1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 44
Текст из файла (страница 44)
ти Поэтому если х — любо» злемент из Н, отличный от нуля. то. полагая ! будем иметь й Ах 'к~=(А(Хх). и)= 4 ((А(йх+и), ).х+и)— — (А(Хх — и), Хх — и)) ~( — Сд ( й Ля+ и~!'+!/)х-и (~т)= = — Сд ( 'й Лх (~~+ 'й а 'йэ) = — Сд ~ )„т (~ х ~~э+ 1 и Ах лэ~ =Сд(~хй ~!Ах/~, откуда а Ах а ~( Сд )~ х ~~, и, следовательно, (Ах, х) =(Вх, х), то А =В. $2.
Унитарные операторы. Проекционные операторы Мы рассмотрим здесь два специальных класса операторов в гильбертозом пространстве. Линейный оператор У называется унитарным, если он отображает пространство Н на все Н с сохранением нормы. т. е. если ~~ихй = !!х~~. Легко видеть, что это отображение взаимно однозначно. так как если ух, = (ух, то есть (г(х, — хт) = О, 1~х,— х,!!=~~и(х,— х,Ц= О то 'йА~)~~Сд — — зпр ~(Ах, х)~. (5) !М 1 Из неравенств (4) и (5) получаем требуемое равенство. Из доказанного следует, в частности: если для самосопряженных операторов А и В при всех х ~ Н выполняется равенство $2! УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ.
ПРОЕКЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 311 и хг = хз. Поэтому существует обратный оператор и который также очевидно унитарен. Далее равенство (1) дает (их, их) = ~~ их )р = й х 32 = (х, х). откуда (йих, х) =(х, х) =(Ех, х), где через Е здесь и в дальнейшем в этой главе мы обозначаем единичный оператор. Так как квадратичные формы операторов У'У и Е равны, то эти операторы совпадаюте) У" У = Е. (2) Умножая это равенство слева на У и справа на У" . будем иметь ии*=е. (3) Отсюда получаем, что и =(/ .
~!з (2) также следует, что (их, иу)=(х, у). (4) Пусть даны линейный оператор А, действующий в гильбертовом пространстве, и унитарный оператор У. Опергнор В = УАУ = (/АУ (5) ') Отметим, что для любого линейного оператора А оператор Л*Л будет самосопряженным. Обратно, нз условий (2) и (3) вытекает, что У вЂ” унитарный оператор, так как из ник вытекает, что существует и =(/ и, следовательно, отображение Н на Н взаимно однозначно и что 'й Ухйт=(Ух, Ух)=(У*Ух, х)=(х, х) = 3 х ~~2, т.
е. что У сохраняет норму элемента. Примером унитарного оператора в координатном гильбертовом пространстве 12 может служить бесконечная унитарная хатрыца (и, ), т. е, такая, элементы которой удовлетворяют соотношениям ,~~ и«,н«/ — — 6~/, ~«ЦТи à — Ь,Р ««Н (=1 312 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. ЧП называют оператором, унитарно эквивалентным оператору А. Из равенства (б) видно, что оператор, унитарно эквивалентный самосопряженному, также самосопряженный.
Легко проверить, что нормы унитарно эквивалентных операторов равны. Введем теперь важное для дальнейшего понятие проекционного оператора. Пусть г. — надпространство пространства Н. Любой элемент х ~ Н однозначно представим в виде х=у+я, Х1 = Уг+ Я1 И Хг = Уг+ Ег, где ун уз~ [., а ХР яг ) 1„то ЮХ1+ ([Хг = (пу1+руг) + (ОЮ1 [ рог)' где ау[+ругс [, ае1-+ряг! 1. откуда Р (ах, + Рха) = ау1+ Руг = ОРХ1 + РРХ2. Далее, !! х !!2 = !! у+- !!2 = (у+ у+ ) = (! у !!2+ !! в !!' в силу ортогональности у и х.
Следовательно, !!у!! (!!х!!, т. е. !! Рх !! (!! х !! (!Р!!(' для любого х. Отсюда где у~ [., я ! 1.. Полагая Рх = у, получим некоторый оператор, определенный на всем Н, область значений которого есть подпространство 1.. Этот оператор называется проекционным оператором, или оператором ортогонального проектирования на надпространство 1., и обознзчается также через Рг. Докажем, что оператор Р есть самосопряженный оператор с нормой, равной единице, и удовлетворяет условию Рг = Р. Прежде всего Р— линейный оператор.
В самом деле. если 5 21 УНИТАРНЫЕ ОПЕРАТОРЫ. ПРОЕКЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 313 Так как для х Е Ь имеем Рх = х и. следовательно, то Покажем, что Р— самосопряженный оператор, Пусть х, и хя — любые два элемента из Н, у, и уя — их проекции на Ь. Имеем (РхР хя) =(УР хя) =(УР Ут). Аналогично Рхя)=(хР Уя)=(У1 Уз) Слеловательно, (Рх,. хз)=(хн Рх ) Наконец. Рх~ А для любого х ~Н. Поэтому Р'х = Р (Рх) = Рх для любого х ~ Н, т. е.
Рт = Р. Покажем, что верно и обратное утверждение. а именно. что всякий самосопряженный оператор Р, удовлетворяющий условию Р'=Р, есть оператор ортогонального проектирования на некоторое пространство Ь. Рассмотрим множество 1. элементов вида у = Рх, где х пробегает все Н. В силу аддитивности и однородности оператора Р множество ь есть линейное многообразие. Легко показать, что 1. замкнуто. В самом деле, пусть у„ — Р ур, у„ ~ Ь. Так как у„ Е 1., то у„ = Рх„ для некоторго х„ ~ Н.
Поэтому Ру„= Р'х„= Рх„= у„. В силу непрерывности оператора Р из у„ур следует Ру„— ь Рур. Учитывая равенство Ру„=у„, получаем уэ-РРур. Слеловате.чьно, ур — — Рур и уре(. Из самосопряженности оператора Р и условия Рз=Р имеем (х — Рх, Рх)=(Рх — Рзх, х)= О, то есть х — Рх ) Рх. Теперь из самого определения подпространства 1. следует. 314 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ 1гл. Рп что Р есть оператор проектирования на это подпространство.
и требуемое показано. Заметим также, что Е состоит из тех и только тех точек х ~Н, для которых Рх = х. Из доказанного, в частности, следует, что вместе с Р также г' — Р— проекционный оператор, Укажем несколько простых свойств проекционных операторов. Два проекционных оператора Р, и Рг называются ортогональными, если Р,Р, = 0*). Это условие равносильно условию Р,Р, =О, нбо если Р,Р,=О, то (Р,Рг)*=РТР, =0 и обратно.
Для того чтобы проекционные операторы Р, и Р, были ортогональны, необходимо и достаточно, чтобы были ортогональны соответствующие подпространства Ь, и Ег. В самом леле, если Р,Р, = О, то для х, ~ Е,, х, Е Ег имеем (хн хг) =(Р1хн Ргхг) =(РгР,хи хг) =(О, хг) = О. Обратно. если Е, ) С~, то Ргх ~Ее для любого хгН и, следовательно, Р,Р,х = О. то есть Р,Рг = О. Лемма 1. Длн того чтобы сумма двух проекционных операторов Рс, и Рс, была проекционным оператором, необходимо и достаточно, чтобы вти операторы были ортогональны. Если вто условие выполнено, то Рс,+Рс =Рс,рсе Необходимость. Пусть Р=Рс,+Рс, — проекционный оператор. Тогда (Р,,+ Рс)г = Р„+ Реи откуда Р,Рс,+РЕРс, = О.
Умножая слева на Рсе получим Рс,Рс, + Рс,Рс,Рс, = 0; умножая теперь справа на Рсо будем иметь Рс,рс~зс, = О, *) Здесь н дальше 0 означает не только число О, но н нулевой оператор. зг1 вннтлвныв опввлтопы. пвовкционныв опиолтооы З(б но тогла Рс,рс, = О. Достаточность. Пусть Рс,Рс,=Рс,Рс,=О, Тогда (Рс,+ Р~)а= Рс,+Р„. Следовательно, Рс,+ Рс, — проекционный оператор. В силу условия Рс,Рс,=О надпространства Ь, и Е ортогональны. Если х~Н. то Рх = Рс,х+ Рсх = х1+ ха Е Ц~+ Аг.
(6) Если далее х=х,+хг — элемент из Е,+А~, то, учитывая равенства Рс,х,=О, Рс,х, =О. будем иметь х = хг + хг — Рс,х1 + Рс хг = = Рс, (х, + кг)+ Рс, (х, + хг) =(Рс, + Рс,) х. (7) Из (б) и (7) следует, что Р есть оператор проектирования на Е,+Л~, и лемма полностью доказана. Лемм а. 2. Алн того чтобы произведение дву.е проекционных операторов РС и Рс, было проекционным оператором, необходимо и достаточно, чтобы операторы Рс, и РС были перестановочны. Если ато условае выполнено, то с, с, = ' с, П с,.
Необходимость. Так как Р=Рс,РС вЂ” самосопряженный оператор, то Рс,Рс = (Рс,рс,) = Рсрс, = Рс,рс, и необходимость перестановочности доказана. Достаточность. Если РсРс=РсРсс то Р = Рс,Р,„— самосоцряженный оператор. Кроме того, (Рс,Р~ ) =Рс,рсРс,рс,=рцрс=РСРс, и. следовательно, Р— проекционный оператор. Пусть х — любой элемент из Н.
Тогда Рх = Рс,Рс,х = РыРцх принадлежит и Ег и Ц, т. е. принадлежит Е П(е, З!б СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ !Тл. Ты ПУсть тепеРь У Е ь! П Г.г. Тогда Ру = Ры (Рс,у'!= Рцу = у. Все это означает, что Р есть оператор проектирования на б! П Ьг, и лемма доказана. ! проекционный оператор Рг называется частью ироенцнонного оператора Р,, если Р,Рэ=РТ. Переходя к сопряженным операторам.
убеждаемся, что это определение равносильно определению РТР, = Рг. Из определения непосредственно следует, что оператор Ры является частью оператора Рц тогда и только тогда, когда подпространство Ьг есть часть подпространства Е!. Для того чтобы проекционный оператор РС был частью проекционного оператора Рсе необходимо и достаточно, чтобы для всех х Е Н выполнялось неравенство Ры~!! <Фы~ !1. В самом деле, из Рг,р,,х= Рых следует 'я Рр,х ц ()~Рь, () )(Рь,х й (эРцх ~(.
Обратно. если это условие выполнено, то для любого х ~ Ег имеем )(Рых(~) )(Рс,х~(=)~х)), и так как верно также 'ЭРцхЭ (Эхй, 'й Рс,х )~ = 'Э х ((. ~~ Рн .А,х Д = )) х ~~г — )! Рс,х ~)г = О, то Отсюда и, следовательно. х Е Е!. Поэтому Рс,х Е Е! для любого х~Н и, значит, РсРсх=Рс,х. т. е. РА,РА,=РЕР что и требовалось доказать.
Л е и м а 3. Разность Р, — Рг двух проекционных операторов есть проекционный оператор тогда и только тогда, когда Р, есть часть Р,. Если вто условие выполнено, то Ер, р, есть ортогональное дополнение н Ер, в Ьр,. положнтгльныв Опввлтоиы 317 Н е о б х о д и м о с т ь. Если Р, — Рг есть проекционный оператор, то Š— (Р, — Р) =!Š— Р)+Р, также есть проекционный оператор. Но тогда в силу леммы 1 имеем !Š— Рг) Рг = 0 т. е. Р,Р, = Рг. Достаточность.
Пусть Р, есть часть Рн Тогда Š— Р, и Рг ортогональны и в силу леммы 1 оператор (Š— Р,) + Р, — проекционный и, следовательно, оператор Р, — Р,— также проекционный. Из условия Р,Р,= Рг следует, наконец, что Р, — Рг и Ря ортогональны. Но тогда в силу той же леммы 1 7, =Е,, „+).,н что и требовалось доказать. ф 3. Положительные операторы. Квадратный корень из положительного оператора Самосопряженный оператор А называется положитель- ным, А ) О, если он отличен от нулевого и его нижняя граница не отрицательна, т.
е. если (Ах, х)) 0 для любого х ~ Н и (Ах, х) > 0 хотя бы лля одного х Е Н. Говорят, что самосопряженный оператор А больше само- солрялсенного оператора В, А > В, если А — В > О. В этом случае говорят также, что оператор В меньше оператора А. Легко проверить, что введенное в множестве самосопряжсн- ных операторов соотношение неранено~за обладает слелую- щнмн свойствами ь): 1) из А > В н С > В следует А +-С ) В + г), 2) из А)~0 н а)~0 слелует аА)~0, 3) из А) В и В> С следует А)~С, 4) если А > 0 и А, существует, то А ~ > О. Далее очевидно, что АА* и А*А — положительные опе- раторы для любого линейного оператора А, отличного от пулевого, В частности, Аг ) 0 лля любого самосопряженного оператора А, А чь О. Из последнего следует, что примером ь) 1!еравеиство А)В означает либо А > В, либо А = В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
