1625915934-edc50c062ea81bcd785327ce0eca07e5 (844028), страница 51

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 51)

Ч!! то оператор Е, определенный на Ь равенством Ву —.— А 'у, есть симметрическое расширение оператора А, Пусть Е! — линейное многообразие элементов вида у =. (А+ [Е) х, где ! — мнимая сдиппца н х пробегает 0(А), Покажем, что г'.! — подпространство. Прежде всего простым подсчетом получаем, что )! (А+ [Е) х ([-' == )( Ах (~г+,!! х )(г, (!(А +гЕ)х(('..[!х((. откуда Пусть теперь у„= (А+гЕ) хч и у„— э уе.

Тогда ))у„— у ч[[ — эО, а следовательно, и й,х„— х„,(! — эО при и, и — э со. Из полноты Н следует х„-эхе. Итак, имеем х„~ 0(А), х„-э хе, Ах„= у„— гх„-э -э ус — гхе. Так как А — замкнутый оператор, то хвЕВ(А) и Ахе=уз — !хе. Отсюда уз~ Ем Замкнутость ь! доказана. Элемент з тогда и только тогда ортогонален надпространству Ег, когда для любого х ~ В (А) (е, Ах + гх) == О (Ах, е) =-(х, !'г), или т. е.

когла х ~ 0 (А') и А"е = [е. Следовательно, ортогональное дополнение к ь! есть М! — надпространство собственных элементов оператора А', соответствующих собственному значению !', Н=(г+М, (4) Аналогично (5) 0(А*) =В(А) ![у М! !2[У !. (6) Лемм а 1. Область определения 0(А*) оператора А', сопряженного с за.нннутыл! симнелгричесниль оператором А, есть прямая сумма линеиного многообразия 0(А) и пары пространств М; и М,: слмосОпвяженныв ОпГРАТОРЫ Пусть у — произвольный элемент из 0(А*). Рассмотрим элемент А*у — 1у. В силу (5) А'у — 1у = (Ах — 1х) + го Учитывая равенства Ах= А*х н А*ге= — 1ге, нз прелы- дущего соотношения получаем 1 1 А*(у — х — — 1гз) =1(у — х)+ г + А'( — — 1г ) = 2 ) 0 (, 2 0)= 1 1- =1(У А)+ го 2 '( 1) го=1(У х)+ ° го= о— 1 т 1 = 1 (у — х) + — 1 ( — 1) ге = с ( у — х — т 1г ) . Следовательно. 1 у — х — — 1ге= г 6 1'1~ 2 1 Отсюда, полагая — 1ге= г, получим у=х+г+г, (7) и требуемое разложение элемента у получено.

Покажем, что такое разложение единственно. Пусть у=х,+г,+г, (7,) — другое разложение того же элемента у. Тогда (х — х,)+ (г — г,)+ (г — г,) = О. (8) Применяя к обеим частям равенства (8) оператор А'. получим А (х — х,)+1(г — г,) — 1(г — г,) = О. (9) Умножая (8) на 1 и вычитая из (9), будем иметь (А (х — х,) — 1(х — х,)) — 21 (г — г,) = О. Слагаемые, стоян1ие в левой части этого равенства. ортогональны, А(х — х,) — 1(х — х,) ( 21(г — г,).

Слеловательно 21(г — г,)=О 364 СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ ~гл. щг илн г = го Аналогично г = ги Отсюда и х = хи Лепна полностью доказана. Вместо мнимой единицы 1 можно взять любое невещественное число Х. Получим другое разложение: О (А') = О (А) ® М Щ М-,. Подпространства М„и М- для разных А.

будут, вообще говоря. различны. Однако можно доказать, что если Л лежит в верхней полуплоскости, то размерность МА совпадает с размерностью М,. и размерность М- — с размерностью М, Размерности подпространств М~ и М; называются индексами дефекта оператора А, а подпространства МА и М А дефектными иодиросигранствами. Лемма 2. Для того чтобы элемент у Е1)(А ) принадлежал множеству Г (см. стр.

361), необходимо и достаточно, чтобы в разложении (7) имело место равенство В самом деле, если у=х+г+г, то (А*у, у) =(Л'х+ А*(г+»), х+(г+ г)) = =(Ах, х)+(Ах, »+г)+(А*(»+г), х)+ +(А*(г+ г), г+ г). Так как (Лх, х) вещественно и (Ах, г+ г)+ (А'(г-+ г), х) = =(х, А'(г+г))+(Л*(»+г), х) как сумма комплексно сопряженных величии также вещественно, то ! щ (А*у, у) = 1щ (А' (г+ г), г+ г). Далее (А' (г+ г), г + г) = (1г — 1», г+ г) = =16 »Ц'+1(г, г) — 1(г, г) — 1'й г'йа. ОАмосопРяженные ОпеРАТОРы Снова 1(е, з) — 1(г, г) как сумма комплексно сопряженнык величин вещественно.

Поэтому 1ш(А (с+е) в+ г) 1()! з!р !!г!!г) Отсюда следует утверждение леммы. Т е о р е и а 1. Всякому симметрическому расширению В замкнутого симметрического оператора А соответствуют два линейных многообразия Т,~ИР Т,~Д7 и изометрический оператор К отображающий Т, на Т,, обладающие свойствами: а) область определения О(В) оператора В состоит из элементов вида у=х+г+Уг, (1О) где х — любой элемент из 0(А), а е — любой элемент из Т,; б) значения оператора В на элементах вида (10) вычисляются по формуле Ву = Ах+ гг — 1(7г.

(! 1) Обратно, если даны два линейных многообразип Тг~Иг, Т ~сб7 г и изометрический оператор К отображающий Т; на Т о то оператор В. определенный на множестве элементов вида (1О) формулой (11), есть симметрическое расширение оператора А. Оператор В замкнут тогда и только тогда, когда замкнуты многообразия Т, и Т,. Пусть  — симметрическое расширение оператора А и уЕО(В). Как мы видели, О(В)<=О(А') и согласно формуле (7) у имеет вид (12) у=х+з+з. причем, так как у ~ Г, то по лемме 2 !1е11=1~г!1. (! 3) Когда у пробегает 0 (В), элемент г пробегает некоторое линейное многообразие То а элемент г — линейное многообразие Т Р При этом элементу х Е Т, может соответствовать лишь один элемент гЕ Т о В самом деле, если Уг=х,+ г,+зн уг=х,+г,+ гг, ун уг~ 0(В), СПЕКТРАЛЬКАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОЬ 1гл.

чы ТО у, — у, = х, — х, + О+ (гг — яа) Е О (В) с= Г, и потому в силу (13) )! г, — яз))=(~0()= О, т. е. я,= ят. Относя элементу г единственный соответствующий ему в силу равенства (12) элемент я, получаем изоморфное и изометрическое отображение Т, на Т Р Обозначая оператор, осуществляющий это отображение, через К приходим очевидным образом к равенству (10), а тогда Ву = А'у = А*(х+ г+ Ия) = Ах+ 1я — 1УЕ, и равенство (11) доказано. Обратно, пусть Т,г=.И, и Т,~И, — два линейных многообразия и У вЂ” изометрический оператор, отображающий Т, на Т,.

Оператор В, определенный на элементах вида (10) формулой (11), есть симметрическое расширение оператора А, так как линейное многообразие О(В) элементов вида (1О) удовлетворяет условию 0(В)г=Г П 0(А') и на Е>(В) имеет место равенство Ву = А*у. Докажем последнее утверждение теоремы. Прежде всего заметим, что для аамкнутости оператора В необходима и достаточна вамкнутость многообразия Лг элементов вида (В+ 1Е) у, у ~ 1) (В). Необходимость установлена на стр. 362. Для докааательства достаточности предположим, что Ьг замкнуто, но В не замкнут. Замыкая В, мы присоедиФ ним к 1ч новые предельные элементы, и, следовательно, Аг также не будет замкнуто. Для любого у Е В (В) (В+ УЕ) у = (В+ 1Е) (х+ г+ я) = (А+ 1Е) л+ 21г и, следовательно, С, = С, + Тг, (14) САМОСОПРЯЖЕННЫЕ ОПЕРАТОРЫ 367 где 1ч — совокупность элементов вида (А+ 1Е) х, х ~ О(А).

Так как 1.1 замкнуто, то 1.1 окажется замкнутым в том и только в том случае, когда Т, замкнуто. Теорема полностью доказана. Предположим, что указанным выше способом мы расширим симметрический оператор А до симметрического оператора В. Спрашивается, каковы будут дефектные пространства и индексы дефекта этого расширения? Т е о р е м а 2. Пусть  — замкнутое симметрическое расширении замкнутого симметрического оператора А с областью определения О(В) = О(А)+ Т;+ У(Т,). Обозначим индексы дефекта оператора А через (то тг)1 т1= йш И1 тг = йш И о а индексы дефекта оператора  — через (т1', тг): т1 — — йш И1, тз = йш И 1, В самом деле, в силу формулы (4) Н = ~,'+ И1.

Используем (14): Тогда 1.1'= 1.1+ Т,. Н = 1., + И, '+ То С другой стороны, и= 1ч+ ио откуда и =и;+т,. Аналогично доказывается равенство И =И 1+Т где И1 и И 1 — дефектные подпростринства оператора В. Тогда И;=И;'+Тн И,=И',+Т о и. следовательно, если йш Т, = йш Т; =1. то 1 1+ ' 2 2+ СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ ОПЕРАТОРОВ [ГЛ. ЧИ Из этих равенств непосредственно вытекает соотношение между индексами дефекта. Перейдем теперь к описанию так называемых максимал«- иих симметрических расширений симметрического оператора. Пусть оператор А имеет индексы дефекта (О, 0). Это значит, что дефектные подпространства М, и М, состоят лишь из нулевых элементов и, следовательно, О(А*) = 0(А).

Но это означает, что А — самосопряженный оператор и симметрических расширений А не имеет. Пусть индексы дефекта оператора А конечны (ти гл«). Предположим сперва, что Ги!=т«=тФО. Выбирая в М, и М ! полные ортонормальные системы ии е, ..., е„и е,, е,', ..., е', поставим в соответствие элементу г = и и = ~ с е«ЕМ, элемент г= ~ с е'ЕМ !.

Очевидно, это со«.-.! «=! ответствие изометрично и изоморфно и порождает изометрический оператор К отображающий все М, на все М Р В качестве подпространств Т, и Т, иожно взять М! и М, соответственно, ,0 (В) = 0 (А) + М, + (У (М,). Оператор В будет иметь индексы дефекта (О, 0) и, следовательно, будет самосопряженным расширением сииметрнческого оператора А.

Таких расширений существует бесконечное множество. В самом деле, элеиенту и г= ~ч~~ с„е„ «=! мы можем поставить в соответствие элемент г (т) = ~ч'., с„е"е', «=! т вещественно, и более общо элемент и гт„ г(т,. т,, ..., Т„) =,г, с«е «е«. «=1 Получим, таким образом, континуум изометрических операторов У! „,, и соответственно этому континуум само'! «". ««« сопряженных расширений.

З 71 слмосопгяже!Н1ые опвглтогы Пусть оператор А имеет конечные и не равные индексы дефекта (и,, тя), например т, ) глз. Выбирая в М, первые тз элементов ортонормального базиса и обозначая порождаемое ими подпространство через Тн мы берем в качестве Т, все М,. Тогда О(В) =О(А)+ Т + У(Тг) =О(А)+ Т, +М и Симметрический оператор В имеет индексы дефекта(т,— гля О) и дальнейших симметрических, и тем более самосопряженных, расширений не допускает. Такой симметрический оператор, у которого один из индексов дефекта равен нулю, а другой отличен от нуля, называется максимальным. Самосопряженный оператор (у него оба индекса дефекта равны нулю) называют иногда гипершаксишальным.

Характеристики

Список файлов книги