1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Каждая отличная от нуля точка спектра самосопряженного вполне непрерывного оператора А есть его собственное значение. Если Л чь О есть точка спектра оператора Л, то сушествует последовательность элементов (х„( ~Н такая, что ((х„((= 1, ((Ах„— Лх„((-«О, или, полагая Ах„— Лх„= у„, ((у„((-«О, имеем 1 х„= — (Ах„— у„). Оператор А преобразует последовательность (х„( в компактную последовательность [Лх„(. Поэтому существует сходящаяся подпоследовательность (Лх„~); вместе с ней сходится и подпоследовательность 1 х„= — (Ах„— у„).
Пусть х — «х. Тогда Ах -«Ахп далее у «О, поэтому "ь ьв лв из 115) следует х = — Лх или Ах = Лх. 1 Л При этом ((х(( = Ив((х„((=!. и Следовательно, х есть собственный элемент, а Л вЂ” собственное значение оператора А. Следствие 1. Каждый самосопряженный вполне непрерывный оператор имеет по крайней мере одно собственное значение. $5! РАЗЛОЖЕНИЕ САМОСОПРЯЖСНПОГО ОПЕРАТОРА 333 Это предложение вытекает из только что доказанной теоремы и следствия теоремы 4. С л е дс т в и е 2.
Каждое ненулевое инвариантное надпространство 7. самосопряженного вполне непрерывного оператора А содержи1п его собственный влемент. В самом деле, вместе с А вполне непрерывныи является и оператор Ас~(7.-ь7). Этот оператор в силу следствия 1 обладает собственным значением ).; следовательно, в 7. сущещвует собственный элемент оператора Ас, а тем самым и оператора А. Следствие 3. Самосопрязкенный вполне непрерывный оператор обладает чисто точечным спектром. В самом деле, инвариантное подпространство 0 ортогональное всем собственным элементам, — нулевое. В противном случае оно, в силу следствия 2, должно было бы содержать собственный элемент, в противоречие со своим определением. Теорема 6.
Множество собственных значений самосопряженного вполне непрерывного оператора А может иметь лишь одну предельнуа точку Л= О. Эта теорема является частным случаем теоремы 7 $2 гл. Ч!, но ей можно дать простое независимое доказательство. В саном деле, если бы существовала бесконечная последовательность различных собственных значений 1).„1 такая. что ~).„!)~с ) О, то для соответствующих собственных элементов х„, ()х„'3= 1, мы в силу их ортогональности имели бы (!Ах„— Ахай~=3).„х„— Хьх !(~=)„+Хь)~2с при и + т.
Но в таком случае последовательность 1Ах,) не была бы компактной, в противоречие с полной непрерывностью оператора А. ф Б. Спектральное разложение самосопряженного оператора Разложение единицы. Обобщим формулы (7). 110), (14) й 4.па произвольные самосопряженные операторы. Лемма. Пусть А и  — самосопряженные перестановочные операторы и Аг=ВЯ.
Обозначим через Р 334 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ТЛ. Еп Поэтому СРх Е Е для любого х Е Н и потому РСРх =- СРх, т. е. РСР = СР. С" Р = РС*Р, РС = (С*Р)' = (РС'Р)' = РСР, Аналогично откуда Следовательно, СР=РС и 1) доказано. В частности, АР= РА В~ =~ В. Далее, пусть Ах = О. Тогда ()Вх(~г=(Вх, Вх)=(Вгх, х) =(Агх, х) = (( Ах ф=О, т. е. Вх= О. Поэтому (А — В) х = О; следовательно, Рх = х и 2) также доказано.
Наконеп, ( 4 — В) (А + В) = Аг — В' = О Поэтому для любого х (А+В) х ~Е, и, следовательно, Р (А+ В) х = (А+ В) х, т. е. Р (А + В) = А+ В. оператор проектирования на надпространство нулей оператора А — В. Тогда 1) всякий ограниченный линейный оператор С, перестановочный с А — В, перестановочен с Р; 2) из Ах = О следует Рх = х; 3) А = (2Р— Е) В.
Пусть Š— надпространство нулей оператора А — В и Р— оператор проектирования на это подпространство. Тогда если у Е Е и оператор С перестановочен с А — В, то Су также принадлежит 1., ибо (А — В) Су = С (А — В) у = О. Ф 6! РАзлОжение сАмосопРяженного ОпеРАТОРА 335 Так как, кроме того, Р(А — В)=(А — В) Р= О, то Р(А+ В) — Р(А — В) = А+ В, откуда А = (2Р— Е) В. Лемма полностью доказана. Теорема 1.
Для каждого самосопряженного оператора А существует проекционный оператор Е, такой, что !) любой ограниченный линейный оператор С, пересльаноеочный с А, лерестановочен с Е+, 2) АЕ„)~0, А(Š— Е,) (О; 3) если Ах =О, то Е+х =х. Пусть Ее — проекционный оператор. проектируюгций все Гт' на надпространство нулей оператора А — В, где  — положительный квадратный корень из Аг. Из леммы сразу следует, что !) и 3) выполняются,:в частности АЕ+ — — Е„А и ВЕ+ —— ЕчВ. В силу этой же леммы А = (2Еч — Е) В.
Следовательно, АЕ,=ВЕ, ) О, А(Š— Е,)= — (Š— Еч)В~(0, так как произведение двух перестановочных положительных операторов есть снова положительный оператор. Теорема 1 полностью доказана. Отметим, что из равенства А =(2Е+ — Е)В следует ВЕь = 2 (А+ В), 1 откуда АЕч= 2 (А+В), А(Š— Ее) 2 (А — В). 1 1 Оператор АЕч обозначают А, и называют положительной частью оператора А, а оператор А(Š— Е,) обозначают А и называют отрицательной частью оператора А.
При этом П р и и е р ы. 1. Пусть А есть и-мериая симметрическая матрица с собственными значениями Л„Л„..., Х.ч, где Ль Ль ..., Ль < О, Лььь Лььь ... Лл ) О. Из лииейнон алгебры известно, что А СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ (ГЛ. ЧП унитарно зквивалентна диагональной матрице ~ л, о о ... о (л, л, л,, л„„, л„) ~ о л, о ...
о ~ о о о ... л„ т, е А = и(ЛЬ Ль ..., Лги Л„ь ..., Л„) и-', тогда А,=и(о,о,...,о,л„ь...,л)и ', А = и(ЛР Ли ..., Л,, О, ..., О) и-'. 2. Пусть А — оператор в Е, ] — 1, +1], определяемый равенством Ах (т) = тх (1). Тогда А +х (г) = х (Г), А х (г) = х (г). г+]г] г — ]т] Теорема 2. Каждый саллосопряженный оператор А порождает семейство ]Ел] проекционных операторов, зависящих огп вещесплвенного параметра Л, — со ( Л ( (+со, и удовлетворяющих условиям: 1) из АС=СА следует ЕлС=СЕл для любого Л; 2) Ел (Е,л.
если Л ()л; 3) Ел сильно непрерывен слева, ги. е. Е1 В=Ел„', 4) Ел = О для — Оэ ( Л (т, Ел = Е для М ( Л (+ОС, где пл и М вЂ” нижняя и верхняя границы оператора А. Семейство ]Ел] называется разложением единицы, по- рожденным оператором А. Прежде чем доказывать теорему, приведем прнчеры. 1.
Пусть А — симметрическая матрица и-го порядка. А=и(ль Л,, ..., Лл) и ', где Л, < Л, « ... Л„, и ег — собственный вектор, отвечающнйл собственному значению Ль Тогда прп Л1 < Л <Ллл, ОпЕратОр Ел есть оператор проектирования на 1-мерное надпространство, по- рождаемое векторами еь ен ..., еь При Л < Л, нчеем Е, = О; при Л ) Лл имеем Ел Е.
2. Пусть оператор А в Ел[ †, 1] определяется равенством Ах (г) = гх (г). Тогда Елх (1) = Ол (г) х (г), где Ол (г) = О при ! ) л, ол (г) = ! прн г < л. Очевидно, прн л < — 1 имеем Е! — — О, а при Л ) 1 пллеем ЕЛ вЂ” — Е. $51 РАЗЛОЖЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАТОРА 337 Р=ЕА(Š— Е„), где ). ( р. Имеем ЕлР = ЕЛ(Š— ЕР) = Ел (Š— ЕР) = Р н аналогично (2) (Š— ЕР) 1 Далее, по определению ЕА имеем (А — ЛЕ) Ел ~( О (А — рЕ) (Š— Е„) )~ О. (3) (4) Положим Рх= у для произвольного х~ Н. В силу (1) и (2) имеем Ел у = ЕАРх = Рх = у и аналогично (Š— Е„) у = у.
В силу (3) и (4) ((А — ЛЕ) у. у) =((А — ЛЕ)ЕАу, у) (О, ( (А — рЕ) у, у) = ( (А — ВЕ) (Š— ЕР) у, у) )~ О. Вычтя из первого равенства второе, получим (()А — л)у, у) <О, (ц — Л)11у~Р -О. илн Отсюда, учитывая неравенство Л ( р, заключаем, что у = Рх = О. х — любой элемент из Н.
Следовательно. Переходим к доказательству теоремы. Пусть Л вЂ” произвольное вегцественное число и АА = А — ЛЕ. Обозначим через ЕА проекционный оператор Š— Ет(Л), где Еч(Л)— проекционный оператор, построенный согласно теореме ! для оператора А — ЛЕ. Условие 1), очевидно, выполняется, откуда, в частности, следует, что ЕА и ЕР перестановочны для любых Л и р. Переходя к условию 2), рассмотрим проекционный опе- ратор СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ 1гл.
чп Р=О, или Ел (Š— Е») = Ел — ЕлЕ» —— О, и выполнение условия 2) доказано. Рассмотрии полуинтервал Л = ()л, )л) числовой прямой. Для проекционного оператора Е(Л) = Е» — Ел имеем Е»Е(Л) =Е(Л), (Š— Ел) Е(Л) = Е(Л). Поэтому (А — рЕ) Е (Л) = (А — рЕ) Е»Е (Л) ~( О, (А — ХЕ) Е (Л) = (А — ).Е) (Š— Ел) Е(Л) )~ О, и, следовательно, ХЕ(Л) < АЕ(Л) ~(рЕ(Л). Обратимся теперь к условию 3). Для любого х Е Н выражение (Елх, х) есть неубывающая функция от )т Поэтому существует 1!т (Елх, х). Отсюда получаем, что л+»-о ф Е,х — Елх ~/' = ( (Ет — Ел) х. х) = (Ечх, х) — (Елх, х) -+ О при Х < ч < р и Х, ч-+р. Следовательно, для любого х ~ Н существует 1!щ Е!.х=Е„ох л-л»-о Е»-о = Е».
Е (Ло) =Е» — Е'»-о. Пусть Имеем Е(Л)=Е» — Ел-»Е(Ло) при Х-+1! — О в смысле точечной сходимости операторов и, переходя к пределу в неравенстве (5), что, очевидно, возможно, по- лучаем рЕ(Ло) = АЕ(Ло). Пусть теперь х — любой элемент из Н и у=Е(Л,)х. В силу предыдущего равенства имеем (А — рЕ) у = О, Легко проверить, что Е» о — проекционный оператор. Докажем, что $ 61 РАЗЛОЖЕНИЕ САМОСОПРЯЖЕННОГО ОПЕРАГОРА 339 откуда, переходя к пределу, имеем Е„Е 1Ь,) = Е 1Ае). Следовательно, Е 1Ао) х = ЕРЕ 1Ае) х = Ен у = О. Так как х — любой элемент из Н, то это означает, что Е(Ае) = О, и выполнение условия 3) доказано *).
Выполнение условия 4) доказывается беа труда. Пусть Х < т и Ел + О. Тогда существует элемент х такой, что Е,х ~ О. Полагая Елх = у, имеем Елу = у, причем можно считать, что ()у(( = 1. Тогда 1Ау, у) — Л = (Лу, у) — Х (у, у) = ( (А — 2 Е) у. у) = = ( (А — ХЕ) Ел у у) < О, т.
е. 1Лу, у)(Х<т, что противоречит определению числа т. Следовательно Ел = О для Х < т. Вследствие непрерывности слева и Е = О. Аналогично показывается, что Ел = Е для А ) М. Спектральное разложение самосопряжеиного оператора. Теорема 3. Имеет место равенство м+е А= ~ ХбЕл т 16) где интеграл понимается нан предел инпгегральных сумм в смысле равномерной сходимости в пространсаве операторов, а е — любое положительное число.
") Согласно определению Ел нули оператора А — ХЕ принадлежат ортогональному дополнению надпространства Ее . Если же л' оператор Ел определить так, чтобы нули оператора А — АЕ входили в Ел, что можно сделать, ие нарушая свойств 1), 2) и 4), ел' то Ел будет непрерывен справа. откуда согласно условию 3) теоремы 1 получаем Е„у=О. Далее Е„Е 1А) = Е 4Ь) З»О СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [Гл.
Ри Пусть полуинтервал [и, ТТ4+е). где е ) О, разбит на полуинтервалы ЛР Лт, ..., Ли, Л» — — [),», р»). Для каждого полуинтервала Лд в силу (5) имеем )»Е (Лд) ~( АЕ (Лд) ~( р»Е (Лд) Суммируя по всем Ь = 1, 2...., и и замечая, что и ~ Е(Л») =Е, »=1 получаем ~2~ 1-»Е (Лд) ~( А -~ ~ [»»Е (Л»). Пусть чд — какое-нибудь число из [Х», рд).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
