха[[~ Ь. Далее, для любого элемента х(С) шара [[х — хе[[~ Ь имеем с !А*п/с$,$с. [сс,, сн) /с3,/с.с/и/. (5) [с, Если сс н сс-две любые точки отрезка [Сз — й, се+ Ь[, то будем имсть $А сс — А се~< )сз, сс)ю !сс!ь,— юп (6) Неравенства (5) н (6) в силу теоремы Арцела показывают, что оператор А преобразует шар [[х — хе[[< Ь в компактное множество.
Покажем, наконец, что оператор А преобразует зтот шар в себя. В самом деле, ~а.м — .~- /'сс., (*н~*/~сьчс — -ь. Ь Таким образом, оператор А удовлетворяет всем условиям теоремы Шаудера. Поэтому существует неподвижная точка этого оператора, т. е. такая функция х (С), что х(С) емхэ+ ~ у(т, х (т)) стт. Э 4] ПОЛНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОПЕРАТОРА ВЛОЖЕНИЯ 295 Это равенство равносильно двум равенствам: — =У(б х(г)), х((з) хз.
их (г) иг Теорема Пеано доказана. При доказательстве геореиы Пеано мы применили принцип Шаудера к установлению существования решения интегрального уравнения(4). Этотже принцип позволяет установить существование решений у более сложных нелинейных интегральных и интегродифференциальных уравнений. ф 4. Полная непрерывность оператора вложения С.
Л. Соболева Выше было показано (стр. 119), что из принадлежносги функции ф(х. у) классу Ф' следует принадлежность этой,ке И) функции классу Ю'Р при )г к.1. (а) Введем оператор А, определенный для всех функций ф(х, у) ~ (РРи н переводящий гр(х, у) в эту же самую функцию, но уже рассматриваемую как элемент пространства )Р'„' ° Ясно, что для разных и это будут, по существу, различи,.е операторы.
Оператор А называют оператором влозкения. Оператор А, очевидно, линейный н неравенство на стр. 119 показывает, что А ограничен. Докажем, что А является даже вполне непрерывным оператором. Полная непрерывность оператора А будет вытекать нз следующей теоремы. Теорема (В. И. Кондрашова). Пусть 9)à — ограниченное множество в пространстве Хтр. Если р ) 2, М то множество А(9)Г) компактно в смысле равномерной сходимости; если р~(2, то А(И) компактно в с.нысле метрика пространства Е (О). 11о формуле С, Л. Соболева г-з Аф=ф(х, у)=~~ ~), Саа,а,(Р) ~ / фЯ), ', д()-)- а=о А,РА,=А о -)- ~ ~ ~ ф(Р, ()) ','", дЦ. (1) А+й=г о ВпОлне непРеРНВные ОпеРАТОРЫ [ГЛ.
Ч! до В силу непрерывности о слагаемые первой группы дхо' дуо' формулы (1) представляют собой интегральные операторы с непрерывными ядрами и. следовательно, будут вполне непрерывными операторами и в метрике С(0) и в метрике Е (О). Необходимо поэтому исследовать лишь слагаемые последней группы формулы (1).
Ядра Аф(Р. 0) интегральных операторов, входящих во вторую группу слагаемых, имеют вид А(Р ()) В(Р, Ц) г или А (Р, 1~) = В (Р, 0) (а 1и г +. р). где В(Р, 0) — ограниченная функция '1 В (Р, 0) ~ ~( С. Докажем полную непрерывность интегрального оператора с таким ядрои. Рассмотрим случай р ) 2 и ограничимся первым выра- жением для А (Р, 0).
Имеем д!!в ! / /АЦ,(Р,9),~! гйдо~(С/ / ~ У ~о!0( <о(((~ ',",, ~'~о)''()).- Ю)~г< ! ОЛ Р !о ! ! <С!~р~~ !! / ~ -о+!г(гг(б) <СК(2п) (В) . (2) в' !л то о Здесь К вЂ” константа, ограничивающая нормы функций !р(х, у) Р в пространстве Кр~, и  — значение интеграла ~ г-о''дг, о который сходится, если д < 2, т. е. если р ) 2. Далее, вводя для сокрашения обозначения ф(Р)=~ 1 А,",',(Р, ©, ~ ! г10. дх" ду' $41 пОлнАя непреРЫВность ОпеРАтОРА ВлОжения 297 будем иметь 1ф(Р+АР) — ф(РН < где Ое обозначает часть области О, состоящую из точек. удаленных от точки Р менее чем на 2Ь.
Будем считать, кроме того, что расстояние от точки Р до точки Р+ АР не превосходит Ь. 1 В силу всего этого — под знаком первого интеграла, гр о стоящего в фигурных скобках, будет непрерывной функцией, и потому первое слагаемое будет сколь угодно мало при достаточно малом АР. Что касается второго слагаемого, то для него, вводя полярные координаты с центром в точке Р+АР. получаем опенку .ГУ„т.'„1,:"„"1" < -.«.,.(~,"„.~ ">'(п~„,.„~ -у.
1 1 <К(2п)1 ~ / 4 ггтг/ <К(2п)1 2 (ЗЬ)~ а. и правая часть этого неравенства может быть сделана при достаточно малом Ь сколь угодно малой, если только д < 2, т. е р ) 2. Аналогично оцениваем третий интеграл. и равно- степенная непрерывность функций ф(Р) доказана, а вместе с тем доказана и первая часть теоремы.
$41 ПОЛНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОПЕРАТОРА ВЛОЖЕНИЯ Щй где Р— диаметр области О. Из полученного неравенства видно, что можно сделать сколь угодно малой, если б достаточно мало, Совершенно так же оценивается норма третьего слагаемого формулы (3). Таким образом. $ф(Р+АР) — ф(Р)й -ьО при АР-РО. Аналогичными вычислениями показывается равномерная ограниченность в среднем функций ф(Р). Но тогда по теореме Рисса функции ф(Р) образуют компактное семейство.
Теорема доказана. 1(ля доказательства полной непрерывности оператора ало>кения достаточно теперь применить доказанную теорему к формуле С. Л. Соболева, выражающей й-е обобщенные производные через 1-е обобщенные производные при и (1. Мы ограничились случаем функций двух независимых переменных, Случаи функций большого числа независимых переменных, а также более сложных областей рассмотрены в книге С. Л.
Соболева [30). Приведем пример применения теорем вложения к задачам уравнений математической физики. Пусть 6 — область на плоскости рассматриваемого вида. Покажем, что существуют значения Л такие, что уравнение де+Ар=О внутри й имеет нетривиальное рещение, удовлетворяющее условию ~р~г=О, à — граница 0 (собственные функции задачи Лирихле).
Мы сразу же ослабим второе условие: вместо равенства в 1г й мы будем требовать, чтобы Р~йз — подпростраиству пространА11) ства й71я>>, состоящему из функций, являющихся пределами в смысле метрики етого пространства последовательностей функций, обра щающихся в нуль в некоторой (своей для каждой функции) граничной полосе области О. ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ (Гл. и! рассмотрим в (Р"2' (б) функционал ),/ ~ (дх) + (ду) Этот функционал ограничен снизу и. слеловательно, иа функциях !Р(х У)ч Фт~ такнл, что ~ !Р' (х, У) дх ду = 1, а он имеет нижнюю точную границу Ло. Очевидно.
что Ло ) О. Покажем, что точная нижняя граница функционала 1 постигается на некоторой функции !Рз(х, у)ЕФ'~'. Пусть (!Р„(х, у)] о= ~ Ъ: — минимизирующая последовательность, т. е. такая, что ь! ! ) 2 (!Рл) = )"л о Ло )! <Рл !!г,, (4) Так как и (1(ф„)! как последовательность, схолящаяся к пределу, ограничена, то (!Рл! есть огРаниченнаЯ последовательность пРостРанСтза йт~т'!. В СИЛУ ПОЛНОЙ НЕПРЕРЫВНОСТИ ОПЕРатОРа ВЛОЖЕНИЯ (~Рл) номпактна в пространстве Ум Отбрасывая, если необходимо, некоторые члены послеловательности,мы можем предполагать, что минииизирующая последовательность (ел) сходится в пространстве Лм Поэтому для любого з > 0 найлетсз номер ло такой, что прн п~ ло !!Ял — Тт (!С, < Е )(алое !! 2™ !! +!! 2™ )! 2 ))чл))е,+ 2 !!гут!!,= Отсюда Так как Ло= (п( л И) Чт П'2, !!Ч!~У ! то в силу квааратичной однородности / (!Р) будем иметь (и( (п( У (4Р) Ло l(р) ЕС !Рз ~ ))С ВС "2 '>В)ло 2 <! ПОЛНАЯ НЕПРЕРЫВНОСТЬ ОПЕРАТОРА ВЛОЖЕНИЯ Позтому л' (ф) > Ао ~! Р йси и, в частности I( — ) ~)о!) е 'й > ю( 4)' Выберем л и т настолько большими, чтобы УВР„) < Лл+а, 2 РРм) < Ал+е.
Тогаа у('Рл 'Рт) л, ( ) + у ( ) у (1Рл+Ччл) < Ал+а — Лл(( — — ')=а(( — А,— ',), т. е. ./(~" Р~)-ьб при и, т-ьсю. Тогда формула (5) показывает, что не только Ил — фм! 1с, -ь 0 но и !11Рл !Рм й (П ь0 при и, т -ьсо. В силу полноты пространства (Р(тн сушествует 1Р„(х, у) ~ А!20, являющаяся пределом в пространстве (р~" последовательности (ил).
Очевидно, что !1 Во !!А ' Во (х, у) Е (Р"2" Из неравенства 1 1 1 ( 1 у( )2 у(ф)2~<(у( ф))2 справедливого для любых !Р, фЕ )Р)'1, следует, что 1.— Ч 1 1 ( 1 2 ('Рл) 2 ('Ро) ! < (л 0Рл — !Ра)) < !)!Рл — 1Ра(! РП У (!Рл) -ь У 0Рл) при л -ь со. Так как, с другой стороны, л (1Рл) -> ) в. то л (то) = да ВПОЛНЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ ОПЕРАТОРЫ (гл. Рт и существование в Грт~' функции, реализующей минимум з (ф) при Условии 1/ир//с 1, доказано.
Покажем теперь, что предельная функция ф,(х, у) удовлетворяет уравнению Лапласа. Пусть ь(х, у) — произвольная функция из (Р)", обращающаяся в нуль в некоторой граничной полосе области б. Имеем при любых вещественных значенивх Г у(фз+Гь) >д //ф.+С)~с, '" откуда У(фе)+2/ / / ~ — — + — — ~ 6и/т)+/г/(О> ( дфе дь дфз дь 1 ( дх дх ду ду ) а ьь[ии.иа,-ии / /сии, ииии и и .ь'иииии(1. Учитыван, что l (фе) де и 1/фе//с 1, полУчаем а — и. / / вии ииия ии~и«)ью/ииии — ии~и~иииЦ>и. а Отсюда обычным рассуждением получаем, что а — До // / фо(с т))(($, и))а%дй=б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
