1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 49
Текст из файла (страница 49)
Полученное противоречие доказывает теорему. Мы будем теперь рассматривать операторы А, определенные на линейном многообразии 0(А)с=Н, всюду плотном в Н, со значениями в том же пространстве и обладающие на 0 (А) свойством линейности: А (ах+ ру) = аАх+ рАу для любых х, у~0(А) и любых чисел а и р.
Множество 0(А) называется областью определения оператора. Множество )с(А)= А0(А) называется множеством значений оператора. Два оператора А и В считаются равными или совпадающими, если 0(А) = 0(В) и Ах=Вх для любого х~0(А). Если же 0(А)с=0(В) и Ах=Вх для любого х~ 0(А), то оператор В называется расширением оператора А, а оператор А — сужением оператора В. В этом случае будем писать А~В. Пусть А и  — два линейных оператора с областями определений 0(А) и 0(В).
Если 1=0(А)П0(В), то на элементах линейного многообразия А имеют смысл оба оператора. Оператор (А+В)х=Ах+Вх, хЕЕ, называется суммой операторов А и В. Многообразие 1. всегда содержит нулевой элемент и, следовательно. не пусто, но нетривиальной сумма операторов будет, лишь если Е содержит элементы, отличные от нулевого. Это же замечание относится и к последующим определениям. Пусть теперь в 0(А) существует подмножество 0 такое, что Ах ~0(В) для любого х~ 0. Тогда на 0 определено аб1 неОГРАниченные линейные ОпеРАтОРы 351 произведение оператора В на оператор А (ВА) х = В (Ах). Аналогично определяется и произведение АВ.
Если оператор А отображает 0(А) на Я(А) взаимно однозначно, то существует обратный оператор А с областью определений й(А) и областью значений 0(А). Может случиться, что й(А) = Н и что обратный оператор А будет ограниченным, хотя А — неограниченный линейный оператор. Может быть и наоборот: ограниченный линейный оператор А имеет неограниченный обратный оператор. Таковы, например, операторы на стр. 161, если рассматривать их как операторы в пространстве г,г(0. 1). Соприжеииый оператор. Пусть А — линейный оператор. определенный на линейном многообразии 0 (А), всюду плотном в Н. Если скалярное произведение (Ах, у) для данного фиксированного у и любого х Е 0 (А) может быть представлено в виде (2) (Ах, у) =(х, у*), то будем говорить, что у принадлежит области определения 0(А*) оператора, сопряженного с А, а сам сопряженный оператор определим равенством А*у = у*.
Так как 0(А) предполагается всюду плотным в Н. то равенством (2) элемент у" определен однозначно. Без труда проверяется, что 0 (А*) — линейное многообразие и что А" — линейный оператор. Заметим, что область определения сопряженного оператора всегда не пуста в она заведомо содержит нулевой элемент. П р и м е р.
Пусть Н = Е' (6), где 6 — ограниченная измеримая дг область на плоскости хОу. Рассмотрим оператор А= —, дхь дун определенный на всюду плотном в 6 линейном многообразии функцнй ф(х, у), непрерывных вместе с частнымн производными до иго порядка включительно н обращающихся в нуль в некоторой граничной полосе области 6 (своей для каждой функции). Так как Р(А) всюду плотно в Е,(6), то существует сопряженный оператор А*.
Вспоминая определение, данное на стр. 98, получаем, что 352 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ !ГЛ. Н!! О(А*) есть совокупность функций ф (х, у), имеющих обобщенную производную г-го порялна, н А' является оператором обобщенного дгф дифференцирования А*ф = дх' дуй Линейный оператор А, определенный на О(А), называем симметрическим, если для любых х, у~ О(А) выполняется равенство (Ах, у)=(х, Ау). Для случая ограниченных операторов понятие симметричности оператора совпадает с понятием самосопряженгюсти.
Для неограниченных операторов. как увидим ниже, это — разные понятия. Как и в случае ограниченных операторов, для сииметричности А необходимо и достаточно, чтобы (Ах, х) было вещественно для любого х~О(А). Ясно, что для симметрического оператора включение у~О(А) влечет аа собой у~О(А') и что для уЕО(А) А*у = Ау. Поэтоиу А*~А, т.
е. для симметрического оператора А сопряженный с ним оператор является расширением А. Нетрудно проверить, что если АсВ, то В'сА'. Теорем а 2. Если оператор А ' существует и имеет, так же как и оператор А, всюду плопгную область определения. то (А*) существует и равен (А ). Пусть у Е О ( (А ) ). Для любого х ~ .0 (А) имеем (х, у)=(А Ах, у)=(Ах, (А ) у). Если прочесть это равенство справа налево, то увидим, что (А ) уЕО(А ) и что А (А ) у=у. (й) Аналогично, если х ~ О(А ), у Е О (А ), то (х, у)=(АА х, у)=(А 'х, А у), откуда, как и раньше, следует, что А у ~О((А ) ) и (А ) Ау =у. (4) НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ЛННСИНЫЕ ОПГРАТОРЫ зез Из равенств (3) и (4) вытекает, что (А') существует и равен (А ) . Можно доказать, что (ЛА)' = ЛА*.
(А + В)'-з А* + В*, (А В)* ~ В*А*. Остановимся теперь на вопросе о перестановочности двух операторов. Пусть А — линейный оператор с областью определения 0(А) и  — ограниченный линейный оператор. Говорят, что В аерестаноаочан с А или коммутарует с А, если из х ~ 0(А) следует Вх е 0(А) и АВх = ВАх.
В более общем случае перестановочность двух неограниченных операторов иы определим ниже. Введем еще одно определение. Пусть А и  — линейные операторы и пусть оператор А перестановочен с каждым ограниченным оператором, перестановочным с В. Будем говорить в атом случае, что оператор А соком- мутирует с оператором В. Замкнутые операторы. Замыкание оператора. Неограниченный линейный оператор А не обладает свойствои непрерывности. Из того, что х„— «ха. вообще не следует, что (Ах„( стремится к какому-либо пределу.
Однако некоторые неограниченные линейные операторы обладают более слабым свойством, отчасти заиеняющим свойство непрерывности. Пусть А — линейный оператор с областью определения 0(А). Если из условий (х„(<=0(А), х„— «хт Ах„— «уа следует, что хо60(А) и Уо= 4хо то оператор А называется замкнутым. Примером замкнутого оператора может служить оператор, сопряженный с произвольным линейным оператором. В самом деле, пусть У„Е0(А') и У -+Уа А У «ео.
Для любого х ~ 0 (А) имеем (х, А'у„) =(Ах. У„) — «(Ах, уо) СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ 1гл. Тн С другой стороны, (х, А*у„) -ь (х, ге). Следовательно, (Ах уо) = (х зо) для любого хай(А). Отсюда вытекает, что уеСЕ>(А") и А*уо = го. Примером незамкнутого оператора является оператор частного дифференцирования, приведенный на стр. 351. Будем говорить, что оператор А допускает замыкание, если существует замкнутый оператор В, являющийся расширением оператора А (т.
е. В=>А). Среди различных замкнутых расширений данного оператора А, допускающего замыкание, можно выделить так называемое минимальное замкнутое расширение, которое содержится во всяком другом замкнутом расширении А. Минимальное замкнутое расширение оператора А называется замыканием А и обозначается А. Существование замыкания и его единственность дла любого оператора, допускающего замыкание, мы доказывать не будем, а ограничимся лишь случаем симметрических операторов. Теорема 3. Для всякого симметрического оператора А можно построить замыкание А, Обозначим через )У(А) совокупность элементов х ~ Н, для которых найдется последовательность (х„) ~О (А) такая, что х„-+ х, Ах„-ь у, где у — некоторый элемент из Н.
Очевидно, О(А) — линейное многообразие и О(А)~0(А). Для х Е О (А) положим Ах=у. Это определение однозначно. Пусть ~х„') г=Е)(А) — другая последовательность, такая, что х„'-+ х, Ах„'-+ у'. 5Щ НЕОГРАНИЧЕННЫЕ ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 35$ Тогда для любого Ь ~ 0 (А). используя симметричность опе- ратора, получим ()г, у — у') =!нп (и, Ах„— Ах„') = =11ш(Ап, х — х') =(А/г, х — х) = О.
л Так как 0(А) всюду плотно в Н. то отсюда следует, что у = у'. Оператор А, очевидно, линейный и является расширением оператора А. Оператор А — симметрический, так как для любых х, уЕ0(А) (х, Ау) =! Пп (х„, Аул) = В ш (Ахл, ул) = (Ах, у). л л Оператор А замкнут. В самом деле, пусть (хл1~0(А). хл -ь х, Ах„ь у. Так как хл ~ 0 (А), найдется элемент х„'~0(А) такой, что ))х„— х„'(! ч. —, !)Ах,— Ах„'(! л.,—.
Но тогда х„' — ьх, Ах„'-+у и, следовательно. х~0(А) и Ах = у по определению множества 0(А) и оператора А. То, что А является минимальным замкнутым симметрическим расширением оператора А, вытекает из того, что всякий элемент х ~ 0 (А) должен принадлежать области определения любого замкнутого расширения оператора А. Отсюда же вытекает и единственность замыкания А. Замечание. Покажем, что если А — замыкапие симметрического оператора А, то (А)'=А'. Так как АшА, то (А)*<='А* и надо доказать обратное включение. Пусть у~0(А*) и х — любой элемент 0(А). Имеем (Ах, у) = Пгп (Ах„, у) = 11п1 (хл, А" у) = (х, А'у).
Это равенство показывает. что у~0((А)') и (А)*у=А"у, т. е. А"~(А)'. СПСКТРАЛ! ИАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ !ГЛ. АЧГ График оператора. Для целей дальнейшего научения сопряженного оператора и операции замыкания введем понятие о графике оператора. Рассмотрим два экземпляра гильбертова пространства Н, н пусть Й вЂ” прямая сумма этих пространств, т. е. совокупность пар х = )х, у), х ~ Н, у ~ Н с обычными определениями линейных операций. Определим, далее, для хн ха~ Й скалярное произведение этих элементов с помощью равенства (хг хг) =(хг хг)+(уь уг) Легко проверить, что все свойства скалярного произведения имеют место. Выполняются и все остальные аксиомы гильбертова пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
