1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 46
Текст из файла (страница 46)
е. [)Аьх,'[)~([)[~[к~[. (4) Чтобы завершить доказательство, достаточно использовать теорему !. Те о р е и а 3. Спектр самосопрлзкенного оператора А лелсит целиком на отрезке [пг, М[ вещественной оси, где лг = !и! (Ах. х), !к![=я М =- звр (Ах, х). ! з !М Я Из предыдущей теоремы следует, что спектр может лежать лишь на вещественной оси. Покажем сейчас, что вещественные Л, лежащие вне отрезка [т, М[, суть регулярные значения.
Пусть, например, Л ) М, Л = М+ й, й ) О. Инеем (Аьх, х)=(Ах, х) — Л(х, х)( М(х, х) — Л(х, х) = = — й~[х ~, отсюда [(Аьх, х)[)~ й()х!г. С другой стороны, [(Аьх, х)[ ([[Аьх([[[х)[. Следовательно, )[Аьх[[) й[)х[[. [[Ахп[[([[А[[[[хе[[ = ~[А[[ = М Отсюда следует регулярность значения Л. Аналогично рассматривается случай Л ( т. Те о рема 4.
Числа т и М с»ть точки спектра. Докажем это. например, для числа М. Заметим. что если оператор А заменить оператором АР. то спектр сдвинется влево на )А, а числа М н т заменяются на М вЂ” [А и т — р. Мы можем поэтому, не нарушая общ- ности рассуждения, считать, что О .(т ( М. В таком слу- чае (см. стр. 309) М= [[А[[.
Докажем, что М есть точка спектра. В самом деле, в силу определения числа М = [)А ! су- пяествует последовательность элементов х„, )[х„[[ = 1, такая, что (Ах„, х„)=М вЂ” бт 6„-«О при и — «ОО. Далее, СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ !ГЛ. РН Поэтому []Ах„— Мх„~~ = (Ах„— Мхл Ахл — Мхл) = = [[Ах„[т — 2М (Ах„, х„)+ Мт[[х„[[т ( ~( Мт 2М(М вЂ” Ьл)+ М'=2Мбл или [[Ах„— Мх [[ 4 ~2МЬ„° Очевидно, а =О, М~ 1. Мы покажем, чтовсе точки отрезка [О, 1] принадлежат спектру оператора А (откуда будет следовать, что М = 1). В самом деле, пусть 0< Л<1.
Рассмотрим отрезок [Л, Л+а] (или [Л вЂ” е, Л]), лежащий в отрезке [О, 1]. Пусть 1 — при ТС[Л, Л+е], х,(!) ]ге 0 при Г1=.[Л, Л+з]. Так как 1 Х+е ~ хат(Г) ПТ ~ ~ г(Т о ь х (!) ~Лг [О, !], ]х [[=!. А1х (!) =(! — Л) х (Г), то Далее, *) В теории нормированных колец доказывается непустота спектра любого огрзниченного оператора, определенного в произвольном банзховом пространстве [7]. Следовательно, [[Ах„— Мх„~[-ьО.
[[хл![=1. Остается использовать следствие теоремы 1. Следствие. Каждый самосопряжениый оператор имеет непустой спектр е). П р им е р ы. 1. Если оператор А есть единичный оператор Е, то его спектр состоит из одного собственного значения 1, для которого соответствующее пространство собственных злементов 1 Н, =Н. При Л чь! оператор )7Л вЂ” — Л ! Е есть ограниченный оператор. 2.
Определим оператор А из (11[0, 1]-ьЛ1[0, 1]) следующим образом: Ах(г) !х(г), О<!< 1, а 41 СПЕКТР САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 327 откуда 1 ет ~~ААт, «)~|' = — ~ (1 — А)'дг= .1 Л При е-+О имеем ))Аьх ))-ьО. Следовательно, Л есть точка спектра при О ~( Х ( 1. В то же время оператор А не имеет собственных значений. В самом деле, А; х (т) = (т — Д) х (1). Если А,х(1) =О, то(1 — д) х(т) =0 почти всюду на [О, 1), а отсюда и х(т) почти всюду равно нулю.
Иивариаитные подпростраиства. Подпространство т'. пространства Н называется инвариантпым подпрост ранством оператора А, если из х ~ Ь следует Лх ~ Е. Приведем пример инвариантного подпространства. Пусть ), — собственное значение оператора Л и Нь — совокупность собственных элементов, соответствующих этому собственному значению, к которой присоединен нулевой элемент. НА — инвариантное подпространство, так как в силу равенства Ах = ).х нз х ~МА следует Ах~Их. Если Š— инвариантное подпространство оператора А, то говорят также, что Е приводит Л. Установим некоторые свойства инвариантных подпространств самосопряженных операторов.
1'. Из инвариантности Е следует инвариантность его ортогонального дополнения М = Н -- Е, Пусть х ~ М. Это значит, что (х, у) = 0 для любого у ~ Е. Но Лу также принадлежит Е для у ~ Е и потому (х, Ау) =О. Отсюда в силу самосопряженнзсти Л получаем (Ах, у)=0 для любого уСЛ. Следовательно, Ах СМ, и требуемое доказано. Обозначим через ОА область значений оператора Аь, т. е. совокупность элементов вида у = Ах — ).х, где ). — собственное значение. ЛЕГКО ПрОВЕрИтЬ, ЧтО Н = ОЛ + Гч'А В СаМОМ ДЕЛЕ, ЕСЛИ УЕОА, и ~Лгь, то (у, и)=(Ах — ),х, и) =(х, Аи — )и) =(х, 0) = — О. 32В спеаГРАльнАЯ тсОРня ОпеРАтОРОВ 1гл.
ч!с Слеловательно, Оь 3 Иы Если у~ Ос и у~ ОП то у =1!ту„. А где у„~Ою Из равенства (у„, и) =О получаем (у, сс) = Оси (усн и) = О. и Следовательно, бь 1 Иь. Пусть теперь (у, и) = О для любого у Е Оы Для произвольного х Р Н получаем О =(Ах — Лх. и)=(х, Аи — ).и). откуда Аи — Хи=О, т. е.
иЕИП Следовательно. Их= Н вЂ” ОА=Н вЂ” Оы ч. т. д. Из свойства 1' и только что доказанного предложения следует; Оь является ннвариантным подпространством само- сопряженного оператора А. Обозначим через И ортогональную сумму всех подпространств Иы или, что то же самое, замкнутую линейную оболочку всех собственных элементов оператора А. Это— также инвариантное подпространство данного оператора. Если Н вЂ” сепарабельно, то в каждом Ис можно построить полную конечную или счетную ортонормальную систему собственных элементов. Так как собственные элементы из различных Ис ортогональны, то, объединив эти системы, мы получим ортогональную систему собственных элементов (х„(, полную в пространстве И. Оператор А определяет в инвариантном поднространстзе ь оператор Ас из (ь — ь ь); именно, для х ~ ь, Асх = Ах. Нетрудно проверить, что Ас есть также самосопряженный оператор.
2'. Если инвариантные подпространства С и сИ образуют ортогональные дополнения друг к другу, то спектр оператора А есть теоретико-множественная сумма спектров операторов Ас и ААР Пусть Х есть точка спектра оператора Аь или ААР Тогла существует последовательность элементов (х„(с=с (соответственно с)1) такая. что ((х„((= 1, ((Ас Ах„((-+ О.
$н СПЕКТР САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 329 Ио !! Ас, лхл !! = !! Алх„!!, поэтому ). принадлежит спектру оператора А. Пусть теперь ). не принадлежит ни спектру оператора Ас ни спектру оператора А „. Тогда существует положительное число с такое, что для любых у~4'. и г сМ !!Алу!!=!!Аылу!!)~с!!у!!, !!Алг!!)~с!!г!!. Но любой элемент х Е Н имеет вид х = у+ г, у ~ 1., г ~ М, !! х !!' = !! у )!з+ !! г !!з. Отсюда 1 !! Алх !! = !! Алу+ Алг !! = ( !! Ал,у !!з+ !! Алг !!') ' ) 1 ) с(!!у!!з+!! !!')'= !!х!!. Итак, Л не есть точка спектра.
Точечный н непрерывный спектры. Как мы видели. пространство Н представимо в виде ортогональной суммы двух пространств: пространства М вЂ” ззмкнутой линейной оболочки множества всех собственных векторов самосопрялкенного оператора А и его ортогонального дополнения О. Пространство М есть инвариантное подпространство оператора А; значит, спектр оператора А есть теоретико-множественнаа сУмма спектРов опеРатоРов А4ч и Ао.
СпектР опеРатоРа Ам называетсЯ точечным снегстРолг*) опеРатоРа А, спектр оператора АΠ— непрерывным спектролг оператора А. Если М = Н, то непрерывный спектр отсутствует и оператор А имеет чисто точечный спектр; такой спектр, как мы видели в гл. МК имеют вполне непрерывные операторы.
Если оператор не имеет собственных элементов, то подпространство М пусто, Н= й и спектр оператора А — чисто непрерывный; примером может служить спектр оператора А в примере 2. Операторы с чисто точечным спектром. Пусть сзмосопряженный оператор А имеет чисто точечный спектр. Тогда М = Н и, следовательно, в Н существует замкнутая ") Часто точечным спектром оператора А называют совокупность всех его собственных значений. Согласно нашему определению к точечному спектру оператора относятся н предельные точки множества его собственных значений.
СПЕКТРАЛЫ!АЯ Т!!ОРИЯ ОПЕРАТОРОВ !!Л. Ч!! ортонормальная система собственных элементов (х„)! Ахи = Лихи, (5) значения "). представим рядом Фурье х= ~~'., сихи, где Л„ — собственные Каждый элемент х (6) и=! где си = (х, хи). Обозначим черезРА равенством Рих проекционный оператор, определяемый = (х, хи) хи = сих, (Ри есть опеРатоР пРоектиРованиЯ на пРЯмУю Схл, — ОО ( ( ! (+ со). Формула (6) может быть записана в виде х=Ех = ~'., Рих илн, в операторной форме, Е=~Р„ Легко видеть, что Р Р =О, !и~а.
В силу (5) и (6) Ах = ~~'.~ Лисихи = ~~~~ЛРР,х л и (7) (8) (9) так как 1Л) (/~А)!, то сумма ~(Ллсл)! конечна вместе с ~с!). ( л В операторной форме (9) запишется в виде А=~ЛР„. л Из (9) и (6) следует (Ах, х) = ,~~ Л се. л (16) (11) Итак, мы привели квадратичную форму (Ах, х) к сумме квадратов. ') Прелползгается, что Н вЂ” сепарабельно. $ 41 СПЕКТР САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 331 Формулу (11), как вто следует из (9), можно записать в виде (Ах, х) = ~ Ли (Рих, х).
(12) и Пусть теперь Л не входит в замыкание множества (Л„) собственных значений. Сушествует постоянная д > О такая, что 1Л вЂ” Л„~ ) и. Имеем Аьх =(А — ЛЕ) х = ~~'„',(Ли — Л) Рих. и Отсюда с помощью (8) легко получаем Яьх=АА х= Га Л „Р,х, и и (13) или. так как Рих= сихи, Так как то или Следовательно, Л не принадлежит спектру. Мы можем записать (13) в виде (14) Выведенные формулы совершенно аналогичны формулам для квадратичных форм и симметрических (и эрмнтовык) матриц в и-мерном случае, отличаясь от ник лишь тем, что конечные суммы заменены бесконечными рядами. Д.
Гильберт в своей работе 181 развил впервые обшую теорию самосопряженных операторов и соответствующих форм (Ах, х), рассматривая последние как пределы квадратичных форм с и переменными при и -и со. Прн СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ 1гл. чп неограниченном росте п конечные суммы, аналогичные только что выведенным, могут переходить как в бесконечные суммы, так и в интегральные выражения, которые будут даны ниже. Этому отвечает появление точечного и непрерывного спектров.
Разобранный случай чисто точечного спектра особенно прост в смысле его полной аналогии с конечномерным случаем. В этой же работе Гильберта был выделен важный класс операторов с чисто точечным спектром — класс вполне непрерывных операторов. Приведем здесь независимое от общих результатов гл. тг1 доказательство дискретности спектра вполне непрерывного оператора. Теорема 5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
